Addierwerk

🎯 Um was geht es?

In diesem Kapitel erfährst du, wie sich ein Addierwerk für zwei binär codierte Zahlen aus Nicht-, Und- und Oder-Gattern gebaut wird.

Wir beginnen dabei mit einem Halbaddierer, welcher zwei einzelne Bit addieren kann. Es folgt der Volladdierer und schliesslich ein vollständiges Addierwerk. Für Interessierte und Schnelle gibt es am Ende noch einen Einblick weitere Funktionen der arithmetischen-logischen Einheit (ALU). Die ALU ist ein umfassenderes Rechenwerk, das alle Grundrechenoperationen beherrscht und Zahlen vergleichen kann.

Halbaddierer

Der Halbaddierer addiert zwei einstellige Binärzahlen zu einer zweistelligen Binärzahl.

⚠️ Beim schriftlichen Addieren zweier Zahlen werden die aktuellen Stellen der zu addierenden Zahlen und ein allfälliger Übertrag miteinander addiert. Der Halbaddierer kann zwei Stellen addieren, er hat aber keinen Eingang für einen allfälligen Übertrag und kann somit keinen Übertrag miteinbeziehen. Daher der Name "halb". Der Ausgang des Halbaddierers beinhaltet jedoch einen Übertrag für allfällige weitere Addition.

Auftrag 1

Wie würde die Wahrheitstabelle eines Halbaddierers aussehen?

1.2. Aufbau eines Halbaddierers

Ein Halbaddierer kann aus NOT-, AND- und OR-Gattern aufgebaut werden.

Auftrag 2

Nebenstehend ein Schaltschema für einen Halbaddierer. Wo gehört das NOT-, AND, OR-Gatter hin? Die Gatter dürfen offensichtlich auch mehrmals gebraucht werden.

Baue anschliessend deinen Halbaddierer auf CircuitVerse nach.

💡Tipp: Fange mit Gatter C und D an.

Lösung Auftrag 2

CircuitVerse: Lösung

Alternative Lösung

2. Volladdierer

Der Volladdierer addiert drei einstellige Binärzahlen zu einer zweistelligen Binärzahl.

⚠️ Beim schriftlichen Addieren zweier Zahlen werden die aktuellen Stellen der zu addierenden Zahlen und ein allfälliger Übertrag miteinander addiert. Der Volladdierer kann im Gegensatz zum Halbaddierer zwei Stellen und einen Übertrag addieren. Daher der Name «Voll».

Auftrag 3

Wie würde die Wahrheitstabelle eines Volladdierers aussehen?

1.2. Aufbau eines Volladdierers

Ein Volladdierer kann mit zwei Halbaddierer und einem OR-Gatter realisiert werden.

Zum Ausprobieren auf CircuitVerse: Volladdierer

3. DAS Addierwerk

Das Addierwerk soll zwei dreistellige Binärzahlen zu einer vierstelligen Binärzahl addieren können. Addierwerke werden mittels Halb- und Volladdierer realisiert.

Auftrag 4

Wie würde ein solches Addierwerk aussehen? Zeichne die Schaltung entweder mit CircuitVerse oder von Hand auf. Mach am besten ein Zahlenbeispiel zuerst und dann anhand von diesem, baue die Schaltung auf.

Erläuterung der Lösung.

CircuitVerse: Addierwerk

🤯 Erläuterungen:

Um s1 auszurechnen, genügt es x1 und x2 zu addieren. Wir haben hier auch noch keinen Übertrag, welcher wir aus einer anderen Rechnung berücksichtigen müssen. Daher genügt auch ein Halbaddierer, um s1 zu berechnen. ⚠️ Diese Rechnung selbst kann jedoch in einem Übertrag resultieren, was unser Halbaddierer auch ausgibt.
Um die Stelle s2 zu berechnen, müssen die beiden Bit x2 und y2 und der Übertrag aus der s1 Berechnung addiert werden. Hierfür muss ein Volladdierer verwendet werden. Auch dieser gibt einen möglichen Übertrag für die nächste Berechnung aus.
Die Stelle s3 berechnet sich per Volladdierer aus x3, y3 und dem Übertrag aus der s2 Berechnung. Diese Addition kann ebenfalls in einem weiteren Übertrag resultieren.
Obwohl nun alle drei Stellen beider Zahlen x und y verrechnet wurden, muss noch der Übertrag aus der s3 Berechnung berücksichtigt werden. Dafür wird dieser Übertrag als vierte Zahll, s4, ausgegeben.

Auftrag 5

Wie sieht eine Schaltung für zwei vierstellige Binärzahlen aus? Skizziere eine solche Schaltung von Hand. Danach sollte dir klar sein, wie mit beliebig grossen Schaltungen zwei beliebig grosse Binärzahlen addiert werden können.

Lösungsbeispiel

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