Classical Mechanics (1805~1963)

윌리엄 로언 해밀턴은 아일랜드의 수학자, 천문학자, 물리학자이다. 라그랑주가 일반화좌표를 이용하여 역학을 정리했다면, 해밀턴은 좌표와 운동량을 함께 사용하여 운동을 기술하는 방법을 발전시켰다. 해밀토니안(Hamiltonian), 해밀턴 원리(Hamilton’s principle), 해밀턴-야코비 방정식(Hamilton-Jacobi equation) 등으로 대학원생들에게 매우 친숙한 이름이다.

그는 동역학의 일반적 방법에 관하여(On a General Method in Dynamics, 1834~1835)에서 광학과 역학을 연결하는 변분적 접근을 제시하였다. 오늘날 해밀턴 원리는 양 끝 시각의 위치를 고정했을 때 실제 운동이 작용(action)의 정류값을 이루는 경로라는 내용이다. (흔히 최소작용이라고 하지만, 언제나 최솟값이라는 뜻은 아니다. 정확히는 일차 변분이 영이라는 조건이다.)

현대의 해밀턴 역학은 일반화좌표(generalized coordinates)와 정준운동량(canonical momentum)을 위상공간(phase space)에서 다룬다. 적절한 조건에서는 해밀토니안이 계의 총에너지가 되지만, 모든 경우에 그렇게 해석할 수 있는 것은 아니다. 이러한 관점은 보존량과 운동의 구조를 이해하는 데 중요하며, 연속체의 동역학과 구조를 보존하는 수치해석에도 이어진다.

윌리엄 존 매쿼른 랭킨은 스코틀랜드의 공학자, 물리학자이다. 철도와 토목공학의 실무를 경험하였으며, 1855년에 글래스고 대학의 토목공학 및 역학 교수가 되었다. 응용역학, 열역학, 구조와 선박 등 폭넓은 분야를 연구하였다. 토질역학의 랭킨 토압이론과 열역학의 랭킨 사이클(Rankine cycle)에 모두 이름이 등장한다.

그는 느슨한 흙의 안정성에 관한 연구(1857)에서 흙 내부의 응력과 한계상태에 기초한 토압이론을 발전시켰다. 벽과 흙 사이의 마찰 등을 고려하는 쿨롱의 접근과 함께 토압(earth pressure)을 계산하는 기본 이론이 되었다. 또한 응용역학 편람(A Manual of Applied Mechanics, 1858) 등을 저술하여 역학을 공학 교육과 설계에 연결하였다.

랭킨 토압이론은 주동토압(active earth pressure)과 수동토압(passive earth pressure)을 구별한다. 벽이 흙에서 멀어질 때와 흙을 밀어 넣을 때 서로 다른 한계상태에 도달하기 때문이다. (같은 흙이라도 벽이 어느 방향으로 움직이는지에 따라 토압이 달라진다.) 이론의 식을 사용할 때에는 벽면 마찰과 지표면 형상 등 가정이 실제 문제에 맞는지 확인해야 한다.

베른하르트 리만은 독일의 수학자이다. 리만적분(Riemann integral), 리만기하학(Riemannian geometry), 리만 가설(Riemann hypothesis) 등 수학의 여러 분야에 큰 영향을 남겼다. 그는 괴팅겐에서 가우스의 지도를 받아 1851년에 박사학위를 취득하였다. 역학에서는 공간의 기하뿐 아니라 압축성 기체의 비선형 파동 연구에서도 중요한 인물이다.

그는 1860년에 유한진폭 평면파의 전파에 관한 연구를 발표하였다. 오늘날 리만 문제(Riemann problem)는 불연속면의 양쪽에 서로 다른 두 일정한 상태를 초기조건으로 주는 문제이다. 압축성 유동에서는 충격파(shock wave), 희박파(rarefaction wave), 접촉불연속(contact discontinuity) 등이 나타날 수 있다. (서로 다른 압력의 두 기체를 맞대어 놓고 칸막이를 제거하는 상황을 생각하면 이해하기 쉽다.)

현대의 유한체적법(finite volume method)은 계산 셀 사이의 상태를 작은 리만 문제로 보고 수치유속(numerical flux)을 구하기도 한다. 이는 그의 파동 연구가 후대의 전산유체역학으로 이어진 사례이다. 한편 계량(metric)으로 공간의 길이와 각도를 기술하는 리만기하학은 일반상대성이론과 곡면의 역학에도 중요한 수학적 언어를 제공하였다.

