PID CONTROL

VI TÍCH PHÂN / NGÔN NGỮ CỦA SỰ CHUYỂN ĐỘNG!

Trước đây học toán ở phổ thông chắc hẳn bạn từng nghĩ cái vi tích phân để làm cái gì thế nhỉ ? Bạn chỉ biết lúc đó cần làm bài tập.

Trong thực tế , Vi tích phân là một trong những công cụ quan trọng nhất của toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

1. Tính diện tích và thể tích hình học: Vi tích phân được sử dụng để tính toán diện tích và thể tích của các hình học phức tạp như hình cầu, hình trụ, hình nón, hình chóp, v.v.

2. Tính toán vật lý: Nhiều bài tập vật lý sử dụng vi tích phân để tính toán các giá trị quan trọng như quãng đường, vận tốc, gia tốc và lực. Ví dụ như việc tính vận tốc của vật rơi tự do theo thời gian hoặc tính quãng đường mà một vật di chuyển trong không gian.

3. Tính toán xác suất: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị xác suất trong các phân phối xác suất khác nhau.

4. Tính toán trong kinh tế: Vi tích phân được sử dụng để tính toán giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của các biến trong kinh tế.

5. Tính toán trong máy tính: Vi tích phân được sử dụng để tính toán các giá trị số trong các thuật toán và phần mềm máy tính khác nhau.

6. Các ứng dụng khác: Vi tích phân còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, hóa học, kỹ thuật, vật liệu, v.v. Vi tích phân giúp chúng ta hiểu và giải quyết các vấn đề phức tạp trong các lĩnh vực này.

Đọc hết bài viết thấy vi tích phân có ý nghĩa thế nào với cuộc sống của chúng ta. 

Sự vận hành vĩ đại của vũ trụ chỉ giao tiếp với nhân loại thông qua ngôn ngữ của toán học.

một trong những công cụ mạnh mẽ nhất mà con người từng phát minh ra trong toán học, còn được biết đến là (Vi Tích Phân) Calculus, hay Giải Tích cho ngắn gọn.

Trong bài viết này, mình sẽ hướng dẫn cho các bạn cách để áp dụng vi tích phân, nhưng không phải dạy các bạn vi tích phân theo định nghĩa toán học thuần túy, mà sẽ dạy các bạn vi tích phân theo ngôn ngữ trực quan của vật lý và chuyển động.

bạn đừng lo cách hình dung sau đây là không xứng đáng nhé.

bởi vì vi tích phân là ngôn ngữ của chuyển động và được áp dụng trong vật lý rất nhiều, như sự hao hụt khối lượng của tên lửa, độ dài đường bay của một quả bóng tennis, thời gian rơi của một vật thể dưới tác động của trọng lực, hành vi của điện tích dưới tác động của điện trường, hay thậm chí là bức xạ Hawking, đều không thể tính toán được hoặc sẽ gần như không thể tính được một cách dễ dàng, nếu vi tích phân chưa được tìm ra!

Còn trong toán học vi tích phân có thể dùng để tính diện tích của các hình rất phức tạp, ví dụ như hình Elip.

Lịch sử : Vi Tích Phân được sáng tạo độc lập bởi hai nhà khoa học vĩ đại nổi tiếng Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.

sau này vào thế kỷ 18 đến thế kỷ 19, vi tích phân không chỉ dừng lại ở biến số mà đã được phát triển với mục đích phục vụ cho vật lý học, bao gồm vi tích phân vector (vector calculus), vi tích phân tensor (tensor calculus), (hình học vi phân) differential geometry, (topology)

nhưng nguyên lý cơ bản chung của vi tích phân vẫn không thay đổi.

Lưu ý : bài viết này không hướng dẫn cách để tính toán các tích phân và đạo hàm, bởi vì mỗi hàm có một cách tính khác nhau và không có cách tính chung.

Cách tính thì nhà trường sẽ dạy hoặc bạn có thể tìm kiếm các video dạy giải tích trên mạng cũng có rất nhiều.

Hoặc nếu không phải để làm bài tập, các bạn cũng có thể tính chúng bằng cách tìm kiếm các máy tính online trên internet và các website như wolframalpha rất phổ biến.

Mục đích của bài viết này là để mang đến cho các bạn đọc giả ý nghĩa từ khái niệm của vi tích phân, từ đó cho các bạn một cái nhìn sâu sắc về bản chất của chúng, từ đó giúp chúng ta dễ dàng áp dụng chúng vào vật lý, cơ học hoặc hình học.

1. Hàm số là công thức :

Chúng ta được dạy rằng, hàm số giống như một cỗ máy giúp biến đổi giá trị của biến sang giá trị thu được mà chúng ta mong muốn, ví dụ như f(x) = 1/x, ta có f(1) = 1 , f(2)= 1/2 , f(3) = 1/3 và tiếp tục...

hàm số f(x) có thể có bất kỳ cách sắp đặt nào, ví dụ như

f(x) = (1-x)² , f(x) = sqrt(x²+1) , f(x) = tanh(x) - tan(x) , tất cả đều không thành vấn đề.

cấu trúc của biểu thức không hề quan trọng,

miễn chúng ta biết rằng trạng thái toán học được xem xét ở đây phụ thuộc vào biến x, là chúng ta có thể cho rằng, đây là những hàm số của x.

Tuy nhiên hãy nghĩ theo ý nghĩa vật lý, khi học vật lý thì chúng ta có công thức đúng không nào?

ví dụ F = ma, E=mc² , S = (S₀+ 1/2 gt²) , V = kQ/r , tất cả những công thức này đều có thể gọi là hàm số.

để cho ví dụ đơn giản hơn, hãy nghĩ về chỉ số BMI, chính là chỉ số cân đối của chiều cao và cân nặng, và công thức tính BMI được quy ước như sau.

