Résolution de
problèmes

Fonction à optimiser

Dans certaines situations faisant intervenir un ensemble de contraintes, l'objectif visé se traduit par la recherche de la solution la plus avantageuse. Cette solution peut correspondre à la valeur la plus élevée, appelée maximum, ou à la valeur la moins élevée, appelée minimum.


Cette valeur optimale s'obtient à l'aide de la règle d'une fonction appelée fonction à optimiser (fonction qui dépend à la fois de x et de y, les deux variables de la situation)



Exemple:


Un pâtissier produit des biscuits et des beignes. Plusieurs contraintes se présentent à lui. Son but est de maximiser ses revenus. On cherche donc la quantité de biscuits et de beignes à produire selon ses contraintes pour avoir le plus grand revenu possible. On sait qu'un biscuit et un beige coûtent respectivement 1,05$ et 1,60$. Ainsi, la fonction à optimiser pourrait s'écrire comme R = 1,05x+1,60y, où x est le nombre de biscuits et y, le nombre de beignes.

Solution avantageuse

En bref, à partir des sommets du polygone de contraintes, il suffit de calculer chaque valeur de la fonction à optimiser en remplaçant le x et le y par les coordonnées de chaque sommet afin de déterminer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum dépendamment si l'on cherche à minimiser ou maximiser dans la situation.

La droite baladeuse

La méthode par table de valeur nécessite de déterminer tous les sommets de ton polygone de containtes. La vidéo ci-dessous explique la méthode de la droite baladeuse.

Cette seconde méthode t'aidera à trouver la réponse de manière beaucoup plus rapide!

Cette méthode est efficace et rapide. Je te suggère donc de l'utiliser pour résoudre les problème d'optimisation.



ASTUCE:

Si l'on trace la baladeuse sur tous les sommets, on peut observer que le sommet D est le plus avantageux.

Étapes à suivre pour résoudre un problème d'optimisation

  1. Identifier les variables:
    - Utiliser x et y pour identifier les inconnus.
    - Être clair et précis.

  2. Déterminer les contraintes de la situation:
    - Identifier toutes les contraintes du texte.
    - Ne pas oublier les contraintes de positivité si elles s'appliquent.

  3. Identifier le but de la situation:
    - L'objectif est-il de minimiser ou de maximiser?

  4. Déterminer la règle de la fonction à optimiser :
    - Selon le but, déterminer l'équation qui permet de le calculer.

  5. Déterminer l'équation de la droite baladeuse:
    - En mettant la règle égale à zéro, déterminer l'équation de la droite baladeuse (Isoler y)

  6. Tracer le graphique:
    - Tracer toutes les contraintes dans un même graphique.
    - Identifier le polygone de contraintes.
    (Ne pas oublier de donner un titre au graphique et de nommer les axes)

  7. Déterminer la solution la plus avantageuse:
    - À l'aide de la droite baladeuse, déterminer le meilleur sommet.

  8. Calculer le sommet:
    - À l'aide de la comparaison, la substitution, la réduction ou la déduction*, déterminer les coordonnées du sommet.
    (*Il est possible de lire les coordonnées du point sur le graphique à condition d'être précis lorsque l'on dessine le graphique et que le point arrive juste)

  9. Calculer la réponse finale:
    -     À l'aide de la règle, calculer la réponse.

  10. Donner la réponse finale sous forme de phrase.

Exemple:

Un agriculteur élève deux types de volaille : des poulets et des dindes. Son élevage compte au plus 550 volailles. Le nombre de poulets est toujours inférieur ou égal au triple du nombre de dindes. L’agriculteur garde au moins 60 poulets dans son élevage. L’entretien quotidien d’un poulet coûte 0,65$ et celui d’une dinde 0,80$. L’agriculteur veut déterminer le nombre de volailles de chaque type qu’il doit posséder pour minimiser les coûts d’entretien.

Explications complètes
(Corrigé du problème)

Première lecture