제임스 클러크 맥스웰은 스코틀랜드의 물리학자이다. 전기, 자기, 빛을 하나의 이론으로 연결한 맥스웰 방정식(Maxwell’s equations)으로 유명하지만, 기체운동론과 구조역학에도 중요한 기여를 하였다. 재료가 시간에 따라 응답하는 방식과 골조의 힘 및 변위를 계산하는 방법에도 그의 이름이 남아 있다.

그는 기체의 동역학 이론에 관한 연구(1867)에서 변형된 물체의 응력이 시간에 따라 완화되는 관계를 제시하였다. 이는 점탄성(viscoelasticity)과 응력완화(stress relaxation)를 설명하는 중요한 기반이다. 현대의 맥스웰 모형(Maxwell model)은 스프링과 점성요소를 직렬로 연결하며, 변형률을 일정하게 유지하면 응력이 지수적으로 감소한다. (변형이 그대로라고 해서 응력도 그대로인 것은 아니다.)

한편 그의 구조 연구(1864)는 골조의 평형과 강성, 탄성변형을 다루었다. 맥스웰 상반정리(Maxwell reciprocal theorem)는 두 위치에서 하중과 변위의 역할을 바꾸었을 때 대응되는 변위 관계가 같다는 내용이다. 선형탄성 구조의 유연도행렬(flexibility matrix)이 대칭이 되는 것과 연결되며, 구조해석과 유한요소법의 중요한 성질이다. 다만 모든 비선형 구조에 그대로 적용되는 법칙은 아니다.

폴 레비는 프랑스의 수학자이다. 함수해석에서 출발하여 현대 확률론과 확률과정(stochastic process)의 발전에 크게 기여하였다. 1920년에 에콜 폴리테크니크의 해석학 교수가 되었다. 역학과의 연결은 전통적인 보나 판의 결정론적 해법보다는 불규칙한 운동과 불확실성을 수학적으로 기술하는 데 있다.

그는 확률론(Calcul des probabilités, 1925), 확률변수의 합의 이론(Théorie de l’addition des variables aléatoires, 1937), 확률과정과 브라운 운동(Processus stochastiques et mouvement brownien, 1948) 등을 저술하였다. 안정분포(stable distribution), 극한법칙, 브라운 운동(Brownian motion)의 연구가 주요 업적이다. (불규칙한 운동도 분포와 경로의 성질을 통해 수학적으로 설명할 수 있다는 관점이다.)

오늘날 레비 과정(Lévy process)은 확률적 운동과 불확실성 모형을 다루는 중요한 개념이다. 다만 판 이론에서 만나는 Lévy 해법은 폴 레비가 아니라 모리스 레비(Maurice Lévy, 1838~1910)의 업적이다. 대향하는 두 변이 단순지지된 판을 단일 푸리에 급수로 다루는 해법과 확률론의 레비 과정을 같은 인물의 업적으로 혼동하지 않도록 주의해야 한다.

하인리히 헤르츠는 독일의 물리학자이다. 전자기파를 실험으로 확인한 인물이며, 주파수의 단위 헤르츠(Hz)도 그의 이름에서 유래했다. 기계공학에서는 두 물체가 맞닿을 때 생기는 변형과 압력을 설명하는 헤르츠 접촉(Hertzian contact)으로 더욱 자주 만나게 된다. 단순해 보이는 접촉도 실제로는 탄성체의 변형과 응력 분포를 함께 풀어야 하는 문제이다.

그는 1881년에 접촉 문제를 연구하였으며, 탄성 고체의 접촉에 관하여(Über die Berührung fester elastischer Körper)는 1882년에 학술지에 출판되었다. 곡률을 가진 두 탄성체를 누르면 접촉 면적은 하중에 따라 커지고, 압력은 접촉 영역 안에서 일정하지 않다. 대표적인 구 접촉에서 접촉 반경은 하중의 세제곱근에 비례한다. (이상적인 점접촉도 실제 하중을 받으면 유한한 면적의 접촉으로 바뀐다.)

헤르츠 접촉이론은 베어링, 기어, 압입(indentation) 문제의 기본 해이며, 접촉 유한요소해석의 검증에도 쓰인다. 고전 이론은 작은 변형, 선형탄성, 마찰과 접착이 없는 접촉 등을 전제로 한다. 따라서 소성변형이나 표면 접착이 중요한 경우에는 다른 모형이 필요하다. 이름이 붙은 유명한 해라고 해도, 어떤 가정에서 얻어진 것인지 확인하는 것이 중요하다.

