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As curvas cônicas são obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas. Desta interseção pode-se obter: um ponto, uma reta, um par de retas ou as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
As curvas cônicas são obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas. Desta interseção pode-se obter: um ponto, uma reta, um par de retas ou as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
Ponto
Ponto
Plano paralelo à base do cone passando pelo vértice.
Plano paralelo à base do cone passando pelo vértice.
Reta
Reta
Plano paralelo à diretriz passando por ela.
Plano paralelo à diretriz passando por ela.
Par de retas concorrentes
Par de retas concorrentes
Plano paralelo ao eixo passando pelos vértices
Plano paralelo ao eixo passando pelos vértices
Circunferência
Circunferência
Plano paralelo à base do cone, logo perpendicular ao eixo.
Plano paralelo à base do cone, logo perpendicular ao eixo.
Elipse
Elipse
Plano inclinado ao eixo e a base.
Plano inclinado ao eixo e a base.
Parábola
Parábola
Plano oblíquo ao eixo e paralelo à geratriz.
Plano oblíquo ao eixo e paralelo à geratriz.
Hipérbole
Hipérbole
Plano paralelo ao eixo e oblíquo à geratriz.
Plano paralelo ao eixo e oblíquo à geratriz.
A inovação possibilitada pela geometria de superfícies de revolução e translação, cilindros e esferas, faz surgir o emprego das curvas cônicas na arquitetura.
A inovação possibilitada pela geometria de superfícies de revolução e translação, cilindros e esferas, faz surgir o emprego das curvas cônicas na arquitetura.
Na idade moderna da arquitetura surgem arcos estruturalmente superiores que são parábolas ou catenárias. Um exemplo da utilização das curvas cônicas nos tempos modernos encontra-se na arquitetura irreverente da Sagrada Família de Barcelona do arquiteto Antoni Gaudí como o arco parabólico e curvas hiperbólicas.
Na idade moderna da arquitetura surgem arcos estruturalmente superiores que são parábolas ou catenárias. Um exemplo da utilização das curvas cônicas nos tempos modernos encontra-se na arquitetura irreverente da Sagrada Família de Barcelona do arquiteto Antoni Gaudí como o arco parabólico e curvas hiperbólicas.
Aplicação das cônicas nas obras de Oscar Niemeyer.Fonte: http://www.niemeyer.org.br
ELEMENTOS DAS CÔNICAS
ELEMENTOS DAS CÔNICAS
EIXO - de uma curva é toda linha em relação a qual os vários pontos da curva são simétricos dois a dois.
EIXO - de uma curva é toda linha em relação a qual os vários pontos da curva são simétricos dois a dois.
SEMI-EIXO - é a metade de um dos eixos. Existem, dois semi-eixos: o semi-eixo maior e o semi-eixo menor.
SEMI-EIXO - é a metade de um dos eixos. Existem, dois semi-eixos: o semi-eixo maior e o semi-eixo menor.
FOCOS - São, por definição, dois pontos fixos e assinalados pelas nomenclaturas F1 e F2.
FOCOS - São, por definição, dois pontos fixos e assinalados pelas nomenclaturas F1 e F2.
RAIOS VETORES - são os segmentos retilíneos compreendidos entre um ponto qualquer da curva e os seus dois focos.
RAIOS VETORES - são os segmentos retilíneos compreendidos entre um ponto qualquer da curva e os seus dois focos.
DISTÂNCIA FOCAL - é a distância entre os focos, ou seja, o segmento F1F2.
DISTÂNCIA FOCAL - é a distância entre os focos, ou seja, o segmento F1F2.
ELIPSE
ELIPSE
Curva fechada e plana com dois eixos de simetria, lugar geométrico dos pontos do plano, P, cuja soma de distâncias a outros dois pontos fixos, F1 e F2, chamados focos é constante e igual ao eixo maior.
Curva fechada e plana com dois eixos de simetria, lugar geométrico dos pontos do plano, P, cuja soma de distâncias a outros dois pontos fixos, F1 e F2, chamados focos é constante e igual ao eixo maior.
Construção de elipse
Construção de elipse
Método da circunferência concêntrica para diâmetros maiores e menores.
Método da circunferência concêntrica para diâmetros maiores e menores.
