ISSAC NEWTON

아이작 뉴턴 (1643~1727)

Newton's 1st law of motion and the principle of relativity

자연스러운 상태(natural state)란 무엇인가? 우리의 경험과 직관은 모든 물체가 정지(at rest)해 있을 때를 가리킨다. 물체가 움직일 때는 힘이 작용할 경우에만 가능하다. 이러한 생각은 아리스토텔레스(384~322 BC) 이후 거의 2천년동안 많은 철학자와 과학자들에 의해 지지 되어왔다. 

이러한 생각이 잘못되었다고 처음으로 생각한 이는 갈릴레오(1564~1642)이었는데, 그는 일상에서 마찰(friction)이 지배적인 탓에 생긴 착각이라고 생각했다. 그는 실험적으로 마찰을 최소로 했을 때는 거의 초기 속도를 유지하는 것을 확인했으며, 이를 바탕으로 만약 마찰이 없다면 영원히 초기 속도로 움직일 것이라 추측했다. 이러한 생각은 후에 뉴턴(1643~1727)의 물리 이론에 통합되었으며, 오늘날 뉴턴의 제1법칙으로 알려졌다.

뉴턴의 제1법칙은 매우 단순해 보이지만, 이 안에는 많은 것들이 숨어있다. 대표적으로 기준 좌표계가 있다. 만약 자연의 법칙이 기준 좌표계에 관계없이 성립하려면, 이 때의 기준 좌표계는 관성(inertial) 좌표계이어야 한다. 여기서 관성 좌표계란 그 정의에 의해 일정한 속도(정지 포함)로 움직이고 있는 계에 부착되어 있는 좌표계를 나타낸다. 즉 뉴턴의 제1법칙이 성립하는 좌표계란 뜻이다. 갈릴레오는 1632년에 관성 좌표계에 대해 다음과 같이 기술하였다. 

큰 배의 선실에서 배가 정지해 있을 때와 일정한 속도로 직선으로 움직일 때 파리가 나는 모습을 관찰하고 있다고 가정하자. 그럼 당신은 파리가 나는 모습으로부터는 물론이고 본인 스스로도 배가 움직이고 있는지 정지해 있는지 알 수 없을 것이다. 

상대성 원리: 모든 관성 좌표계에서 물리 법칙은 동일하게 적용된다.

이 상대성 원리에서 핵심 단어는 바로 관성(inertia)이며, 뉴턴의 제1법칙이 성립할 때이다. 조금 더 문학적으로 표현하면 모든 자연스러운 상태에서 관측된 물체의 운동은 같은 법칙을 따른다. 많은 경우에 지구 위에서 발생하는 운동을 기술할 때 관성 좌표계는 지구에 부착되어 있는데, 이는 지구가 우리에게 상대적으로 직선 운동을 하는 것처럼 느껴지기 때문이지, 지구가 등속 직선 운동을 하고 있다는 뜻은 아니다.

현대의 우리는 아인슈타인(1879~1955)의 상대성 이론에 의한 설명을 채택 중이며, 중력이 힘이 아니라 질량에 의한 시공간의 휘어짐이라는 것을 알고 있다. 그럼에도 우리는 왜 여전히 뉴턴역학을 공부하고 있을까? (이 글을 읽는 이들에 대한 필자의 질문이다.)

Gallileo's experiment

Galileo attempted to explain inertia based upon rolling a ball down a ramp. He observed that a smooth ball rolling on a smooth surface would roll to the height from which it was rolled, regardless of the angle of incline of the ramp. 

Inertia: Tendency of a body to resist changes in its state of motion.

