Optimisation
Rappel: Déterminer l'équation d'une droite
L'ordonnée à l'origine
L'ordonnée à l'origine est le point d'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées. Il est représenté par la lettre b dans la fonction linéaire.
L'abscisse à l'origine
L'abscisse à l'origine est le point d'intersection entre la droite et l'axe des abscisses. Il n'est pas présent dans l'équation de la fonction linéaire. Il faut donc faire un calcul pour le déterminer.
Rappel: Résoudre un système d'équations
La comparaison
On utilise la méthode de comparaison lorsque dans nos deux équations, la même variable est isolée.
La substitution
On utilise la méthode de substitution lorsqu'une variable est isolée dans l'une des équations.
La réduction
On utilise la méthode de réduction lorsque nos deux équations sont de la forme Ax+By=C
Exemples:
Rappel: Résoudre une situation à l'aide d'un système d'équations
Étapes
Identifier les variables
Former deux équations
Résoudre le système d'équations
Valider
Calculer la réponse finale
Répondre à la question par une phrase
Rappel: Les inéquations à une variable
Exemples:
Rappel: Tracer une droite dans le plan cartésien
La méthode
Astuce calculatrice
Certaines calculatrices ont l'option table qui permet de générer une table de valeur. La vidéo ci-dessus explique la marche à suivre avec la calculatrice TI-30XS.
Les inéquations du premier degré à deux variables
Comment isoler y dans une inéquation
Exemples: traduire une situation en inéquation
Exercices de traduction.pdfExercices de traduction_corrigé.pdfTracer un demi-plan
Cas particuliers de demi-plans
ERRATUM: à 1min46, le signe d'inégalité dans le demi plan de droite est inversé.
Système d'inéquations
Un système d'inéquations est composé de deux inéquations ou plus. Il faut tracer ces inéquations dans un plan cartésien et déterminer la zone commune (si elle existe) qui peut être ouverte ou fermée.
Zone ouverte
Système de 2 inéquations qui forment une zone ouverte
Zone fermée
Système de 3 inéquations qui forment une zone fermée
Pas de zone commune
Système de 2 inéquations sans zone commune
Comment tracer un système d'inéquations
Méthode pour vérifier si un point fait partie de la solution d'un système d'inéquations
Méthode algébrique:
Pour déterminer si un pint fait partie de l'ensemble solution, il faut le calculer dans toutes les inéquations du système. Si le point donne une inégalité qui est vraie pour chacune des inéquations alors celui-ci fait partie de l'ensemble solution.
Méthode graphique:
Pour déterminer si un point fait partie de l'ensemble solution, il faut tracer le système dans un plan cartésien. Ensuite, il faut vérifier si le point appartient à la zone commune du système.
Polygone de contraintes
Un polygone de contraintes est un polygone convexe (ouvert ou fermé) qui représente l'ensemble-solution d'un système d'inéquations traduisant, dans une situation, les contraintes sur les variables
Dans la figure ci-contre, le polygone de contraintes est représenté par la zone hachurée. Il s'agit de polygone fermé, borné par 4 inéquations.
Pour déterminer les coordonnées des sommets d'un polygone de contraintes, on résout, pour chaque sommet, le système d'équations approprié.
Les contraintes de positivité
Dans la plupart des situations réelles associées à un système d'inéquations, les variables prennent des valeurs supérieurs à 0
Résoudre une situation d'optimisation
Étapes
Identifier les variables
Déterminer les contraintes
Identifier le but
Déterminer la règle
Tracer le système d'inéquations
Calculer les sommets
Calculer la solution optimale
Répondre à la question à l'aide d'une phrase
Quelques problèmes
Problème 1
Un agriculteur élève deux types de volaille : des poulets et des dindes. Son élevage compte au plus 550 volailles. Le nombre de poulets est toujours inférieur ou égal au triple du nombre de dindes. L’agriculteur garde au moins 60 poulets dans son élevage. L’entretien quotidien d’un poulet coûte 0,65$ et celui d’une dinde 0,80$. L’agriculteur veut déterminer le nombre de volailles de chaque type qu’il doit posséder pour minimiser les coûts d’entretien.