BMI = khối lượng/(chiều cao)²

giả sử bây giờ bạn đang ở trong một căn phòng bao gồm 7 người có khối lượng bằng nhau, giả sử tất cả đều là 70 kg, nhưng họ mang chỉ số BMI khác nhau.

như vậy lúc này ta có thể kết luận lý do mà chỉ số BMI của 7 người này không giống nhau, là do phần mẫu của công thức, chính là phần (chiều cao), không giống nhau.

trong trường hợp của 7 người này chúng ta có thể nói BMI là một hàm của chiều cao và có thể gọi là f(chiều cao), hay BMI(chiều cao) luôn.

cũng từ đó chúng ta có thể gọi f(x) là y(x) nếu hàm đó tên là y,

chúng ta không viết ký hiệu "f" của hàm nữa mà thay nó bằng tên của hàm luôn.

ví dụ tiếp theo ta có công thức nổi tiếng của Albert Einstein,

E=mc² .

trong công thức này, chúng ta biết "c" là một hằng số vũ trụ, nó không bao giờ thay đổi, vì vậy ta không cần xem xét sự thay đổi của nó, do đó hàm số là E(m), bởi vì E chỉ phụ thuộc vào khối lượng m, thay đổi khối lượng, và ta thay đổi năng lượng.

chúng ta có thể viết công thức trên ám chỉ tính phụ thuộc vào khối lượng bằng cách viết E(m) = mc²

BMI(chiều cao) = khối lượng/(chiều cao)².

y(x) = 1/2 x²

L(t) = kt/2 và ...

nếu trong trường hợp hàm số có chứa hai biến, ví dụ

f = (x² + y²) , và cả hai biến (x,y) đều được xem xét, ví dụ như cả y và x đều thay đổi, thì hàm số sẽ là hàm hai biến f(x,y).

ví dụ hàm số có thể có ký hiệu "z" , z = (x² + y²) , thì gọi đây là

z(x,y) , nhưng tạm thời mình sẽ không bàn về hàm hai biến.

nếu điều kiện chúng ta đang xét là biến y, và giữ x không đổi, thì hàm số sẽ chỉ còn là f(y) thay vì f(x,y), giống như ví dụ BMI lúc nãy, chúng ta không xét sự thay đổi của khối lượng, mà chỉ xét chiều cao.

vì vậy kết luận ở đây là chúng ta có thể nghĩ hàm số là những công thức chúng ta tiếp xúc hằng ngày, với giá trị đầu ra của nó phụ thuộc vào giá trị của biến đầu vào, do đó mọi công thức vật lý nêu trên đều có thể xem là các hàm số.

2. Ý nghĩa của delta :

hãy tưởng tượng bạn nhìn thấy một chiếc xe hơi đang di chuyển ở vận tốc không đổi là U trên một tuyến đường.

trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng công thức tính quãng đường quen thuộc, S = Ut , với trường hợp này bạn đoán ra chứ?

quảng đường "S" là hàm của thời gian "t", bởi vì vận tốc là không đổi nên chúng ta không cần xem xét đến nó.

Tuy nhiên hãy hình dung bạn muốn đo vận tốc của xe ở hai điểm nào đó trên quãng đường S, ví dụ như S₀ và S₁ thì sao?

bạn hãy hình dung S giống như là tọa độ của đường đi còn S₀ và S₁ là hai điểm trên tọa độ đó cho dễ hình dung nhé.

vận tốc của xe khi nó đi từ ( S₀ sang S₁) trong thời gian (t₀ và t₁) là

U = ( S₁ - S₀)/(t₁-t₀) , viết ngắn gọn với ký hiệu Δ, ta có

U = ΔS/Δt

với ký hiệu "Δ" gọi là delta, tức nó là hai điểm bất kỳ trên tọa độ không trùng với điểm mốc.

ví dụ ( S₁ - S₀) = ΔS , S₀ ≠ O , với "O" là tâm của tọa độ.

điều này có nghĩa là công thức "S = Ut" tính quãng đường di chuyển của xe từ điểm mốc của nó, còn nếu chúng ta muốn xét một đoạn bất kỳ, thì phải là ΔS = UΔt, với ΔS là đoạn đường cần xem xét.

delta "Δ" có nghĩa là sự thay đổi, do đó có thể dịch sang ngôn ngữ như sau :

vận tốc là sự thay đổi của vị trí chia cho sự thay đổi của thời gian.

3. Ý nghĩa của đạo hàm (Derivative) :

bây giờ chúng ta hãy hình dung trường hợp thứ hai, chúng ta có một chiếc xe đang di chuyển, nhưng vận tốc của nó thay đổi liên tục, tức là bác tài có thể đang giảm ga hoặc đang tăng ga,

do đó công thức U = ΔS/Δt không còn áp dụng được nữa, vì công thức này cho rằng vận tốc U là hằng số, tức không phụ thuộc vào biến nào cả.

do đó nếu vận tốc U thay đổi theo thời gian, tức là một hàm của thời gian U(t), thì ΔS/Δt chỉ là vận tốc trung bình, và nếu áp dụng công thức ΔS = U Δt thì giá trị của ΔS sẽ không chính xác, do đó không thể áp dụng công thức S = Ut trong trường hợp này.

tuy nhiên chúng ta có thể làm cho giá trị trung bình của vận tốc chính xác hơn bằng cách rút ngắn khoảng cách giữa hai vị trí, (S₀,S₁) , và hai thời điểm (t₀,t₁) nhỏ xuống về 0.

ví dụ ban đầu (S₁ - S₀) = 50 mét, thì thử giảm xuống thành

(S₁ - S₀) = 12 mét, hoặc là (S₁ - S₀) = 2 mét, hoặc là

(S₁ - S₀) = 0.0000000000001 mét, và làm trò tương tự với thời gian (t₀,t₁).

ngay lúc này đây, sau đó chúng ta chia hai vế cho nhau, chúng ta nhận ra rằng, vận tốc chúng ta tính được vô cùng chính xác, bởi vì trong khoảnh khắc vô cùng nhỏ, chiếc xe di chuyển được một quãng đường vô cùng nhỏ, do đó ngay cả khi xe có gia tốc, không có sự khác biệt lắm trong vận tốc của nó, vì nó được ghi nhận trong một khoảng thời gian vô cùng nhỏ, do đó giá trị ΔS/Δt lần này rất chính xác.

