After Newton (1736~1886)

라그랑주는 이탈리아계 프랑스의 수학자, 물리학자, 천문학자이다. 말이 필요없을 정도로 대학원생들에게 매우 친숙한 이름이며, 해석학, 정수론, 고전/천체 역학 분야에 큰 기여를 하였다.  

오일러와 달랑베르의 추천으로 1766년에 베를린에 있는 과학원의 수학 부장(이전에는 그의 스승 오일러)이 되어 20년 이상 머물렀다고 한다. 이시기에 그는 해석역학((Mécanique analytique, 1788)을 저술하였으며, 뉴턴 이후에 고전역학을 가장 포괄적으로 다룬것으로 알려져 있으며, 19세기 수리물리학 발전의 초석이 되었다.  그는 1787년 51세에 프랑스로 가서 프랑스 과학원의 회원이 되었으며, 프랑스 국립묘지인 팡테옹에 안장되고 에펠탑에 이름이 새겨지는 영예를 누렸다.

그는 변분법(the calculus of variations) 분야를 개척한 이들 중의 한명으로 알려져 있다. (사실상 현대의 변분법은 그의 설명을 거의 따르고 있다.) 대학원생들은 잘 알고 있을 δ-algorithm을 설명하는 내용을 그의 스승 오일러에 편지로 알렸으며, 그 결과가 유명한 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equations, 1754~1756)이다.  그 당시에 오일러는 그의 방법에 매우 감탄하였다고 한다. 이 외에도 유한요소법에 자주 쓰이는 보간법(interpolation), 구속조건을 다루는 라그랑주 승수법(Lagrange's multiplier) 등의 개발에 기여하였다.

한편 그는 태양, 지구, 달의 삼체문제(the three-body problem, 1764)도 연구하였는데, 이 문제들에 대한 특별해를 1772년에 찾았다. 이 해들은 현재 라그랑주 점(Lagrange points)으로 알려져 있으며, 제임스 웹 우주망원경(the James Webb Space Telecscope)은 이 점들 중의 하나인  L2에 위치하고 있다. NETFLIX 드라마 삼체(3 BODY PROBL三M, 2024)의 제목으로도 유명하다. 

토머스 영은 영국의 의사, 물리학자이며, 여러 분야에서 활동한 박학자이다. 재료역학을 처음 배우면 만나는 영률(Young’s modulus)의 주인공이 바로 그이다. 그는 자연철학과 기계기술에 관한 강의(A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts, 1807)에서 재료의 탄성을 정량적으로 표현하는 개념을 설명하였다. 오늘날 영률 E는 단축 인장 상태에서 선형 탄성 범위의 응력(stress)을 변형률(strain)로 나눈 값으로 정의된다. (영의 원래 정의와 오늘날의 정의는 조금 다르므로, 현재 쓰는 식을 그가 그대로 제시했다고 이해하지는 않는 것이 좋다.)

영률은 재료가 얼마나 잘 변형되지 않는지를 나타내는 강성(stiffness)과 관련된 값이지, 파괴되기 전까지 견디는 강도(strength) 그 자체는 아니다. 같은 모양의 강철과 고무를 잡아당겼을 때 변형이 다른 이유를 이 값으로 설명할 수 있다. 훅의 법칙(Hooke’s law)이 힘과 변형 사이의 관계를 제시했다면, 영의 연구는 그 관계를 재료의 성질과 연결하는 중요한 단계였다.

한편 그는 빛의 간섭(interference)을 연구하여 빛의 파동설(wave theory)을 뒷받침하였다. 두 경로를 지난 빛이 서로 강화되거나 상쇄되는 현상은 오늘날 이중 슬릿 실험(double-slit experiment)으로 잘 알려져 있다. 의학과 시각 연구뿐 아니라 로제타석(Rosetta Stone)의 이집트 문자 해독에도 기여했다고 한다. (영률 하나만으로 기억하기에는 관심 분야가 놀랍도록 넓었던 사람이다.)

클로드 루이 나비에는 프랑스의 공학자이며, 탄성론, 유체역학, 교량 설계 등에 기여하였다. 이름만 들으면 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)을 먼저 떠올리기 쉽지만, 구조역학(structural mechanics)의 발전에서도 매우 중요한 인물이다. 그는 경험에 주로 의존하던 구조물 설계에 수학적 해석을 도입하고자 하였다.

나비에는 1821년에 탄성체의 평형과 운동에 관한 일반 방정식을 발표하였다. 당시에는 분자 사이에 작용하는 힘을 가정하여 탄성을 설명했기 때문에, 오늘날의 일반적인 등방성 탄성론과 달리 독립적인 탄성상수가 하나인 제한된 이론이었다. 이후 응력과 변형률의 개념, 그리고 보다 일반적인 구성방정식(constitutive equations)이 정립되면서 이론이 발전한다. 그는 보(beam)의 굽힘과 탄성계수에 관한 내용을 공학적으로 정리하는 데에도 기여했으며, 1826년에 출판한 강의서는 구조해석의 발전에 중요한 역할을 하였다.

