Resumo teórico

2. Introdução ao Cálculo Combinatório

Cardinal de um conjunto

É o número de elementos do conjunto. Notação: #

Nota: # { } = 0

Exemplo:

A= {1, 2, 3, 4}

#A= 4

2.1 Cardinal da união de conjuntos

Se A ∩ B = { } , então #(A U B)= #A + #B

#(A U B)= #A + #B - #(A ∩ B)

2.2 Cardinal do produto cartesiano de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B tal que #A= a e #B= b

#(A U B)= #A × #B = a × b

2.3 Propriedades do produto cartesiano

Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B representa-se por A x B e é o conjunto:

A x B={ (a,b): a £ A /\ b £ B}

Se A e B são conjuntos tais que #A=n e #B=m, então:

#(A x B)= #A x #B= n x m

2.4 Fatorial de um número natural n:

Chama-se fatorial de um número natural, representando-se por n!, ao produto dos primeiros números naturais.

n!= n (n-1) (n-2) x ... x 2 x 1

EXEMPLO:

Aplicando a definição:

4!= 4 x 3 x 2 x 1 5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 0!= 1

2.5 Arranjos com conjuntos:

Dado um conjunto n pertencente aos números naturais, diz-se arranjos com repetição todos aqueles que contêm n elementos p a p representando-se por ⁿA’_{p .} Os arranjos com repetição consistem num dado número de sequências de p elementos que é possível formar com elementos desse conjunto, distintos ou não.

ⁿA’_p = n^p

EXEMPLO:

Quantas sequências de cinco algarismo são múltiplos de 5?

9 x ¹⁰A’₃ x 2= 9 x 10^3 x 2= 18 000

9: corresponde às hipóteses para o primeiro algarismo ( 10 - 1 (não pode ser zero))

¹⁰A’₃ : número de sequências de 3 algarismos ( podem ser iguais ou diferentes)

2: Há duas hipóteses para o algarismo das unidades ( 0 ou 5 pois o algarismo tem de ser múltiplo de 5)

Existem 18 000 números de cinco algarismo múltiplos de 5.

2.6 Arranjos sem repetição ou Permutações:

Dado um conjunto de cardinal n pertencente aos números naturais, chama-se arranjos sem repetição todos os n elementos p a p e representa-se por ⁿA_p ao número de sequências de p elementos distintos que é possivel formar com elementos desse conjunto.

ⁿA_p= n!/(n-p)!

EXEMPLO:

De quantas maneiras cinco pessoas se podem sentar numa fila de cadeiras em que existem oito cadeiras disponíveis?

__ __ __ __ __

8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

OU

⁸A₅= 6720

2.7 Combinações :

Dado um conjunto de cardinal n pertencente aos números naturais, chama-se combinações de n elementos p a p e representa-se por ⁿC_P ao número de subconjuntos de p elementos que é possível definir nesse conjunto. ⁿC_P = n!/p!(n-p)!

EXEMPLO:

Um júri é composto por quatro membros escolhidos numa lista de quatro homens e seis mulheres. De quantas maneiras pode ser feita a escolha de modo que o júri tenha tantas mulheres como homens?

⁶C₂ x ⁴C₂ = 15 x 6= 90

VÍDEO: https://www.youtube.com/watch?v=rSgs9YD9ns0