Tuy nhiên, vận tốc đó chỉ có giá trị chính xác trong một thời điểm nhất định, thời điểm, ví dụ chúng ta đo đạc ΔS = 0.0000001 mét, và Δt = 0.000000000001 giây.

vậy chuyện gì xảy ra khi ta để hai điểm (S₀,S₁) tiến sát về 0, nhưng không bao giờ chạm đến 0?

chúng ta có một định nghĩa khác cho nó gọi là "d" gọi là vi phân, khác với "Δ", ký hiệu "dS" gọi là vi phân của S.

và tương tự với thời gian, khi hai thời điểm cách nhau tiến về 0, nhưng không bằng 0, gọi là "dt", vi phân của thời gian.

và vận tốc của xe tại một thời điểm nhất định sẽ là

U(t) = dS/dt , với vi phân của S chia cho vi phân của t, ta gọi toàn bộ cái ký hiệu (dS/dt) là đạo hàm, nói lên vận tốc của xe U(t) tại một thời điểm t nhất định.

mà bởi vì (dS/dt) có thể viết thành tích của phép nhân (d/dt)*S, ta gọi "d/dt" là một toán tử đạo hàm.

còn "dS/dt" là một đạo hàm.

và nếu biến trong toán tử là "t", ta gọi "d/dt" là đạo hàm của "t" , hay còn gọi là đạo hàm thời gian của hàm.

tương tự "dy/dx" ta gọi đây là đạo hàm x của hàm y.

ví dụ nếu đạo hàm cho z ta có toán tử là (d/dz).

Các bạn có để ý vận tốc U đã trở thành "U(t)" không?

điều này là bởi vì "U" phải là hàm của "t"

nhưng thế nào là vận tốc dưới dạng hàm của thời gian?

có ví dụ nào thực tế không?

Có!

hãy nghĩ về một vật rơi dưới tác động của trọng trường, ta biết gia tốc trọng trường là g = 9.8 m/s², xét trên bề mặt trái đất, ta có thể giả định rằng "g" không đổi, và cho rằng nó là một hằng số, thì vận tốc của vật rơi sẽ là v(t) = gt , tức là tức tại thời điểm t = 0, tức là lúc vật được buông ra, vận tốc ban đầu là 0 m/s , sau khi vật được buông, ta có vận tốc tức thời là "gt" , ví dụ tại thời điểm t = 1 giây, vận tốc là 9.8 m/s , tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc là 19.6 m/s, tại thời điểm t = 3 giây, vận tốc là 29.4 m/s.

ta gọi đây là vận tốc tức thời, nghĩa là vận tốc tại một thời điểm nhất định, nếu vận tốc là hàm của thời gian.

Lưu ý rằng trên bề mặt trái đất, gia tốc trọng trường "g" không thay đổi nhiều lắm do đó có thể xem "g" là hằng số.

Tuy nhiên nếu xét theo khía cạnh lớn như ngoài không gian trở lại, thì "g" có thể thay đổi đáng kể.

ví dụ khác là ta có một hàm quãng đường S(t) = (vt + 1/2 gt²) , thì đạo hàm của nó sẽ là

dS(t)/dt = (v + gt), đây chính là vận tốc tại một thời điểm "t" nhất định trong hàm

S(t) = (vt + 1/2 gt²).

mà chính là (v+gt) với v là vận tốc ban đầu, còn “gt” là vận tốc tăng dần theo thời gian do trọng trường.

Ví dụ tiếp theo : Ta có một con lắc lò xo dao động với quãng đường

x(t) = x₀ cos(sqrt((k/m)t)

thì vận tốc của lò xo tại một thời điểm nhất định là

dx(t)/dt = -(kx₀sin(sqrt((kt)/m)))/(2m*sqrt((kt)/m))

ngoài đạo hàm thời gian để tính vận tốc, ta còn có thể đạo hàm cho các biến khác, ví dụ như lực hấp dẫn F(r) giữa hai khối lượng (M,m) là F(r) = GMm/r² ,

thì dF(r)/dr = -(2GMm)/r³ .

tuy "dF(r)/dr" là sự thay đổi cường độ của lực "F(r)" trên một đơn vị không gian "r" nếu vật di chuyển trên tọa độ bán kính r, tức là thứ nguyên sẽ là N/m (Newton trên mét).

đạo hàm này cho biết độ lớn trong sự thay đổi của lực chia cho sự thay đổi của vị trí "r" tại một vị trí "r" nhất định.

với "r" là tọa độ bán kính.

ví dụ nếu một phi thuyền bay ra khỏi trái đất ở vận tốc không đổi, và ta muốn tính tốc độ thay đổi của lực hấp dẫn giữa trái đất và phi thuyền, thì ta có thể tính

dF/dr.

độ lớn của dF/dr cho biết lực hấp dẫn thay đổi nhanh cỡ nào tại vị trí r , tức trị tuyệt đối |dF/dr| tỉ lệ thuận với lực thủy triều.

với |dF/dr| càng cao, thì lực thủy triều càng lớn, nguyên nhân là bởi vì lực hấp dẫn thay đổi rất nhanh tại vị trí đó khi ta thay đổi vị trí.

cũng tương tự khi |dF/dr| càng nhỏ, thì lực thủy triều càng bé, do đó nếu bạn lái một phi thuyền đến hố đen vũ trụ, thì việc biết giá trị của dF/dr chắc chắn là một điều cần thiết đấy!

Bạn có biết? trong định luật 2 Newton, công thức chuẩn để tính lực là ΣF = dp/dt không?

với "p" là động lượng.

ví dụ thực tiễn là ánh sáng, vì không có khối lượng nên công thức ΣF = ma không thể áp dụng được cho ánh sáng, tuy nhiên ánh sáng vẫn mang động lượng "p" do đó lực mà ánh sáng tác dụng lên vật chính là tốc độ truyền động lượng (dp/dt) lên vật đó đấy!

vậy chúng ta có thể hiểu đạo hàm như là sự thay đổi vô cùng nhỏ của một hàm chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của biến trong hàm đó.

ngoài ký hiệu df(x)/dx của Leibniz , còn có ký hiệu khác thuận tiện hơn được đặt ra bởi nhà toán học Lagrange, là

f'(x).

tức có thể gọi vận tốc dS(t)/dt là S'(t), như vậy sẽ gọn hơn rất nhiều.

tuy nhiên đối với các bạn mới làm quen với khái niệm này, nên sử dụng df(x)/dx thay vì f'(x) để có bức tranh ý nghĩa hơn, vì mình thấy df(x)/dx giống ký hiệu delta "Δ" quen thuộc mà chúng ta đã làm quen trong suốt một chặng đường trung học cơ sở và phổ thông.

