التحويل اللوغاريتمي للمتغيرات، مالَه وما عليه

تاريخ النشر: Aug 13, 2018 10:43:42 AM

لِمَ ندخل اللوغاريتم على المتغيرات ؟ هو السؤال الأكثر إلحاحا في مرحلة ما لدى ممارسي القياس الاقتصادي، فبعضٌ يستخدمه دون سابق إنذار مهما كان التطبيق ومهما كانت خصائص السلسلة الزمنية أو البيانات وهذا ما يقلل من جودة التقدير في بعض الحالات.

اللوغاريتم أو الخوارزمية - نسبة إلى الخوارزمي - هي الدالة العكسية للدالة الأسية، كثيرا ما يستعملها القياسي في أثناء النمذجة بمبررات مختلفة يمكن حصرها في تسعة أهداف أساسية

أولا: التقليص من حدة اختلاف التباين

ثانيا: تحويل سلسة ذات اتجاه عام أسي إلى الخطية

ثالثا: تحويل توزيع السلسة إلى التوزيع الطبيعي إن لم يكن كذلك

رابعا: تحويل السلسلة من النموذج الجدائي إلى التجميعي ومن ثمة إمكانية الفصل بين مكوناتها

خامسا: المساعدة في إيجاد القيم المتطرفة في السلسة بصفة أسهل

سادسا: التحويل الخطي للعلاقات الأسية بين المتغيرات

سابعا: تحويل التغيرات إلى النسب المئوية (المرونات) بدلا من التغيرات بالوحدة

ثامنا: تجانس البيانات بتقليص الفجوة بين القيم الكبيرة والقيم الصغيرة جدا

تاسعا: إزالة الارتباط بين المتغيرات المفسرة والأخطاء العشوائية

بعض التطبيقات

أولا : تثبيت التباين يجعل الفروق الأولى تعمل على استقرار السلسلة، وتحويل تحركها غير الخطي بمعدل نمو متوسط إلى تحرك خطي متزايد (أو متناقص) بمقدار ثابت، لو مثلنا سلسلة كما يلي

X_t = 1,2*X_t-1 ؛

بإدخال اللوغاريتم ستصير هكذا

(log(X_t) = log(1,2) + log(X_t-1

فبدل من معدل نمو قدره 20 في المائة صار معدل النمو ثابتا ويساوي لوغاريتم (1,2). وبعد إدخال اللوغاريتم على السلسلة الفرق الأول يؤدي إلى استقرارها، في حين قبل إدخاله قد لا تستقر إلا بعد الفرق الثاني أو الثالث

ثانيا : بالطريقة نفسها نحول السلسلة ذات المركبات الجدائية إلى التجميعية

y = T*C*S*R

بإدخال اللوغاريتم تصير السلسلة كما يلي

(log(y) = log(T) + log(C) + log(S) + log(R

ثالثا : بالطريقة نفسها يمكن ضمان التأثير المستقل لحد الخطأ العشوائي على المتغير المفسِر، لأن خرق الفرض

cov(x,u) = 0

يعني أن علاقة الجمع بينهما لا تفسر المتغير التابع

y = x + u

أي يمكن أن تكون العلاقة جداء

y = x*u

لكن بإدخال اللوغاريتم نضمن إزالة هذا الأثر

log(y) = log(x) + log(u)

ملاحظات

أولا- شخصيا أتجنب التحويل اللوغاريتمي للبيانات قدر الإمكان، فإذا كان السبب تجانس البيانات فقط فيمكن كتابة (3500000000) مثلا كما يلي (3,5) وتكون الوحدة مليار وهكذا، دون أن تتأثر النمذجة باختلاف وحدات القياس لكن تؤخذ بعين الاعتبار في تفسير النتائج وحسب (مثال تطبيقي هنا)

ثانيا- سبب آخر لتجنب التحويل اللوغاريتمي متعلق بجودة التقدير، حيث أنه كلما زاد تشتت المتغير المفسِّر كلما كان التقدير أجود لأن تباينات المقدَّرات ستننخفض ومن ثمة التقليل من الأخطاء المعيارية وارتفاع في إحصائية ستودنت.

ثاثا- من الناحية التطبيقية أول عقبة تصادف الممارس هي القيم السالبة لأن اللوغاريتم معرف على القيم الحقيقية الموجبة فقط، ماكينون وماجي (1990) استخدموا دالة معرفة على كل الأعداد الحقيقية هي معكوس الدالة الجيبية الزائدة ونتائجها كانت جيدة، لكن التقنية تفقد ميزتها لما تكون القيم السالبة كثيرة وقد قمت بتجربة سابقة أفضت إلى نتائج محرفة سأنشرها لاحقا

يبقى الحل المعمول به هو إضافة عدد موجب لكل قيم السلسلة حتى تصير معرفة لدالة اللوغاريتم

log(y_i+k)

رابعا- عقبة أخرى تتمثل في سؤال مطروح حول إمكانية إدخال اللوغاريتم على النسب ؟ الإجابة تتفرع إلى نقطتين

أ. النماذج الانحدارية تبنى على علاقات دالية بين المتغيرات، فإذا كانت العلاقة اللوغاريتمية هي الأنسب فاستخدام التحويل اللوغاريتمي مطلوب مهما كان مقياس المتغيرات حتى ولو كانت نسب مئوية. نفترض أن المتغير المحول هو سعر الفائدة، سيتم التعبير عن نتائجه بلوغاريتم سعر الفائدة وترجمة تغيراته تكون بالنقطة المئوية

بـ. التحويل اللوغاريتمي يطبق على السلاسل الزمنية حتى وإن كانت نسب مئوية إلا في حالة واحدة وهي حينما تؤخذ السلسلة بالفروق الصيغة الأخيرة تمثل معدل نمو السلسلة وهي ـ طبعا ـ نسبة مئوية، بمعنى آخر إدخال اللوغاريتم في حالة كهاته على نسبة مئوية هو كحساب نسبة النسبة وهذا لا يصح ولا تفسير له اقتصاديا.