뉴턴은 갈릴레오(1564~1642)의 어떤 물체에 힘이 작용하지 않는 한 그 물체는 원래 운동을 유지하는 경향이 있다는 것을 상기했다. 갈릴레오는 한 방향의 운동 만을 생각했었는데, 뉴턴은 움직이는 물체의 방향을 바꾸기 위해서는 힘이 필요하다는 것에 주목하였다. 즉, 직선 운동을 유지하지 못한다면, 어떤 무엇이 직선 운동 방향의 직각 방향으로 작용해야 한다고 생각했다. 뉴턴은 이 생각을 행성들의 운동에 적용해 보고 태양 방향으로 힘이 작용해야 한다는 것에 이르게 되었다.  마찬가지로 지구 주위를 도는 달도 지구 방향으로 힘이 작용해야 한다고 생각했다. 그런데 이 힘은 도대체 무엇일까? 1666년 어느 날, 뉴턴은 갑자기 한 생각이 떠올랐다. 

지구가 달을 당기는 힘은 아마도 물체가 땅에 떨어지게 하는 힘과 같지 않을까? 

정말로 모든 것은 그 밖의 모든 것을 끌어 당기고 있다. 그 당시 뉴턴은 자신의 발견에 대해 아래와 같이 얘기했다고 한다.

행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다는 케플러(1571~1630)의 제3법칙으로부터, 나는 행성이 궤도를 유지하는 힘은 회전하는 중심으로부터의 거리의 제곱에  반비례한다는 것을 추론했다. 이를 통해 달이 궤도를 유지하는 데 필요한 힘과 지구 표면의 중력을 비교한 결과 거의 답을 찾을 수 있었다. 이 모든 것은 1665~1666년의 전염병 기간에 생각하였고, 이 시기가 내 발명의 전성기였다. 

From Kepler’s rule of the periodical times of the Planets being in sesquialterate proportion of their distances from the center of their Orbs, I deduced that the forces which keep the Planets in their Orbs must be reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolves: and thereby compared the force required to keep the Moon in her Orb with the force of gravity at the surface of the Earth, and found them answer pretty nearly. All this was in the plague years of 1665-66. For in those days I was in the prime of my age for invention . . ..

뉴턴은 이를 검증하기 위하여 달의 궤도와 지름으로부터 달이 1초에 떨어지는 거리를 계산하였다. 그리고 사과가 떨어지는 거리로부터 달이 떨어지는 거리를 추론한 결과 거의 같은 결과를 얻을 수 있었다. (Youtube: EBS 뉴턴의 만유인력, 운동법칙 쉽게 이해하기) 

[1] Keesing, R. G., The History of Newton’s apple tree, Contemporary Physics 39, 377–91, 1998. 

Newton's law of universal gravitation

뉴턴의 추론 따라가 보기

뉴턴이 그의 회고에서 케플러 제3법칙으로부터 만유인력의 법칙을 추론했다는 것을 한번 따라가 보자. 물체의 질량은 m 그리고 반지름이 r인 원 주위를 속도 v로 돌고 있는 원 운동을 생각하자. 이 때

3번 구심력에서의 속도를 2번을 이용하여 주기로 표현 그리고 주기를 케플러 법칙을 이용하여 반지름으로 표현하면 만유인력을 얻는다. 

*구심 가속도(the centripetal acceleration)에 대한 수학적 표현은 네델란드 수학자 허건스(Chistiaan Huygens, 1629~1695)가 1659년에 유도했다고 한다. (참고로 이 때의 구심 가속도는 속도의 변화를 기하학적으로 분석하여 계산하였다.) 뉴턴이 만유인력을 1666년에 생각했으니, 7년 후에 일이다. (F=ma가 이렇게 중요하다.) 

Newton's Ratiocination

자연스러움이란 무엇인가 (Naturalitas quid est)

갑자기 왠 자연이냐고? 필자는 자녀의 물리 공부를 도와주면서 '뉴턴의 법칙'을 조금 더 쉽게 이해시키기 위해 생각하던 중, 아! 나 스스로도 잘 모르고 있다는 것을 깨닫게 되었다. 이 때 유튜브와 구글의 힘을 빌어 연구(search and search again = research)를 하던 중에 경희대 김상욱 교수의 강의와 책(울림과 떨림, 2018; 뉴턴의 아틀리에, 2020)을 포함해서 다양한 철학적, 물리학적 연구가 있음을 알게 되었다. 읽은 모든 것을 기억하지는 못하지만, 블로그 등에 담긴 내용을 나만의 방식으로 정리하고 싶어져서 이 글을 쓰고 있다. 

