RESEARCH INTEREST
관심 연구 분야
관심 연구 분야
오랫동안 보에 대해 연구하면서 많은 것을 몰랐었다는 것을 알게되는 계기가 된 연구였다. 보의 굽힘에 관한 첫 문헌은 1493년 다빈치의 연구라고 한다. 단면이 회전하면서 보의 두께는 변하지 않는다는 등의 현대적 가정이 일부 포함되어 있다. 후로 그 유명한 갈릴레오 (1638)의 실험 개념도를 거쳐 베르누이의 Elastica 그림 (1694) 그리고 이를 미분식으로 표현한 오일러의 외팔보의 처짐 곡선 (1744) 에 이르러서는 거의 현대 공학의 식과 같아지게 된다. 한편 생브낭은 보 단면의 워핑에 대한 고찰로 생브낭의 원리(1855)를 발표하였으며, 비슷한 시기에 랜카인(Rankine)은 1858년 전단변형을 고려한 보의 처짐을 계산하였다. 티모센코 보 이론으로 잘 알려진 현대적인 일차전단변형이론은 1921년에 발표되었다.
오랜기간 TBT로 알려진 티모센코 보 이론은 2010년 즈음하여 Rankine-Timoshenko-Erenfest beam theory라고도 불린다. 랜카인은 전단변형을 계산한 공로이고, 티모센코는 논문을 발표했으니까, 그리고 에렌페스트는 티모센코의 논문에 실질적인 기여를 한 공로로 이렇게 이름이 복잡해졌다.
이로써 학부 교재에 등장하는 대부분의 이론들이 완성되었다. 한편 티모센코의 책 Theory of Elasticity에는 집중하중 하의 외팔보에 대한 탄성해가 기술되어져 있다. 많은 연구자들이 이 해를 엄밀해로써 받아들이고 있는데, 경계조건의 부정확성으로 인하여 엄밀해가 아닌 것으로 알려졌다. (이 문제는 필자의 지도교수님이 대학원 시절 말해주신 것인데, 거의 30년이 지난 2022년에 점근해석기법을 사용하여 얻은 해석해를 발표하였다.) 이 문제를 근본적으로 해결하기 위해서는 경계층 해를 해석적으로 얻는 것이 필수적인데, 해석해를 얻기 위해서는 경계층의 Regular 그리고 Shadow 부분에 대한 연구가 필요하다. 어떤 문제에 대한 통찰을 하기위해서는 역사적 접근이 때로 큰 도움을 주는 것을 확인하는 계기가 되었으며, 무엇보다 재밌고 흥미롭다. 여러분도 ...
초원정리(hypercircle theorem)는 엄밀해를 얻을 수 없을 때, 근사해가 엄밀해과 비교하여 오차가 얼마가 되는지 알려주는 정리이다. 1947년 Synge가 발표하였으며 [1,2], 엄밀해는 정적허용장(statically admissible field)과 운동학적허용장(kinematically admissible field) 사이에 존재하고, 근사해의 오차를 초원 위에 있음을 증명하였다. 이 정리는 수치해석에서 오차를 추정하거나, 엄밀해를 알 수 없을 경우 상한값과 하한값을 추정할 때 사용한다. 이를 이용하면 개발된 보/판/쉘 이론의 정확도를 정성적으로 판단할 수 있을 것으로 예상된다.
이 초원 정리에 따르면, 고전적인 EB 보 이론(운동학적허용장으로 사용) 대신에 운동학적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 개발하면 EB 보 이론보다 더 정확한 하한값을 계산할 수 있다. 한편 상한값은 정적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 유도하여 해결할 수 있다. 문제는 '운동학적 또는 정적으로 허용 가능한 RT 보 이론을 유도할 수 있는 가?'이다. 이에 대한 가능성은 아직 탐구 중이나, 섭동론을 이용하여 RT 보 이론을 유도할 때 두께방향으로의 응력 경계조건을 무시한다면, 고전적인 RT 보 이론을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.
[1] W. Prager and J.L. Synge, "Approximates in elasticity based on the concept of function space," Quarterly of Applied Mathematics, 1947, Vol. 5, No. 3, pp. 241~269.
[2] J.L. Synge, "The method of the hypercircle in function-space for boundary-value problems," Royal Society of Physics-A, 1947, pp. 447~467.
[3] J.L. Synge, The hypercircle in mathematical physics, Cambridge University Press, 1957.
Emmy Noether (1882~1935) 독일 태생의 여성 과학자로 뇌터의 정리(Noether's theorem)로 유명하다. 부끄럽게도 필자는 2023년에서야 알게되었으며, 유튜브 그리고 위키의 힘을 빌어 공부하였다.