4. Ý nghĩa của Tích Phân (Integral) :

Để hiểu tích phân là gì, trước hết bạn hãy viết một phương trình dưới dạng vi phân.

ví dụ ta có một phương trình đạo hàm dy/dx = L(x)

chúng ta có thể xem (dy/dx) như là một "phân số" và nhân nó lại cho mẫu của phân số đó, ta thu được

dy = L(x) dx

đây chính là cách viết vi phân của một đạo hàm.

bây giờ bạn hãy hình dung rằng bạn đang tăng ga trên xe gắn máy, và bạn muốn biết quãng đường bạn đã di chuyển được.

chúng ta có thể xem xét công thức huyền thoại "S = Ut" nhưng khoang đã,

công thức này cho rằng vận tốc "U" là không đổi, nhưng bạn thì đang tăng ga.

để tính được quãng đường một cách chính xác, công thức là

S = ∫ U(t) dt

với ký hiệu "∫" gọi là tích phân, và quãng đường chính là tích phân thời gian "dt" của vận tốc U(t).

bạn có còn nhớ cách viết vi phân lúc nãy?

ta biết dS(t)/dt = U(t), ta có thể nhân ngược lại cho mẫu là "dt"

sau đó thu được

dS = U(t) dt

bản thân "dS" là quãng đường vô cùng nhỏ mà xe máy di chuyển được, còn gọi là vi phân của quãng đường.

và "S" gọi là tổng quãng đường, bằng tích phân của [U(t) dt], mà chính là tích phân của dS, vậy ta suy ra

∫dS = S

vậy có thể hiểu ∫ U(t) dt như là một tổng vô hạn của

[U(t) dt] , một tổng vô hạn của quãng đường vi phân siêu nhỏ "dS" , và để tính ra tổng quãng đường xe máy đã di chuyển được, ta cần phải cộng hết tất cả "dS" lại với nhau, để cho ra "S".

và trong trường hợp này S = ∫ U(t) dt .

ví dụ bạn tăng ga sao cho gia tốc không đổi, ở t = 0 , U(0) = 0, do đó

xe máy sẽ mang vận tốc là U(t) = at , với "a" là gia tốc của xe, và gia tốc này không đổi.

do đó ta có S(t) = ∫ U(t) dt = ∫ at dt = [1/2 at² + C]

[1/2 at² + C] chính là kết quả của tích phân, mà đây chính là công thức tính quãng đường!

với "C" là hằng số tùy ý, ví dụ "C" có thể là vị trí ban đầu,

S₀ chẳng hạn.

do đó ta có S(t) = [1/2 at² + S₀] , và đây chính là quãng đường “S(t)” xe máy mang gia tốc "a" di chuyển được.

ví dụ tiếp theo là thế năng.

ta biết cách tính thế năng giữa mặt đất và một vật lơ lửng trong không gian là PE = (mg)h = Fh,

với F= mg , còn “PE” là thế năng, “h” là khoảng cách giữa vật và mốc cần tính (mốc có thể là mặt đất), đây chính là một dạng của công thức tính Công (Work), với

(W = Fs) với "W" là công của vật, bằng lực "F" tác dụng lên quãng đường "s".

trên thực tế "Fs" phải là tích vô hướng nhưng với một chiều không gian, có thể xem là tích bình thường cũng được.

tuy nhiên, W = Fs chỉ đúng khi lực tác dụng không thay đổi độ lớn.

nếu lực tác dụng thay đổi độ lớn theo vị trí, thì công thức sẽ phải là

W = ∫ F(s) ds , và đây chính là công thức tổng quát của Công (Work), nó cộng

các công siêu nhỏ dW lại với nhau, vì dW = F(s) ds

ta biết công thức tính lực hấp dẫn là

F(r) = GMm/r² , và ta cũng biết công (Work), cũng tương ứng với năng lượng E, do đó công thức tính thế năng đúng cách là

PE(r) = ∫ F(r) dr = ∫ GMm/r² dr , tích phân lên ta thu được :

[-GMm/r + C] , đây chính là kết quả của tích phân.

trong trường hợp này ta phải giải hằng số C, ta biết thế năng so sánh hai vị trí là r và r₀ , với r₀ là vị trí mốc.

do đó ta có thể suy ra hằng số C là GMm/r₀.

vì thế

PE(r) = [-GMm/r + GMm/r₀]

và đây chính là công thức tính thế năng chính xác.

chú ý là “h” chỉ là khoảng cách giữa hai điểm cao độ trong không gian, mà trường hợp này đã trở thành tọa độ bán kính “r”, do đó

h = Δr trong trường hợp này.

thế còn công thức PE = mgh thì sao, vẫn áp dụng được chứ?

công thức này chỉ hoạt động khi "h" mang giá trị rất nhỏ, tức là cỡ 1000 mét đỗ lại, nếu "h" mang giá trị rất cao, thì công thức

PE = mgh không còn đúng nữa.

nguyên nhân là bởi vì "g" được giả định là hằng số, nhưng nó không thực sự là một hằng số.

ta biết g(r) = GM/r² , bởi vì khối lượng của trái đất "M" rất lớn, nên ta có thể thấy nếu Δr là không đáng kể, ta có thể cho rằng "g(r)" không đổi.

Tuy nhiên với sức mạnh của tích phân, ta đã có thể tính luôn cả sự thay đổi này.

vậy đây chính là các ví dụ vật lý của tích phân và đạo hàm, nếu các bạn cảm thấy thích thú, đừng quên ấn like và share bài viết này để cùng nhau lan truyền (vi tích phân), ngôn ngữ vĩ đại của vũ trụ đến mọi người nhé.

