Produsul cartezian

Definiție: Se numește pereche ordonată (cuplu) formată din elementele x şi y, notată cu ( x, y ) , o ordine între elementele x şi y în sensul că x este primul element, iar y este al doilea element .

În perechea (x, y), x se mai numeşte prima componentă, iar y a doua componentă. Două perechi (x, y) şi (x’,y ’ ) sunt egale dacă şi numai dacă x = x’ şi y =y’.

Exemple:

1) Cu numerele 1 şi 2 putem forma două perechi ordonate: (1, 2) şi (2, 1) care sunt distincte. În plus, perechile (1, 2) şi (2, 1) sunt diferite de mulţimea {1,2}.

2) Cu numerele 1 şi 1 putem forma cuplul (1, 1)

Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate (a, b), în care a∈ A şi b ∈B se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B (în această ordine) şi se notează AxB.

AxB = {(a, b) | a ∈A şi b ∈B}.

Exemple

Fie A = {1, 4, 5} şi B= {1, 2, 3}.

Atunci A x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} şi B xA = {(1, 1), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 4), (2, 5), (3,1), (3, 4), (3, 5)}.

Se observă A X B ≠ B X A deoarece, de exemplu, elementul (1, 2)∈ A x B ş i ( 2 , 1 ) ∈ B x A .

Observații

1) Dacă A este o mulţime finită cu m elemente, iar B este o mulţime finită cu n elemente, atunci A x B are m • n elemente.

2) Mulţimea A x B se poate reprezenta grafic printr-o mulţime de puncte din plan, în care s-a fixat un sistem de axe rectangulare xOy, asociind fiecărui element (x, y) ∈ A x B, punctul P(x, y), de coordonate x şi y.