스티븐 티모셴코는 오늘날 우크라이나 지역에서 태어나 미국에서 활동한 공학자이다. 보와 판의 굽힘, 구조물의 안정성, 탄성체의 진동을 연구하였으며, 여러 교과서를 통해 현대 재료역학과 탄성론 교육에 큰 영향을 남겼다. 구조역학을 공부하는 학생이라면 티모셴코 보 이론(Timoshenko beam theory)이나 그의 저서를 한 번쯤 만나게 된다.

그의 보 횡진동 연구(1921~1922)는 전단변형(shear deformation)과 회전관성(rotary inertia)을 고려하였다. 오일러-베르누이 보 이론과 달리 단면의 회전과 중심선의 기울기를 구별한다. 단면은 평면을 유지하지만, 변형된 중심선에 반드시 수직인 것은 아니라는 운동학적 가정이다. (두꺼운 보는 굽힘뿐 아니라 전단으로도 처진다는 뜻이다.)

이 이론은 짧고 두꺼운 보의 처짐과 진동을 해석하는 데 중요하며, 전단보정계수(shear correction factor)와 보 유한요소의 기본 개념으로 이어진다. 유한요소법에서는 전단잠김(shear locking)을 어떻게 방지하는지도 중요한 문제이다. 다만 이는 후대의 수치적 구현에 관한 내용이며, 역사적인 보 이론의 제시와 현대 요소의 개발은 구별해서 이해하는 것이 좋다.

테오도어 폰 카르만은 헝가리 출신의 미국 공학자이다. 수학과 실험을 결합하여 현대 항공역학의 발전에 기여했으며, 유체역학뿐 아니라 탄성체의 안정성과 판의 변형도 연구하였다. 1930년부터 캘리포니아공과대학의 항공연구소(GALCIT)를 이끌었다. 고체와 유체 양쪽의 역학에서 그의 이름을 자주 만나게 된다.

그의 판 연구(1910)는 오늘날 푀플-폰 카르만 방정식(Föppl-von Kármán equations)으로 알려진 비선형 판 이론의 중요한 기반이다. 굽힘과 면내 변형을 함께 고려하여 얇은 판의 큰 처짐을 설명한다. 또한 1911~1912년에 물체 뒤에서 교대로 배열되는 와류의 안정성을 연구하였으며, 이것이 카르만 와열(vortex street)로 알려진 업적이다.

대학원에서는 기하학적 비선형성(geometric nonlinearity), 좌굴 이후 거동(post-buckling), 와류 유발 진동(vortex-induced vibration) 등을 통해 그의 연구를 접하게 된다. (판의 처짐이 크다고 해서 재료의 변형률까지 반드시 큰 것은 아니다. 얇은 판은 조금 늘어나면서도 크게 휠 수 있다.) 구조의 변형과 유동의 불안정성을 수학적으로 설명하려는 노력은 현대의 항공우주공학과 수치해석에도 이어진다.

리하르트 폰 미제스는 오스트리아 출신의 응용수학자이다. 고체역학, 유체역학, 항공역학뿐 아니라 확률과 통계까지 폭넓게 연구하였다. 1921년에는 응용수학과 역학 학술지(ZAMM)를 창간하였다. 공학도에게는 유한요소해석 결과 화면에서 자주 보는 폰 미제스 응력(von Mises stress)으로 매우 친숙한 이름이다.

그는 1913년에 소성 상태의 고체를 연구하며 오늘날 폰 미제스 항복조건(von Mises yield criterion)으로 알려진 기준을 제시하였다. 현대의 표현에서는 편차응력(deviatoric stress)의 제2불변량 J₂에 기초한다. 평균 응력과 형상을 바꾸는 응력 성분을 구별하고, 여러 응력 성분을 하나의 등가응력(equivalent stress)으로 나타내는 접근이다.

폰 미제스 등가응력은 σ_eq = √(3J₂)로 표현되며, 이를 단축 인장시험의 항복응력과 비교하여 항복 개시를 판단한다. (복잡한 응력 상태를 비교용 숫자 하나로 모으는 셈이다.) 트레스카 조건과 함께 등방성 연성 금속에 널리 쓰이지만, 모든 재료의 파괴를 판단하는 만능 기준은 아니다. 취성 파괴나 압력 의존적인 재료에는 다른 기준이 필요하다.