Problème 2
Jean-François s’adonne à l’ébénisterie. Pour se faire un peu d’argent, il fabrique un modèle de table console et une petite étagère à bibelots. Pour fabriquer une table, il prend trois heure et pour une étagère, deux heures. Il ne peut consacrer plus de 24 heures par semaines à la fabrication de ces meubles. Il réalise un profit de 40$ par table et de 30$ par étagère. Il réussit à vendre toute sa production à la condition de fabriquer au moins deux fois plus de tables que d’étagère. Combien de tables et d’étagères devra-t-il fabriquer pour réaliser un profit maximal?
Problème 3
Martin s’est engagé, au cours de l’été à tondre les pelouses de quelques voisins; il demande 8$ l’heure. Cet emploi l’occupe au moins cinq heures par semaines. Il s’est aussi trouvé un emploi dans un atelier de réparation et d’entretien de bicyclettes. Il y consacre au moins le double d’heures qu’il consacre à la tonte des pelouses; il gagne alors 9,50$ l’heure. Cependant, son employeur ne peut lui garantir plus de 22 heures par semaine. Martin veut travailler un maximum de 30 heures par semaine. Il se demande combien d’heures il devra consacrer à chacun de ces emplois pour gagner le plus d’argent possible.
Problème 4
Un éleveur produit des porcs et des sangliers. Son assurance ne couvre pas plus de 2200 têtes. Les installations disponibles font en sorte que la différence entre le nombre de porcs et le nombre de sangliers élevés en même temps ne peut pas dépasser 1200 têtes. Le marché du sanglier est tel que sa production ne peut pas excéder le quart de la production porcine. Le profit estimé pour un sanglier est de 175 $, alors qu’il est de 120 $ pour un porc. Déterminez le nombre de porcs et le nombre de sangliers que cet éleveur devrait produire afin de maximiser ses profits.
Problème 5
Une journée d’activités est prévue à l’école. La plupart des activités se déroulent au centre Boisclair. Pour le transport des élèves, le directeur doit réserver deux types d’autobus : un autobus du premier type coûte 200$ et peut transporter 48 passagers, et un autobus du second type coûte 140$ et peut transporter 32 personnes. Toutefois, le directeur devra louer au moins deux autobus de chaque type pour profiter de ces prix. La compagnie dispose d’un maximum de six autobus du premier type pour cette journée. Le directeur prévoit que le nombre d’élèves qui s’inscriront aux activités du centre Boisclair sera d’au moins 480. Il se demande combien d’autobus de chaque type il faudra réserver pour transporter les élèves au meilleur coût possible.
Problème 6
Une apicultrice vend des pots de 500 ml de miel. Le pot de miel de trèfle se vend 6$ et le pot de miel de fleurs sauvages 8$. L’apicultrice produit un minimum de 20 pots de miel de trèfle par semaine et un maximum de 35 pots au total. Sa production hebdomadaire de pots de miel de fleurs sauvages est inférieure au double de celle de pots de miel de trèfle. Elle veut savoir combien de pots de miel de chaque sorte elle doit vendre par semaine pour maximiser ses revenus hebdomadaires.
Problème 7
Un architecte planifie sa prochaine offre de service pour soumissionner sur un nouveau projet. Il prévoit travailler sur ce projet au mains 132h, mais pas plus de 180h. Il estime qu’il travaillera au moins deux fois plus de temps à la surveillance du chantier qu’à la conception des plans. Sachant que le taux horaire pour la conception des plans est de 55$ et que celui pour la surveillance du chantier est de 45$, quel montant maximal l’architecte doit-il prévoir pour son offre de service?
Problème 8
Une artiste peint des tableaux à l’aide de peinture acrylique ou de peinture à l’huile. Voici la planification de son travail
Sachant qu’elle désire au moins 19 toiles à l’aide d’un maximum de 4 L de peinture dans un délai de 140h ou moins, combien de toiles doit-elle peindre si elle désire minimiser ses dépenses?