초원정리(hypercircle theorem)는 엄밀해를 얻을 수 없을 때, 근사해가 엄밀해과 비교하여 오차가 얼마가 되는지 알려주는 정리이다. 1947년 Synge가 발표하였으며 [1,2], 엄밀해는 정적허용장(statically admissible field)과 운동학적허용장(kinematically admissible field) 사이에 존재하고, 근사해의 오차를 초원 위에 있음을 증명하였다. 이 정리는 수치해석에서 오차를 추정하거나, 엄밀해를 알 수 없을 경우 상한값과 하한값을 추정할 때 사용한다. 이를 이용하면 개발된 보/판/쉘 이론의 정확도를 정성적으로 판단할 수 있을 것으로 예상된다. 

이 초원 정리에 따르면, 고전적인 EB 보 이론(운동학적허용장으로 사용) 대신에 운동학적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 개발하면 EB 보 이론보다 더 정확한 하한값을 계산할 수 있다. 한편 상한값은 정적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 유도하여 해결할 수 있다. 문제는 '운동학적 또는 정적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 유도할 수 있는 가?'이다. 이에 대한 가능성은 아직 탐구 중이나, 섭동론을 이용하여 RT 보 이론을 유도할 때 두께방향으로의 응력 경계조건을 무시한다면, 고전적인 RT 보 이론을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.

[1] W. Prager and J.L. Synge, "Approximates in elasticity based on the concept of function space," Quarterly of Applied Mathematics,  1947, Vol. 5, No. 3, pp. 241~269.

[2] J.L. Synge, "The method of the hypercircle in function-space for boundary-value problems," Royal Society of Physics-A, 1947, pp. 447~467.

[3] J.L. Synge, The hypercircle in mathematical physics, Cambridge University Press, 1957.

유한요소 축차법은 복잡한 구조물을 여러 개의 작은 구조물에 대한 유한요소 모델로 나누어 해석하는 기법이다. 그러나 축차법의 주요한 문제 중의 하나는 물리적 의미가 있는 축차 요소를 구성하기 어렵다는 것에 있다. 구조에 대한 차원 축소는 보/판/쉘 요소와 같이 이론적 수준에서 구조물의 차원을 줄이는 것이어서, 유한요소 축차법과 대조된다. 이 연구에서는 축차법과 축소법의 경계에 있는 차원 축소법을 개발하였다. 결과적으로 경계에서의 보에 해당하는 자유도만을 가지는 보 요소를 만들 수 있었으며, 내부에 공동/결함을 가지는 구조에 대하여 2절점 RT 보 요소로 모델링 하는 것이 가능하다는 장점이 있다. 전통적인 보 요소와 다른 점은 형상함수가 1차원이 아니라 2차원으로 구현된다는 것이다. 현재 2차원 평면응력 요소에 대해서만 구현되어 있는데 이를 3차원 박판 구조물 그리고 일반적인 구조물에 적용할 수 있는 일반화 연구를 수행 중에 있다.