자연스러움을 알려면 먼저 '자연(自然)'의 말뜻을 알아야 겠다. 한자어를 그대로 직연하면 '스스로 그러함'이라는 뜻이고, 이는 도덕경의 자연이며, '자연스럽게'의 의미라고 한다.  사전적 의미는 다음과 같다.

사람의 힘이 더해지지 아니하고 세상에 스스로 존재하거나 우주에 저절로 이루어지는 모든 존재나 상태.

한편 영어나 불어에서의 자연은 Nature이며 이는 라틴어 Natura(낳아진 것)에서 온 말이다. 즉 서구에서의 네이쳐는 생태로서의 자연보다는 '본성으로서의 자연'이라는 의미라고 한다. 조금 더 서양 철학의 냄새가 난다고 할 수 있다. 

뉴턴의 제1법칙 (자연스러움)

아무튼 '자연스럽다'는 고대 그리스 철학에서부터 고민한 주제이다. 이 사이트에도 기술하였듯이 갈릴레오(1564~1642) 이전과 이후로 자연스럽다의 정의가 바뀌게 되는데, 이전 즉 고대 그리스 철학에서는

지상에서 모든 물체는 결국 멈추기 때문에, 정지는 자연스러운 상태.

이러한 생각은 물체가 움직인다면 무엇인가 특별한 이유가 있어야 한다는 것으로부터 나온 것이다. 당시에 (물론 현재에도) '자연스럽다'는 것은 운동법칙의 핵심 개념이었으며, 자연스러움(naturalness)은 진리였다. 갈릴레오 이후 뉴턴으로 이어지면서, 근대 과학(뉴턴의 제1법칙, 관성의 법칙)은

정지가 아니라 일정한 속도로 움직이는 상태를 자연스럽다고 한다. 

물리학적 관점에서 무엇인가 일정한 속도로 움직이고 있다면 그 이유를 설명할 필요가 없다. 그 자체로 자연스러운 운동이기 때문이다. 

뉴턴의 제2법칙 (부자연스러움?)

일정한 속도를 유지할 수 없다면, 즉 속도가 변한다면 거기에는 이유가 있어야 한다. 그 이유를 '힘(force)'이라고 부르자는 것이 뉴턴의 제2법칙이다. (그 이유를 필자는 학생들에게 간섭으로 설명하기도 한다.) 이유가 힘이라면 속도가 변하는 결과는 가속도(加速度, acceleration) 운동이다. (여기서 가속도의 의미는 속도를 더 한다는 뜻인데, 아무래도 더하기는 양의 변화를 뜻하기도 하고, 번역 때문이 아닐까 생각한다. 반대로 감속도(deceleration)가 있기 때문이다.)  따라서 힘은 부자연스러움의 주범이라고 생각할 수 있다. 한 마디로 

부자연스러운 운동은 등속 직선이 아닌 운동이며, 이를 가속 운동이라 하는데, 그 이유가 있어야 하니, 이를  '힘'이라 한다.

이렇게 하면 뉴턴의 1, 2법칙이 자연스러움과 부자연스러움으로 자연스럽게 나뉘고, 무언가 그럴싸 해 보인다. 그러나 상식적으로 생각해 보면 존재하는 모든 것은 자연스러운 것이 당연하고, 가속 운동은 우주에 존재하니 자연스러운 것이 아닌가? 

부자연스러움을 자연스럽게 

필자는 '자연스럽게' 일정한 속도의 자연스러움이 맞다는 생각이 든다. 그렇다면 뉴턴의 제2법칙을 자연스러움으로 어떻게 설명할 수 있을까? 이에 대한 질문과 답은 물리학에서 끊임없이 탐구되는 주제이다. 아인슈타인의 상대성 이론과 뇌터의 대칭성과 보존량에 관한 정리들이 대표적이다.  ... to be continued (나는 문득 모든 것을 설명할 수 있는 방정식을 찾았으나, 구글 드라이브 용량이 부족하여 기록으로 남기지 않는다 ... ^^)