Interseção de planos

Existe um método geral para determinar a interseção de dois planos e que consiste no seguinte:

· Intersectamos ambos os planos por um terceiro plano projetante (plano auxiliar).

· Obtemos duas retas, uma de um plano e outra do outro, mas ambas do plano auxiliar.

· Estas duas retas, intersectando-se vão determinar um ponto que é dos dois planos, logo da reta de intersecção.

· Repetindo o processo, com outro plano auxiliar, obtém-se um segundo ponto, e assim fica definida a reta de intersecção.

· Este processo acarreta muitos traços, deve ser feito com cuidado e atenção, porém, na maioria dos casos o problema tem resoluções diretas e simples e só em casos em que ambos os planos são definidos por retas é que temos de recorrer ao método geral.

· Noutros casos um só plano auxiliar é suficiente e noutros nenhum.

Os traços cruzam-se no limite do papel. Neste caso, como a reta a de intersecção tem que ter os seus traços sobre os traços homólogos do plano (uma vez que pertence aos dois planos) os traços da reta a têm que estar sobre o cruzamento dos traços do mesmo nome do plano.

Como ilustra a figura abaixo a reta a (representada na cor laranja) pertence aos dois planos qualquer α, (verde), e qualquer β, (vermelho), uma vez que seus traços vertical, Va, e horizontal, Ha, se posicionam sobre os traços verticais α₂ e β₂, e sobre os traços horizontais α₁ e β₁. Logo a reta a é a reta interseção dos planos α e β, por possuir dois pontos comuns aos planos Va e Ha.

Para construir a épura mostrada na figura acima, procede-se da seguinte maneira:

· Desenhar os traços do plano qualquer α, α₂ e α₁, representados na cor verde, e os traços do plano qualquer β, β₂ e β₁, (laranja escuro),

· Determinar os traços da reta interseção V_a no cruzamento dos traços α₂ e β₂, e H_a, no cruzamento dos traços α₁ e β₁.

· Determinar as projeções a_₂ e a_₁, para tanto basta traçar linhas de chamadas sobre os traços da reta a e determinar os pontos sobre a LT, que são as projeções dos traços da reta a. V₁ projeção horizontal de V_a e H₂ projeção vertical de H_a.

No exemplo exposto na figura abaixo, têm-se a interseção de um plano horizontal, α, projetante, representado na cor verde, com um plano qualquer, β, representado em vermelho. A reta horizontal, r, interseção, pertence aos dois referidos planos, uma vez que apresenta seu traço vertical V_r sobre o cruzamento dos traços verticais α₂ e β₂, e a projeção horizontal r₁ é paralela ao traço horizontal β₁, portanto a reta r pertence tanto a α como a β.

Para se fazer a representação do caso acima citado em épura deve-se: representar o traço vertical do plano horizontal, α₂, (em verde) e os traços do plano qualquer, β₂ e β₁ (em vermelho), como ilustra na figura abaixo; determinar o traço vertical da reta r, V_r, no cruzamento dos traços verticais dos planos, α₂ e β₂, e desenhar a projeção horizontal r₁ paralela ao traço horizontal β₁.

Quando se trata da interseção entre um plano projetante de topo ou vertical, têm-se novamente uma das projeções já definida, logo temos apenas que determinar a outra.

Na figura acima o plano de topo a, em azul, intercepta um plano qualquer β, em vermelho. A reta qualquer, s, é a interseção dos planos em questão visto que seu traço vertical, V_s, e horizontal, H_s, si situam sobre o cruzamento dos traços verticais α₂ e β₂, e dos traços horizontais α₁ e β₁, respectivamente.

Para se representar a interseção da figura acima, em épura, têm-se os seguintes procedimentos: primeiramente se representa os traços verticais e horizontais dos planos α e β. Depois se determina o traço vertical da reta s, V_s, no cruzamento dos traços verticais dos planos, α₂ e β₂, e o traço horizontal H_s no cruzamento dos traços horizontais α₁ e β₁. Por fim determina-se a projeção horizontal s₁ ligando o ponto H_s a projeção horizontal do traço vertical, V_s, que se situa sobre a linha de terra, V₁. A projeção s₂ já é conhecida, por se tratar de um plano projetante se situa sobre o traço vertical, α₂, deste, como mostrado na figura abaixo.

Quando apenas dois dos traços se cruzam nos limites do desenho, como se pode observar na figura abaixo, se tem de imediato um dos traços da reta de intersecção, no cruzamento dos traços verticais β₂ e j₂ dos planos quaisquer (em verde e azul). A introdução de um plano auxiliar, projetante, se faz necessário para a determinação do outro ponto da reta de interseção. Este fato possibilita a obtenção de duas retas que ao intersectar-se determinam o segundo ponto da reta de intersecção, procurado.

Para a construção da épura quando se quer representar o caso em que apenas dois dos traços se cruzam no limite do desenho, se faz necessário a utilização de um terceiro plano auxiliar que intercepte os dois traços que não se cruzam.