Để áp dụng đạo hàm và tích phân trong vật lý, bạn chỉ cần nhớ hai điều như sau :

1. dy/dx là sự thay đổi vô cùng nhỏ của y chia cho sự thay đổi vô cùng nhỏ của x

2. ∫ f(x) dx là tổng vô hạn của [f(x) nhân dx]

Lưu ý, không nên nhầm lẫn tổng vô hạn này với tổng sigma “Σ” với n.

với tổng sigma gọi là “summation”

trong khi tích phân gọi là “integration”

vì tổng sigma là tổng của các biểu thức có giá trị nhất định, còn [f(x) dx] là một giá trị vi phân, có nghĩa chúng không có kích thước cụ thể, mà như là một điểm.

ví dụ “dx” có thể hiểu như là hai điểm cách nhau gần vô cùng, nên có thể xem “dx” như là một điểm duy nhất.

và ta biết một “đường” trong toán học có cấu tạo từ vô hạn số lượng “điểm”, do đó có thể gọi tích phân là tổng vô hạn của vi phân.

với dy = f(x) dx , thì tích phân của [f(x) dx] chính là “y”.

nếu bạn vẫn chưa hình dung ra “dy” nghĩa là gì, hãy hình dung bạn đội một chiếc nón và mang đôi dày dưới chân, sau đó Doremon dùng đèn pin thu nhỏ thu nhỏ bạn lại, không cần biết bạn nhỏ đi bao nhiêu, đôi dày và chiếc nón không bao giờ có thể ở cùng một vị trí, chiếc nón vẫn sẽ ở trên đầu bạn, còn đôi dày vẫn ở dưới chân bạn.

nhưng từ xa, cả hai vật này như ở cùng một chỗ, cả hai điểm có thể tiến lại gần nhau mãi mà không bao giờ chạm vào nhau.

trong tiếng anh đây gọi là “infinitesimal”.

các định nghĩa này không chính xác 100% về mặt toán học nhưng nó cho phép não bộ chúng ta có thể hình dung hoặc mường tượng ra chuyện gì đang xảy ra trong khi giải các vấn đề vật lý, từ đó giúp chúng ta có thể dễ dàng ứng dụng chúng. 

Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) là một hệ thống điều khiển phản hồi phổ biến trong tự động hóa, dùng để điều chỉnh các quá trình công nghiệp và duy trì một giá trị cụ thể của biến quá trình (process variable) dựa trên điểm đặt (set point). Nguyên lý hoạt động của bộ điều khiển PID dựa trên ba thành phần chính: Tỷ lệ (Proportional), Tích phân (Integral), và Vi phân (Derivative).

I. Thành phần Tỷ lệ (P - Proportional):

1. • Thành phần tỷ lệ tạo ra tín hiệu điều khiển dựa trên độ lớn của lỗi, tức là sự khác biệt giữa điểm đặt và biến quá trình. Khi lỗi lớn, tín hiệu điều khiển sẽ lớn, giúp hệ thống phản ứng nhanh chóng để giảm lỗi. Tuy nhiên, chỉ riêng thành phần tỷ lệ thường không đủ để loại bỏ hoàn toàn lỗi, do đó hệ thống có thể bị lệch (offset).

II. Thành phần Tích phân (I - Integral):

1. • Thành phần tích phân có nhiệm vụ loại bỏ sai số tĩnh (steady-state error) bằng cách cộng dồn lỗi theo thời gian. Điều này giúp giảm dần sự lệch và đưa biến quá trình đến đúng giá trị điểm đặt. Tuy nhiên, nếu hệ số tích phân quá lớn, có thể gây ra sự dao động trong hệ thống.

Khâu tích phân (Integral) trong bộ điều khiển PID đóng vai trò quan trọng trong việc loại bỏ sai số tĩnh (steady-state error) và đảm bảo rằng biến quá trình (process variable) đạt đúng giá trị điểm đặt (set point) mà không có sự lệch lâu dài. Để hiểu rõ hơn về nguyên lý hoạt động của khâu tích phân, chúng ta hãy đi sâu vào chi tiết như sau:

1. Nguyên lý hoạt động của khâu tích phân:

Khâu tích phân tính toán tổng lỗi theo thời gian, tức là tích phân của sai số giữa điểm đặt và biến quá trình. Cụ thể hơn, nó tích lũy tất cả các sai số trong quá khứ để điều chỉnh tín hiệu điều khiển hiện tại. Công thức toán học của khâu tích phân trong điều khiển PID là:

I(t)=Ki⋅∫0tError(τ) dτI(t) = K_i \cdot \int_{0}^{t} \text{Error}(\tau) \, d\tauI(t)=Ki​⋅∫0t​Error(τ)dτ

Trong đó:

• I(t)I(t)I(t) là thành phần tích phân tại thời điểm ttt.

• KiK_iKi​ là hệ số khuếch đại của khâu tích phân.

• Error(τ)\text{Error}(\tau)Error(τ) là sai số tại thời điểm τ\tauτ.

• τ\tauτ là biến thời gian.

2. Hoạt động chi tiết:

• Tích lũy lỗi: Mỗi lần có sai số, khâu tích phân sẽ cộng dồn lỗi theo thời gian. Nếu có sai số dương hoặc âm kéo dài, khâu tích phân sẽ tích lũy lượng lỗi này và tăng tín hiệu điều khiển tương ứng.

• Bù sai số tĩnh: Khâu tích phân giúp loại bỏ sai số tĩnh. Sai số tĩnh xảy ra khi hệ thống chỉ có khâu tỷ lệ hoặc khâu vi phân, khiến cho biến quá trình không đạt đúng giá trị điểm đặt. Khâu tích phân sẽ tăng dần tín hiệu điều khiển cho đến khi sai số tĩnh được loại bỏ hoàn toàn.

• Tác động đến tín hiệu điều khiển: Khi sai số kéo dài, tín hiệu điều khiển từ khâu tích phân sẽ tăng lên dần, giúp hệ thống nhanh chóng đưa biến quá trình về đúng điểm đặt. Nếu hệ số khuếch đại Ki​ quá lớn, khâu tích phân có thể gây ra sự dao động quá mức trong hệ thống.

3. Ví dụ minh họa:

Giả sử hệ thống đang điều khiển nhiệt độ và có sai số là +2°C so với điểm đặt:

• Khâu tích phân sẽ tích lũy sai số này theo thời gian, và tín hiệu điều khiển sẽ tăng dần.

• Nếu sai số vẫn là +2°C trong một khoảng thời gian dài, tín hiệu điều khiển sẽ tiếp tục tăng cho đến khi nhiệt độ bắt đầu giảm xuống, làm giảm sai số.