한편 1822년에는 점성(viscosity)을 고려한 유체의 운동방정식을 제시하였다. 오일러의 유체방정식이 다루지 못했던 점성 효과를 포함하려는 시도였으며, 이후 코시, 푸아송, 생브낭, 스토크스 등이 각자의 방식으로 이를 유도하고 발전시켰다. 특히 스토크스(George Gabriel Stokes, 1819~1903)는 1845년에 연속체적 접근으로 이 방정식을 정리하였다. (방정식에는 두 사람의 이름만 남아 있지만, 실제 역사는 여러 연구자의 기여가 겹쳐 있는 경우가 많다.)

조지 그린은 영국의 수리물리학자이다. 그는 제분소에서 일하면서 수학을 독학하였으며, 전기와 자기의 이론에 수학적 해석을 적용하는 논문(An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828)을 출판하였다. 앞서 라플라스에서 언급한 퍼텐셜 함수(potential function)를 비롯하여, 오늘날 그린 정리(Green’s theorem)와 그린 함수(Green’s function)로 이어지는 중요한 생각들이 이 연구에 담겨 있다. 이후 그는 비교적 늦은 나이에 케임브리지 대학에 입학하였다.

그린 함수는 선형 문제에서 한 점에 집중된 원천이 만드는 반응을 나타내며, 이를 이용하면 분포된 원천에 대한 해를 적분으로 구성할 수 있다. 예를 들어 한 점에 가해진 힘에 대한 탄성체의 반응을 알면, 여러 위치에 분포한 하중에 대한 반응을 중첩(superposition)으로 구하는 식이다. 경계값 문제(boundary-value problem)와 경계요소법(boundary element method)을 공부할 때에도 자주 만나는 개념이다. (다만 오늘날 사용하는 명칭과 일반적인 형식은 후대에 발전한 것이다.)

그는 1837년에 발표한 탄성 연구에서 탄성 퍼텐셜(elastic potential), 즉 변형에너지(strain energy)에 기초하여 탄성체를 설명하는 접근을 제시하였다. 응력과 변형률의 관계를 에너지로부터 얻으면 탄성계수 사이에 대칭성이 생기며, 일반적인 선형 이방성 탄성체(anisotropic elastic solid)의 독립적인 탄성계수는 21개가 된다. 분자 사이의 힘을 구체적으로 가정하는 대신 에너지를 출발점으로 삼았다는 점에서, 현대의 탄성론과 변분법에 매우 가까운 관점이다.

아데마르 장 클로드 바레 드 생브낭은 프랑스의 역학자, 수학자이다. 나비에와 코시 등이 발전시킨 탄성론을 보와 봉의 실제 문제에 연결하는 데 크게 기여하였다. 재료역학에서 배우는 생브낭의 원리(Saint-Venant’s principle)와 생브낭 비틀림(Saint-Venant torsion)이 그의 이름에서 유래한다. 추상적인 삼차원 탄성론과 공학적으로 쓸 수 있는 단순한 이론 사이를 이어 준 인물이라고 할 수 있다.

생브낭의 원리(1855)는 국소적인 하중의 분포를 합력과 합모멘트가 같은 정적으로 등가인 하중(statically equivalent loading)으로 바꾸더라도, 하중이 작용하는 영역에서 충분히 멀리 떨어지면 응력 분포의 차이가 작아진다는 내용이다. 보의 끝에 분포된 힘을 하나의 합력으로 바꾸어 계산할 수 있는 이유를 설명해 준다. 유한요소해석에서도 하중과 경계조건을 단순화할 때 중요한 근거가 된다. (물론 하중 작용점 근처의 응력집중까지 같아진다는 뜻은 아니다. 관심 있는 위치가 어디인지가 중요하다.)

그가 1855년에 발표한 비틀림 연구는 원형 단면뿐 아니라 비원형 단면을 가진 봉의 문제도 다루었다. 비원형 단면에서는 비틀릴 때 단면이 축 방향으로 변형되는 워핑(warping)이 나타나므로, 단면이 항상 평면을 유지한다고 가정하면 올바른 해를 얻기 어렵다. 생브낭 비틀림은 자유로운 워핑을 허용하는 고전적 비틀림 이론이며, 워핑이 구속될 때의 추가적인 축 방향 응력을 다루는 구속 비틀림(restrained torsion)과 구별된다. 익숙한 원형 축의 비틀림 공식이 모든 단면에 그대로 적용되지 않는 이유가 여기에 있다.