Portanto após se desenhar os traços dos planos quaisquer β e j, representados na figura abaixo, em azul e verde respectivamente, se introduz o traço horizontal a₁ de um plano frontal auxiliar, em laranja, este procedimento gera a interseção do plano frontal com cada um dos planos quaisquer em questão onde se tem as retas s e q, duas frontais que se cruzam e definem um ponto em comum aos três planos, no caso o ponto I. Este ponto é o resultado do cruzamento das projeções verticais das frontais s₂ e q₂.

Para se obter a reta qualquer r que representa a interseção entre os planos β e j, basta que se ligue o ponto anteriormente determinado ao ponto que representa o cruzamento dos traços verticais β₂ e j₂, V₂, têm-se então a projeção vertical r₂ definida. A projeção horizontal r₁ facilmente se determina basta ligar as projeções horizontais dos pontos definidos pelas interseções.

Quando se tem a interseção de dois planos em que nenhum dos traços se cruza no limite do papel pode se ter duas situações. Primeiro há a possibilidade de se conhecer o tipo de reta que vai ser a reta de intersecção, então neste caso apenas a introdução de um plano auxiliar pode resolver o problema. Mas se não houver a condição de se saber qual seria a reta interseção têm-se que aplicar o método geral. Para ilustrar o primeiro caso cita-se a intersecção de dois planos de rampa, pois se sabe de imediato que a reta interseção, resposta da questão, é uma reta fronto-horizontal, logo se faz necessário que se defina apenas um ponto. Para tanto se utiliza um plano auxiliar de topo ou vertical.

Na figura abaixo têm-se o desenho tridimensional da representação da interseção de dois planos de rampa α e β (laranja e azul respectivamente). O plano j (lilás) foi introduzido para que se pudesse ter as retas s e r, interseções com os planos α e β respectivamente. Observa-se que o ponto P comum as retas s e r, é o ponto procurado, que representa a interseção entre os três planos em questão. Assim sendo por P traça-se a reta fronto-horizontal, t, interseção dos planos α e β.

Para a confecção da épura do exemplo anterior, primeiro desenham-se os traços dos três planos α, β e j. Determinam-se as interseções r e s para obter-se o ponto P, comum aos três planos. Faz-se passar por P a reta t interseção procurada, como se mostra na figura abaixo.

Quando a intersecção resulta de um plano de topo com um plano frontal. Sabe-se de imediato que a reta de intersecção é uma frontal, assim sendo se faz necessário apenas a obtenção de um ponto em comum. Para tanto se pode introduzir na questão um plano auxiliar de topo, como ilustra a figura abaixo.

A figura acima mostra a épura da interseção entre o plano de topo α (lilás) com o plano frontal j (verde). Para se obter a reta s, interseção procurada, basta acrescentar no desenho o plano β (rosa) e determinar o ponto A comum aos três planos que também pertencerá a reta s.

Quando um dos planos é projetante e definido pelos seus traços e o outro por duas retas, caso ilustrado na figura abaixo. Como um dos planos é projetante tem-se uma das projeções da reta de interseção, para determinar a outra projeção se faz necessário determinar os pontos de concorrência da projeção conhecida com as retas que definem o outro plano.

A épura neste caso é muito simples, pois basta determinar os pontos comuns entre a projeção vertical, r₂, (laranja) que se situa no traço vertical do plano horizontal, α₂, (verde) e as projeções verticais s₂ e t₂ das retas que definem o outro plano (azul). Logo se obtêm facilmente a projeção horizontal r₁ da interseção procurada, como ilustra a figura abaixo.

Quando a interseção ocorre entre planos que não são projetantes usa-se o método geral. Empregam-se dois planos auxiliares, projetantes e determinam-se dois pontos da reta de intersecção.

A figura acima ilustra uma interseção entre dois planos quaisquer α (vermelho) e β (amarelo) cujos traços não se cruzam no limite do desenho. Com o emprego do plano projetante horizontal, d, (verde) obtêm-se as interseções s e r e com o outro plano auxiliar, j, (laranja) têm-se as interseções q e p. As retas s e r se interceptam determinando o primeiro ponto da reta t interseção entre α e β enquanto que a interseção das retas q e p define o segundo ponto da reta t.

Para desenhar a épura do caso em questão, figura abaixo, primeiro se representa os planos através dos seus traços α e β (vermelho e amarelo respectivamente) e dos dois planos horizontais auxiliares d e j (verde e laranja respectivamente). Depois de desenhar todos os traços dos planos envolvidos definem-se os pontos comuns aos planos que são os cruzamentos dos traços verticais dos planos. A partir destes traçam-se linhas de chamadas até a linha de terra e dos pontos de encontro na LT traçam-se paralelas aos traços horizontais dos planos α e β, sendo s₁ e q₁ projeções paralelas a α₁, enquanto que r₁ e p₁ projeções paralelas a β₁. Como ilustra a referida figura.