• Khi nhiệt độ đạt đúng điểm đặt, sai số bằng 0, và khâu tích phân ngừng tích lũy lỗi, duy trì tín hiệu điều khiển ở mức cố định để giữ nhiệt độ ổn định.

4. Tác động của hệ số Ki​:

• Ki nhỏ: Khâu tích phân phản ứng chậm, hệ thống có thể mất nhiều thời gian để loại bỏ sai số tĩnh.

• Ki lớn: Khâu tích phân phản ứng nhanh, nhưng nếu quá lớn, hệ thống có thể bị dao động mạnh do tích lũy lỗi quá nhanh, dẫn đến tín hiệu điều khiển bị quá điều chỉnh (overshoot).

5. Kết luận:

Khâu tích phân là yếu tố quan trọng giúp hệ thống PID đạt được độ chính xác cao bằng cách loại bỏ sai số tĩnh. Tuy nhiên, cần điều chỉnh hệ số Ki​ một cách cẩn thận để tránh làm hệ thống trở nên không ổn định.

III. Thành phần Vi phân (D - Derivative):

1. • Thành phần vi phân dự đoán xu hướng thay đổi của lỗi dựa trên tốc độ thay đổi của lỗi theo thời gian. Nó giúp giảm thiểu sự dao động và cải thiện độ ổn định của hệ thống bằng cách làm giảm tốc độ thay đổi đột ngột của biến quá trình. Thành phần này thường hoạt động như một bộ giảm xóc, hạn chế sự phản ứng quá mức của hệ thống.

Khâu vi phân (Derivative) trong bộ điều khiển PID đóng vai trò quan trọng trong việc dự đoán và làm giảm tốc độ thay đổi của sai số, giúp cải thiện độ ổn định và hạn chế dao động của hệ thống. Để hiểu rõ hơn về nguyên lý hoạt động của khâu vi phân, chúng ta sẽ đi vào các chi tiết như sau:

1. Nguyên lý hoạt động của khâu vi phân:

Khâu vi phân phản ứng với tốc độ thay đổi của sai số giữa điểm đặt (set point) và biến quá trình (process variable) theo thời gian. Thay vì chỉ xem xét độ lớn của sai số, khâu vi phân tính toán độ dốc của sai số (tốc độ thay đổi) để dự đoán xu hướng và điều chỉnh tín hiệu điều khiển tương ứng.

Công thức toán học của khâu vi phân trong điều khiển PID là:

D(t)=Kd⋅d(Error(t))dtD(t) = K_d \cdot \frac{d(\text{Error}(t))}{dt}D(t)=Kd​⋅dtd(Error(t))​

Trong đó:

• D(t)D(t)D(t) là thành phần vi phân tại thời điểm ttt.

• KdK_dKd​ là hệ số khuếch đại của khâu vi phân.

• d(Error(t))dt\frac{d(\text{Error}(t))}{dt}dtd(Error(t))​ là đạo hàm của sai số theo thời gian, tức là tốc độ thay đổi của sai số.

2. Hoạt động chi tiết:

• Dự đoán và phản ứng: Khâu vi phân dự đoán xu hướng thay đổi của sai số dựa trên tốc độ thay đổi hiện tại. Nếu sai số đang tăng hoặc giảm nhanh chóng, khâu vi phân sẽ tạo ra tín hiệu điều khiển phản ứng ngược lại để làm giảm tốc độ thay đổi, ngăn chặn sự dao động hoặc quá điều chỉnh (overshoot).

• Tác động ổn định hóa: Khi hệ thống đang dao động, khâu vi phân giúp giảm bớt các dao động bằng cách làm mịn phản ứng của hệ thống. Nó hoạt động như một cơ chế giảm xóc, giúp hệ thống tránh các phản ứng quá mức khi sai số thay đổi đột ngột.

• Giảm thời gian đáp ứng: Mặc dù khâu vi phân không trực tiếp loại bỏ sai số tĩnh như khâu tích phân, nhưng nó cải thiện thời gian đáp ứng và độ ổn định của hệ thống, giúp hệ thống đạt được điểm đặt nhanh chóng hơn mà không gây ra dao động quá mức.

3. Ví dụ minh họa:

Giả sử hệ thống điều khiển nhiệt độ có sai số bắt đầu tăng nhanh:

• Khâu vi phân sẽ nhận thấy tốc độ thay đổi của sai số đang tăng và tạo ra tín hiệu điều khiển để giảm tốc độ này.

• Nếu không có khâu vi phân, hệ thống có thể phản ứng quá mức, dẫn đến nhiệt độ vượt quá điểm đặt (overshoot). Khâu vi phân giúp ngăn chặn điều này bằng cách điều chỉnh tín hiệu điều khiển sao cho sự thay đổi được làm mịn và ổn định.

4. Tác động của hệ số KdK_dKd​:

• KdK_dKd​ nhỏ: Khâu vi phân ít tác động đến hệ thống, khả năng dự đoán và làm giảm dao động yếu, có thể dẫn đến các dao động không mong muốn.

• KdK_dKd​ lớn: Khâu vi phân tác động mạnh, hệ thống trở nên rất nhạy cảm với các thay đổi nhỏ trong sai số. Nếu quá lớn, nó có thể gây ra sự dao động và thậm chí gây ra hiện tượng nhiễu vi phân (derivative kick), tức là tín hiệu điều khiển thay đổi đột ngột và mạnh mẽ khi có sự thay đổi nhỏ trong sai số.

5. Kết luận:

Khâu vi phân là một thành phần quan trọng trong bộ điều khiển PID, giúp cải thiện độ ổn định của hệ thống và giảm thiểu dao động bằng cách dự đoán và phản ứng với tốc độ thay đổi của sai số. Tuy nhiên, việc điều chỉnh hệ số KdK_dKd​ cần phải được thực hiện cẩn thận để tránh làm hệ thống trở nên quá nhạy cảm hoặc không ổn định.

Để cài đặt bộ điều khiển PID, bạn cần điều chỉnh ba thông số chính là: hệ số tỷ lệ (P), hệ số tích phân (I), và hệ số vi phân (D). Dưới đây là chi tiết từng thông số:

1. Hệ số tỷ lệ (P - Proportional Gain):

   • Đây là yếu tố chính trong điều khiển PID. Nó quyết định mức độ phản ứng của bộ điều khiển đối với sự sai lệch giữa giá trị thực tế và giá trị đặt (setpoint).

