Тема: Показникові рівняння
Клас: 11
Предмет: Алгебра
Мета уроку: освітня--- познайомити з новим видом рівнянь – показниковими, показати способи розв’язання різних видів показникових рівнянь за алгоритмом; навчити учнів розв’язувати показникові рівняння різними способами;
Виховна--- виховувати культуру математичних міркувань, створювати ситуацію взаємодопомоги; розвивати вміння аргументувати, обмінюватися
ідеями.
Розвиваюча---розвивати вміння думати, аналізувати, формувати математичні компетентності.
Учні повинні: уміти розв’язувати показникові рівняння різними способами
Формування ключових компетентностей: формувати уміння грамотно висловлюватись рідною мовою, доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію; застосовувати математичний апарат для розв’язання показникових рівнянь; усвідомлення значення математики для дослідження навколишнього світу; усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій; уміння діяти за алгоритмом; усвідомлення важливості ІКТ для ефективного пошуку інформації та розв’язання математичних задач; самостійне опрацювання навчального матеріалу з математики; критично оцінювати власні досягнення; усвідомлювати важливість самоосвіти для успішного життя; уміння виявляти ініціативу та відповідальність під час роботи .
Тип уроку: формування вмінь і навичок.
Хід уроку
1. Організаційний момент (привітання, перевірка відсутніх)
2. Мотивація навчальної діяльності
Застосування показникової функції досить широке: фізика, хімія, медицина, економіка, екологія, географія та ще цілий ряд наук. Сьогодні ми продовжуємо вивчення розділу «Показникова функція» й познайомимося з вами з новим видом рівнянь, які обов’язково входять до завдань ЗНО на рівні з квадратними, ірраціональними та тригонометричними. Вони мають назву – показникові.
3. Актуалізація і корекція опорних знань
Фронтальне опитування
Ø Яка функція називається показниковою?
(Функція виду у = ах, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою)
Ø Назвіть область визначення показникової функції? (D(y) = R)
Ø Назвіть область значень показникової функції? (Е(у) = (0; + ∞))
Ø За якої умови показникова функція зростає? (а > 1) Спадає? (0 < а < 1)
Ø Як називається графік показникової функції? (експонентою)
Вправа «Встанови відповідність»
Подайте у вигляді степеню з основою 3 число:
81
1/27
3√3
81-1
5√9
1
34
3-3
31/3
3-4
32/5
30
4.
Вивчення нового матеріалу.
Тема нашого уроку «Показникові рівняння». Показниковими називають рівняння, в яких невідоме (змінна) входить лише у показник степеня (а основа цього степеня не містить змінної).
Розглянемо найпростіше показникове рівняння , де , . Оскільки множина значень функції – множина додатних чисел, то дане рівняння :
1) має єдиний корінь, якщо ;
2) не має коренів, якщо .
Щоб знайти єдиний корінь при , досить подати у вигляді . Очевидно, що .
Графічно це проілюстровано на рисунку.
Наприклад, щоб розв’язати рівняння =49, досить подати це рівняння у вигляді і записати його єдиний корінь х=2.
Розглянемо інше рівняння: . Дане рівняння не має коренів, оскільки завжди більше нуля.
Узагальнюючи наведені вище міркування стосовно розв’язування найпростіших показникових рівнянь, відзначимо, що при , рівняння: , рівносильно рівнянню
Запишемо коротко це так:
Найпоширенішим способом розв’язування показникових рівнянь є зведення до однієї основи, використовуючи основні формули дій над степенями, які ми щойно повторили.
Розглянемо приклад:
2х+4 = 2
2х = -2
Х = -1
Ми розглянули найпростіші рівняння. Загального методу розв’язання показникових рівнянь немає. Можна виділити кілька видів показникових рівнянь і навести способи їх розв’язання.
Найпоширеніший спосіб – спосіб зведення до спільної основи (використовуючи властивості степеня з раціональним показником)
1. Застосуємо властивість
2. Скоротимо дріб
3. Представимо числа 27 і 64 у вигляді степеню
4. Застосуємо правило:
Спосіб винесення спільного множника за дужки
1. Перенесемо невідомі в одну частину рівняння, числа – в іншу.
2. Застосуємо властивість степеню
3. Винесемо за дужки у лівій частині рівняння найменший степінь числа 2.
4. Невідомий множник знаходимо, поділивши добуток на відомий множник.
5. Представимо результат у вигляді степеню числа 2.
6. Застосуємо правило:
Спосіб зведення рівняння до квадратного шляхом заміни змінної
1. Застосуємо властивості степеню
2. Робимо заміну змінної
3. Отримуємо квадратне рівняння
4. Застосовуємо теорему Вієта (чи формулу Дискримінант)
5. Знаходимо корені та повертаємось до заміни.
6. Розв’язуємо найпростіші показникові рівняння за правилом:
,
7. Пам’ятайте! Рівняння , не має коренів, якщо
5. Закріплення отриманих знань
Розв'язати рівняння:
х=3.
Відповідь:3.
2. × = ;
;
;
х = 4.
Відповідь. 4.
3. 4х + 3×2х – 4 = 0;
22х + 3×2х – 4 = 0;
Нехай 2х = t, 22х = t2;
t2 + 3t – 4 = 0;
D = 32 - 4×1× (- 4) = 25;
2х = 1; 2х = - 4;
2х = 20; розв’язків
х = 0. немає.
Відповідь. 0.
6. Домашнє завдання
7. Підведення підсумку уроку. Оцінювання. Учні оцінюють свою роботу.
Узагальнення і систематизація знань
Яку тему ми вивчали на уроці?
Дайте визначення показниковому рівнянню.
Скільки способів розв’язання показникових рівнянь ми розглянули?
Чи вдалося досягти мети уроку?
Над чим потрібно ще попрацювати?