고등역학에서 다루는 대표적인 에너지법인 라그랑지안(Lagrangian, L)이 수학적 대칭성이 있다면, 그에 대응하여 보존되는 양이 있다는 수학적 정리이다. 대표적으로 공간에 대한 대칭성은 운동량의 보존을, 시간에 대한 대칭성은 에너지가 보존된다는 것을 보여준다. 현대 과학에서는 이 정리를 전자기학, 중력장 등 모든 것을 포함하는 식에 적용되었을 때, 일반적으로 보존되는 양은 무엇인지를 탐구하는데에 쓰이고 있다. 필자는 이 정리를 보/판 이론에 적용하여 보존되는 양이 무엇인지 알아보았다. 보 이론에서는 힘과 모멘트가 보존되는 반면에 판 이론에서는 합응력들이 세트로 보존된다. 한편 3차원 탄성론에서는 응력이 각 방향에 대해 세트로 보존되며, 차원 축소 시에 어떠한 형태의 가정이 타당한지에 대한 방향성을 제시한다.
이에 대한 연구는 현재 진행 중이며 조만간 논문으로 정리할 예정이다.
[1] Emmy Noether, "Invariant Variation Problems". Transport Theory and Statistical Physics. 1971, 1 (3). Translated by Mort Tavel: 186–207. The paper was oringinally publined in German (1918), "Invariante Variationsprobleme".
"Knowledge is a process of filing up facts.
Wisdom lies in their simplification."
- Martin Fischer
미분과 적분의 관계를 미분과 적분 구간의 관계로 시점을 바꾸어주는 놀라운 정리이다. 공학수학2 벡터 미적분학에서 배우는 세 가지 정리는 다음과 같다.
그린정리(Green's theorem): 2차원 면적분 = 2차원 선적분
발산정리(Gauss theorem): 3차원 체적분 = 3차원 면적분
회전정리(Stokes theorem): 3차원 면적분 = 3차원 선적분
이 정리들의 공통점은 왼쪽에서는 f 와 Nabla 연산 (즉 미분)이 오른쪽에는 f만 나타난다는 것이다. 일반화된 스토크스의 정리는 이들 정리들이 하나의 정리로 정리됨을 의미한다. 보는 관점에 따라 회전(spin)과 흐름(flow)으로 정리되며, 이를 3차원에서 바라보느냐, 2차원에서 바라보느냐 또는 투영되느냐에 따라 달리 보일 따름이라는 것. (진실은 언제나 하나!)
이 정리가 새롭게 준비하는 논문의 기초가 될 수 있다는 생각에 연구를 하고 있지만 필자의 부족한 수학실력으로는 ... 한편 뇌터의 정리에 쓰이는 기본적인 수학정리이기도 하다.
수학에 관심이 있다면 LibreTexts (Mathematics) 4.7 A Generalized Stokes' Theorem 을 참고하면 좋다. 이 사이트에서 고등수학과 공학수학의 정리들(위에 언급한 세 가지 정리)과 연관지어 공부할 수 있다. (조금 깊이 있는 수학의 세계를 맛볼 수 있다.)
섭동(perturbation) 이론은 양자역학에서 많이 쓰이고 있는데, 그 이유는 대표적으로 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위함이다. 섭동이론 의미에 대한 설명은 여러가지가 있지만, 필자는 문제를 쉽게 풀기 위함이라는 설명이 제일 마음에 와 다았다. 이것이 왜 새롭나면 필자는 점근해석법으로 탄성문제를 처음 접했기 때문이다. 점근해석법에서는 변위장을 가정하는 것이 아니라 저차 문제로부터 찾기 때문이다. 즉 변위장을 가정하여 출발하는 것을 점근해석법에서는 적절하지 않다고 말하기 때문이다. 그러나 섭동론의 기본에 충실 한다면 변위장을 (즉 알고 있는 쉬운 문제에 대한 해) 미리 가정하여 출발하는 것은 타당하게 보인다. 점근해석법에서 미시적인 섭동과 거시적인 섭동을 도입하는 것과 고전 섭동론에서의 쉬운문제의 해로부터 시작한다는 것을 융합한다면 티모센코 보 이론을 수학적으로 유도할 수 있을 것으로 기대된다. 이것이 중요한 이유는 현재까지 (필자가 알기로는) 티모센코 보 이론을 특별한 가정없이 3차원 탄성론으로부터 유도된 적이 없으며, 수학적 정당성을 부여하는 첫 연구가 될 것이기 때문이다.
유한요소 축차법은 복잡한 구조물을 여러 개의 작은 구조물에 대한 유한요소 모델로 나누어 해석하는 기법이다. 그러나 축차법의 주요한 문제 중의 하나는 물리적 의미가 있는 축차 요소를 구성하기 어렵다는 것에 있다. 구조에 대한 차원 축소는 보/판/쉘 요소와 같이 이론적 수준에서 구조물의 차원을 줄이는 것이어서, 유한요소 축차법과 대조된다. 이 연구에서는 축차법과 축소법의 경계에 있는 차원 축소법을 개발하였다. 결과적으로 경계에서의 보에 해당하는 자유도만을 가지는 보 요소를 만들 수 있었으며, 내부에 공동/결함을 가지는 구조에 대하여 2절점 RT 보 요소로 모델링 하는 것이 가능하다는 장점이 있다. 전통적인 보 요소와 다른 점은 형상함수가 1차원이 아니라 2차원으로 구현된다는 것이다. 현재 2차원 평면응력 요소에 대해서만 구현되어 있는데 이를 3차원 박판 구조물 그리고 일반적인 구조물에 적용할 수 있는 일반화 연구를 수행 중에 있다.