   • Giá trị P lớn sẽ khiến hệ thống phản ứng nhanh nhưng dễ gây ra dao động.

   • Giá trị P nhỏ sẽ làm hệ thống ổn định hơn nhưng phản ứng chậm.

2. Hệ số tích phân (I - Integral Gain):

   • Thành phần tích phân giúp giảm thiểu sai số bền vững (steady-state error) bằng cách tích lũy sai số theo thời gian và điều chỉnh để loại bỏ sai số này.

   • Giá trị I cao có thể loại bỏ sai số nhanh hơn nhưng dễ dẫn đến hiện tượng quá độ và dao động.

   • Giá trị I thấp sẽ giảm thiểu dao động nhưng thời gian loại bỏ sai số sẽ lâu hơn.

3. Hệ số vi phân (D - Derivative Gain):

   • Thành phần vi phân giúp dự đoán xu hướng của sai số và điều chỉnh để giảm tốc độ thay đổi của sai số, từ đó giảm thiểu dao động.

   • Giá trị D cao giúp giảm dao động nhưng có thể làm hệ thống trở nên quá nhạy với nhiễu.

   • Giá trị D thấp giúp hệ thống ổn định hơn nhưng có thể không đủ để giảm dao động.

Quy trình cài đặt các thông số PID:

1. Bắt đầu với chỉ số P:

   • Tăng dần giá trị P từ một mức thấp cho đến khi hệ thống bắt đầu dao động nhẹ. Đây là điểm mà hệ thống có độ phản ứng tốt nhưng chưa bị dao động quá lớn.

2. Thêm yếu tố I:

   • Tăng dần giá trị I để loại bỏ sai số bền vững. Quan sát hệ thống và điều chỉnh cho đến khi sai số bền vững biến mất mà không làm hệ thống dao động quá mức.

3. Thêm yếu tố D:

   • Tăng dần giá trị D để giảm dao động và làm cho hệ thống ổn định hơn. Tuy nhiên, cần cẩn thận để không làm hệ thống quá nhạy với nhiễu.

Các bước cài đặt:

1. Cài đặt giá trị ban đầu: Chọn giá trị ban đầu cho P, I, D dựa trên kinh nghiệm hoặc theo các quy tắc điều chỉnh như Ziegler–Nichols.

2. Điều chỉnh giá trị P: Bắt đầu tăng dần giá trị P cho đến khi hệ thống dao động nhẹ, sau đó giảm một chút để ổn định hệ thống.

3. Điều chỉnh giá trị I: Thêm yếu tố I để loại bỏ sai số bền vững mà không làm hệ thống dao động quá mức.

4. Điều chỉnh giá trị D: Thêm yếu tố D để giảm dao động và ổn định hệ thống.

5. Kiểm tra và tinh chỉnh: Sau khi cài đặt xong, kiểm tra hoạt động của hệ thống dưới các điều kiện khác nhau và tinh chỉnh các giá trị P, I, D nếu cần thiết.

Điều quan trọng là quá trình này yêu cầu thử nghiệm và điều chỉnh liên tục để đạt được hiệu suất tối ưu cho hệ thống.

Ngoài việc điều chỉnh các hệ số tỷ lệ (P), tích phân (I), và vi phân (D), bạn cũng có thể cần thay đổi các thông số thời gian tương ứng để điều chỉnh hiệu suất của bộ điều khiển PID. Các thông số này có thể bao gồm:

1. Thời gian tích phân (Integral Time, TiT_iTi​):

   • Thời gian tích phân xác định thời gian mà hệ thống sẽ cần để tích lũy sai số và bù đắp cho nó. Đây là thời gian mà tín hiệu tích phân sẽ đạt đến giá trị mà nó sẽ loại bỏ sai số.

   • Điều chỉnh: Thời gian tích phân ngắn hơn (tức là giá trị TiT_iTi​ nhỏ hơn) sẽ làm hệ thống phản ứng nhanh hơn với sai số, nhưng cũng có thể gây dao động nhiều hơn. Thời gian tích phân dài hơn (giá trị TiT_iTi​ lớn hơn) sẽ làm hệ thống phản ứng chậm hơn nhưng ổn định hơn.

2. Thời gian vi phân (Derivative Time, TdT_dTd​):

   • Thời gian vi phân xác định khoảng thời gian mà hệ thống sẽ xem xét tốc độ thay đổi của sai số để dự đoán và phản ứng với sai số đó.

   • Điều chỉnh: Thời gian vi phân ngắn hơn (giá trị TdT_dTd​ nhỏ hơn) sẽ làm hệ thống phản ứng nhanh hơn với sự thay đổi của sai số, nhưng có thể làm hệ thống nhạy cảm với nhiễu. Thời gian vi phân dài hơn (giá trị TdT_dTd​ lớn hơn) sẽ giảm độ nhạy của hệ thống với nhiễu nhưng có thể làm phản ứng chậm lại.

Sự khác biệt giữa hệ số và thời gian:

• Hệ số tỷ lệ, tích phân, vi phân (P, I, D): Điều chỉnh mức độ ảnh hưởng của từng thành phần (tỷ lệ, tích phân, vi phân) trong điều khiển PID.

• Thời gian tích phân và vi phân (TiT_iTi​, TdT_dTd​): Điều chỉnh tốc độ và khoảng thời gian mà các thành phần tích phân và vi phân hoạt động trong hệ thống.

Quy trình điều chỉnh:

1. Bắt đầu với hệ số P, I, D:

   • Điều chỉnh hệ số P trước để đạt được phản ứng ban đầu mong muốn.

   • Sau đó, điều chỉnh hệ số I để loại bỏ sai số bền vững.

   • Cuối cùng, điều chỉnh hệ số D để giảm dao động.

2. Điều chỉnh thời gian Ti​ và Td

   • Nếu hệ thống có xu hướng dao động hoặc không đạt được độ ổn định như mong muốn, bạn có thể cần điều chỉnh thời gian TiT_iTi​ hoặc TdT_dTd​.

   • Giảm Ti để tăng tốc độ phản hồi của hệ thống với sai số.

