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"Se um ponto se desloca num plano, em torno de outro chamado pólo , afastando-se (ou aproximando-se) sempre dele, sem nunca atingi-lo, obedecendo uma determinada lei, que regule e estabeleça uma certa relação entre a velocidade dos dois movimentos circular (em torno do pólo) e retilíneo, (afastando-se em relação ao mesmo pólo) podemos escrever que a curva descrita pelo ponto, que se desloca é uma espiral" ( CARVALHO, 2008, p.256).
"Se um ponto se desloca num plano, em torno de outro chamado pólo , afastando-se (ou aproximando-se) sempre dele, sem nunca atingi-lo, obedecendo uma determinada lei, que regule e estabeleça uma certa relação entre a velocidade dos dois movimentos circular (em torno do pólo) e retilíneo, (afastando-se em relação ao mesmo pólo) podemos escrever que a curva descrita pelo ponto, que se desloca é uma espiral" ( CARVALHO, 2008, p.256).
As verdadeiras espirais se aproximam ou se afastam continuamente de um ponto em torno do qual se desenvolvem e do qual são assíntotas (1), o que não sucede com as falsas espirais, e daí o nome de "falsa".
As verdadeiras espirais se aproximam ou se afastam continuamente de um ponto em torno do qual se desenvolvem e do qual são assíntotas (1), o que não sucede com as falsas espirais, e daí o nome de "falsa".
ESPIRAIS
ESPIRAIS
Veja na figura o paralelismo que exibe uma falsa espiral (em tracejado) e o desenvolvimento continuado de uma espiral de Arquimedes (em linha cheia).
Veja na figura o paralelismo que exibe uma falsa espiral (em tracejado) e o desenvolvimento continuado de uma espiral de Arquimedes (em linha cheia).
ESPIRAL DE ARQUIMEDES
ESPIRAL DE ARQUIMEDES
A espiral de Arquimedes é uma curva que descreve um ponto M, movendo-se com uma velocidade constante sobre uma reta (OM) que gira com velocidade angular w constante.
A espiral de Arquimedes é uma curva que descreve um ponto M, movendo-se com uma velocidade constante sobre uma reta (OM) que gira com velocidade angular w constante.
ELEMENTOS DE UMA ESPIRAL
ELEMENTOS DE UMA ESPIRAL
A espiral logarítmica "É definida como uma curva que corta todas as linhas radiais em um ângulo constante"(2).
A espiral logarítmica "É definida como uma curva que corta todas as linhas radiais em um ângulo constante"(2).
Espiral logarítmicaFonte: https://aminoapps.com/c/ciencias-geografia-hist/page/blog/espiral-logaritmica/B1kg_E3Hwu55KBrGKlK78Qkk5VQWVqkYWb.
Ângulos entre a tangente e o raio vetor
Fonte: xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/EquiangularSpiral_dir/equiangularSpiral.html >
Rotação equivalente à homotetia .Fonte: https://mathcurve.com/courbes2d.gb/logarithmic/logarithmic.shtml
A espiral logarítmica é definida quando um ponto colocado sobre um raio vetor de uma curva, se desloca em uma progressão geométrica ao longo deste raio, enquanto este mesmo raio gira em torno de um ponto O em progressão aritmética.
A espiral logarítmica é definida quando um ponto colocado sobre um raio vetor de uma curva, se desloca em uma progressão geométrica ao longo deste raio, enquanto este mesmo raio gira em torno de um ponto O em progressão aritmética.
Espirais Sequência de Pandovam:
Espirais Sequência de Pandovam:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ...
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ...
A representação geométrica equivale a justaposição de triângulos equiláteros respeitando uma regra de construção característica.
A representação geométrica equivale a justaposição de triângulos equiláteros respeitando uma regra de construção característica.
CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE ALGUMAS ESPIRAIS
CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE ALGUMAS ESPIRAIS
FALSA ESPIRAL DE TRÊS CENTROS
FALSA ESPIRAL DE TRÊS CENTROS
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE TRÊS CENTROS
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE TRÊS CENTROS
PROCEDIMENTOS:
PROCEDIMENTOS:
1. Traçar o triângulo equilátero 123;
1. Traçar o triângulo equilátero 123;
2. Prolongar os lados deste triângulo;
2. Prolongar os lados deste triângulo;
3. Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;
3. Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
6. Centrar em 1, raio 1C, traçar o arco CD;
6. Centrar em 1, raio 1C, traçar o arco CD;
7. Centrar em 2, raio 2D, traçar outro arco e assim por diante.
7. Centrar em 2, raio 2D, traçar outro arco e assim por diante.
FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS
FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS
PROCEDIMENTOS:
PROCEDIMENTOS:
1. Constrói-se um pequeno quadrado 1234;
1. Constrói-se um pequeno quadrado 1234;
2. Prolongar os lados deste quadrado;
2. Prolongar os lados deste quadrado;
3. Centrar em 1, raio 14, traçar o arco 4A;
3. Centrar em 1, raio 14, traçar o arco 4A;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
6. Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;
6. Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;
7. Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE e assim por diante.
7. Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE e assim por diante.
FALSA ESPIRAL DE QUATR CENTROS IRREGULAR
FALSA ESPIRAL DE QUATR CENTROS IRREGULAR
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS IRREGULAR
TRAÇAR UMA FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS IRREGULAR
PROCEDIMENTOS:
PROCEDIMENTOS:
1. Traçar um retângulo 1234 de modo que seus lados sejam o dobro dos outros;
1. Traçar um retângulo 1234 de modo que seus lados sejam o dobro dos outros;
2. Prolonga-se os lados deste retângulo;
2. Prolonga-se os lados deste retângulo;
3. Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;
3. Centrar em 1, raio 13, traçar o arco 3A;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
4. Centrar em 2, raio 2A, traçar o arco AB;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
5. Centrar em 3, raio 3B, traçar o arco BC;
6. Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;
6. Centrar em 4, raio 4C, traçar o arco CD;
7. Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE; 8. Centrar em 2, raio 2E, traçar o arco EF e assim por diante.
7. Centrar em 1, raio 1D, traçar o arco DE; 8. Centrar em 2, raio 2E, traçar o arco EF e assim por diante.
ESPIRAL DE ARQUIMEDES
ESPIRAL DE ARQUIMEDES
TRAÇAR UMA ESPIRAL DE ARQUIMEDES
TRAÇAR UMA ESPIRAL DE ARQUIMEDES
PROCEDIMENTOS:
PROCEDIMENTOS:
1. Trace o segmento OR;
1. Trace o segmento OR;
2. Traçar uma circunferência de centro O e raio OR;
2. Traçar uma circunferência de centro O e raio OR;
3. Dividir OR em n parte iguais (ex: n=8);
3. Dividir OR em n parte iguais (ex: n=8);
4. Dividir também a circunferência pelo mesmo n, traçando também n eixos (ex: n=8);
4. Dividir também a circunferência pelo mesmo n, traçando também n eixos (ex: n=8);
5. Com centro em O e raios respectivamente O1, O2, O3,... traçar circunferências concêntricas.;
5. Com centro em O e raios respectivamente O1, O2, O3,... traçar circunferências concêntricas.;
6. Encontrar os pontos A,B,C, ... da seguinte forma: Ponto A - Interseção da circunferência de raio O1 com o eixo 1 Ponto B - Interseção da circunferência de raio O2 com o eixo 2 e assim sucessivamente;
6. Encontrar os pontos A,B,C, ... da seguinte forma: Ponto A - Interseção da circunferência de raio O1 com o eixo 1 Ponto B - Interseção da circunferência de raio O2 com o eixo 2 e assim sucessivamente;
7. Desenhar a espiral de Arquimedes, que passa pelos pontos encontrados.
7. Desenhar a espiral de Arquimedes, que passa pelos pontos encontrados.
Observação: A imagem do cabeçalho desta página foi adquirida do link: https://mathcurve.com/courbes2d.gb/spirale/spirale.shtml
NOTA:
(1) ASSÍNTOTA: a distância de um ponto da curva em relação a uma reta, tende para zero à medida que o ponto se afasta indefinidamente sobre a curva.
(2) Do original: It is defined as a curve that cuts all radial line at a constant angle. Disponível em: < http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/EquiangularSpiral_dir/equiangularSpiral.html > Acessado em: 13/03/21.
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