- A partir do centro O descrever circunferências concêntricas;
- Marcar pontos na circunferência externa;
- Ligar os pontos ao centro O; definindo pontos na circunferência menor;
- Traçar linhas paralelas ao eixo menor da elipse pelos pontos da circunferência externa;
- Traçar paralelas ao eixo maior pelos pontos da circunferência menor;
- Os cruzamentos das paralelas são os pontos da elipse.
Método do paralelogramo.
Método do paralelogramo.
- Sobre os diâmetros da elipse construir um retângulo ;
2. Dividir AO em um número qualquer de partes iguais e AG no mesmo número de partes iguais, numerando essas divisões a partir de A;
2. Dividir AO em um número qualquer de partes iguais e AG no mesmo número de partes iguais, numerando essas divisões a partir de A;
3. Passando por essas divisões, traçar linhas retas a partir de D e E, as interseções das linhas serão os pontos da elipse.
3. Passando por essas divisões, traçar linhas retas a partir de D e E, as interseções das linhas serão os pontos da elipse.
Método dos pontos
Método dos pontos
Trace os eixos AA’ e BB’ , com centro em B e abertura AO, traçar um arco que corta o eixo AA´, encontrando-se assim os pontos F e F´;
Trace os eixos AA’ e BB’ , com centro em B e abertura AO, traçar um arco que corta o eixo AA´, encontrando-se assim os pontos F e F´;
Com uma medida arbitrária marque a partir de F os pontos 1, 2, 3 e 4, a partir do ponto F’ os pontos 1’, 2’, 3’, e 4’;
Com uma medida arbitrária marque a partir de F os pontos 1, 2, 3 e 4, a partir do ponto F’ os pontos 1’, 2’, 3’, e 4’;
Com o centro em F e aberturas A1’, A2’, A3’ e A4’ trace quatro arcos;
Com o centro em F e aberturas A1’, A2’, A3’ e A4’ trace quatro arcos;
Com o centro em F’ e aberturas A’1, A’2, A’3 e A’4 trace mais quatro arcos;
Com o centro em F’ e aberturas A’1, A’2, A’3 e A’4 trace mais quatro arcos;
Com centro em F e aberturas A1, A2, A3 e A4 corte os arcos anteriores que cortam o segmento AO;
Com centro em F e aberturas A1, A2, A3 e A4 corte os arcos anteriores que cortam o segmento AO;
Com centro em F’ e aberturas A’1’, A’2’, A’3’ e A’4’ corte os arcos anteriores que cortam o segmento OA´;
Com centro em F’ e aberturas A’1’, A’2’, A’3’ e A’4’ corte os arcos anteriores que cortam o segmento OA´;
Ligue os cruzamentos dos arcos para obter a elipse.
Ligue os cruzamentos dos arcos para obter a elipse.
Parábola:
Parábola:
Curva aberta e plana de um só ramo. Lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo, chamado foco (F), e de uma reta, chamada diretriz (d).
Curva aberta e plana de um só ramo. Lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo, chamado foco (F), e de uma reta, chamada diretriz (d).
Tem somente um eixo de simetria (e), reta que passa por F e é perpendicular a d (diretriz), e o Vértice V (interseção da parábola com o seu eixo.
Tem somente um eixo de simetria (e), reta que passa por F e é perpendicular a d (diretriz), e o Vértice V (interseção da parábola com o seu eixo.
A corda que passa pelo foco paralela à diretriz se chama parâmetro (2p). A distância do foco a diretriz (AF) será o semi parâmetro (p).
A corda que passa pelo foco paralela à diretriz se chama parâmetro (2p). A distância do foco a diretriz (AF) será o semi parâmetro (p).
Os segmentos que unem um ponto qualquer da curva com o foco e com a diretriz se chamam raios vetores (r1, r2).
Os segmentos que unem um ponto qualquer da curva com o foco e com a diretriz se chamam raios vetores (r1, r2).
Hipérbole :
Hipérbole :
Curva aberta e plana de dois ramos , lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença de distâncias a outros dois fixos, chamados focos é constante e igual ao eixo real.
Curva aberta e plana de dois ramos , lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença de distâncias a outros dois fixos, chamados focos é constante e igual ao eixo real.
CônicasFonte: https://www.todamateria.com.br/conicas/
Relação entre os ângulos nas cônicas.Fonte: https://owlcation.com/stem/How-to-Understand-the-Equation-of-a-Parabola-Directrix-and-Focus
Observação: A imagem do cabeçalho desta página foi adquirida do link: Photo by Renata Hritzová on Unsplash
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