   • Tăng Td để làm hệ thống ít nhạy với nhiễu nhưng phản ứng chậm hơn.

3. Kiểm tra và tinh chỉnh: Tiếp tục kiểm tra và tinh chỉnh cả hệ số và thời gian để đạt được hiệu suất tối ưu cho hệ thống.

Như vậy, việc điều chỉnh thời gian cùng với hệ số sẽ giúp bạn kiểm soát và tối ưu hóa tốt hơn hiệu suất của hệ thống điều khiển PID.

Thông thường với bộ điều khiển nhiệt độ thì thời gian Ti, Td bằng bao nhiêu?

Với bộ điều khiển PID dùng cho điều khiển nhiệt độ, các giá trị thời gian tích phân (TiT_iTi​) và thời gian vi phân (TdT_dTd​) thường phụ thuộc vào đặc tính của hệ thống nhiệt cụ thể mà bạn đang điều khiển, bao gồm độ trễ nhiệt, khối lượng nhiệt, và tốc độ phản hồi của hệ thống.

Tuy nhiên, có một số giá trị tham khảo thông thường:

1. Thời gian tích phân (TiT_iTi​):

   • Giá trị thường nằm trong khoảng từ 4 đến 10 lần thời gian đáp ứng của hệ thống.

   • Đối với các hệ thống nhiệt độ điển hình, thời gian tích phân thường nằm trong khoảng 100 đến 600 giây.

   • Nếu TiT_iTi​ quá nhỏ, hệ thống sẽ phản ứng quá nhanh với các sai số nhỏ, dẫn đến dao động. Nếu TiT_iTi​ quá lớn, hệ thống có thể chậm loại bỏ sai số bền vững.

2. Thời gian vi phân (TdT_dTd​):

   • Giá trị thường nằm trong khoảng 0.1 đến 1 lần thời gian đáp ứng của hệ thống.

   • Đối với các hệ thống nhiệt độ, thời gian vi phân thường nằm trong khoảng 10 đến 100 giây.

   • TdT_dTd​ quá lớn có thể khiến hệ thống trở nên quá nhạy với nhiễu, trong khi TdT_dTd​ quá nhỏ có thể không đủ để giảm dao động.

Ví dụ tham khảo:

• Ứng dụng gia nhiệt chậm (như lò nướng công nghiệp, bể gia nhiệt):

  • TiT_iTi​: 300–600 giây.

  • TdT_dTd​: 50–100 giây.

• Ứng dụng gia nhiệt nhanh (như các lò nhiệt nhỏ hoặc bếp điện):

  • TiT_iTi​: 100–300 giây.

  • TdT_dTd​: 10–50 giây.

Lưu ý:

Các giá trị trên chỉ mang tính chất tham khảo và có thể cần điều chỉnh tùy thuộc vào từng hệ thống cụ thể. Để có giá trị TiT_iTi​ và TdT_dTd​ chính xác, bạn nên thực hiện việc tinh chỉnh và tối ưu trực tiếp trên hệ thống của mình thông qua phương pháp thử nghiệm hoặc các quy tắc điều chỉnh như Ziegler–Nichols.

Thời gian đáp ứng của hệ thông là gì?

Thời gian đáp ứng của hệ thống là khoảng thời gian mà hệ thống cần để đạt được một phần hoặc toàn bộ giá trị mong muốn sau khi có một sự thay đổi hoặc tín hiệu đầu vào mới. Thời gian đáp ứng là một chỉ số quan trọng để đánh giá hiệu suất của hệ thống điều khiển, đặc biệt là trong các hệ thống điều khiển tự động như PID.

Các khái niệm liên quan đến thời gian đáp ứng:

1. Thời gian tăng (Rise Time):

   • Đây là khoảng thời gian để đầu ra của hệ thống tăng từ giá trị ban đầu lên một tỷ lệ nhất định của giá trị cuối cùng, thường là từ 10% đến 90% hoặc 0% đến 100% của giá trị đặt.

2. Thời gian vọt lố (Overshoot Time):

   • Thời gian vọt lố là thời điểm mà đầu ra của hệ thống đạt giá trị cực đại trước khi ổn định tại giá trị cuối cùng.

3. Thời gian ổn định (Settling Time):

   • Đây là thời gian để đầu ra của hệ thống giảm dao động và duy trì ổn định trong một phạm vi nhất định xung quanh giá trị đặt (thường là ±2% hoặc ±5% của giá trị đặt).

4. Thời gian trễ (Delay Time):

   • Là khoảng thời gian giữa lúc tín hiệu đầu vào thay đổi và lúc hệ thống bắt đầu có phản ứng rõ rệt.

Ý nghĩa của thời gian đáp ứng:

• Thời gian đáp ứng ngắn: Hệ thống có thể phản ứng nhanh với sự thay đổi, thường được mong muốn trong các ứng dụng cần sự nhanh nhạy.

• Thời gian đáp ứng dài: Hệ thống phản ứng chậm, điều này có thể cần thiết trong những ứng dụng yêu cầu sự ổn định và tránh dao động quá mức.

Trong điều khiển PID:

• Thời gian đáp ứng của hệ thống ảnh hưởng trực tiếp đến việc lựa chọn các tham số của bộ điều khiển PID như hệ số tỷ lệ (P), thời gian tích phân (TiT_iTi​), và thời gian vi phân (TdT_dTd​).

• Một hệ thống có thời gian đáp ứng ngắn thường yêu cầu các tham số PID được tinh chỉnh cẩn thận để tránh dao động quá mức.

• Ngược lại, một hệ thống có thời gian đáp ứng dài có thể cần các giá trị tích phân lớn hơn và thời gian vi phân dài hơn để đảm bảo ổn định.

Ví dụ:

• Hệ thống nhiệt: Thời gian đáp ứng có thể là vài phút vì sự thay đổi nhiệt độ thường diễn ra chậm.

• Hệ thống điều khiển động cơ: Thời gian đáp ứng có thể là vài mili giây đến vài giây, vì động cơ cần phản ứng nhanh với thay đổi của tín hiệu điều khiển.

Hiểu rõ thời gian đáp ứng giúp bạn lựa chọn và điều chỉnh các tham số điều khiển PID một cách hiệu quả, đảm bảo hệ thống đạt được hiệu suất tối ưu.