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El producto punto o producto escalar de dos vectores, por definición, es el resultado de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Siendo α el ángulo que forman los dos vectores:
¡Cuidado! El resultado del producto vectorial es un número.
¡Cuidado! El resultado del producto vectorial es un número.
No confundir con el producto cruz, cuyo resultado es otro vector. Además, el signo para representar el producto escalar de dos vectores es un punto, mientras que en el producto vectorial es una x.
Ejemplo de cómo calcular el producto escalar de dos vectores
Ejemplo de cómo calcular el producto escalar de dos vectores
Dados los siguientes vectores y sabiendo que forman un ángulo entre ellos de 87,7º, calcular su producto escalar:
Utilizamos la fórmula anterior para calcular el producto escalar de estos dos vectores:
Para ello, en primer lugar calculamos el módulo del vector u:
Después calculamos el módulo del vector v:
Y junto con el dato del ángulo, obtenemos el producto escalar:
Expresión analítica del producto escalar.
Expresión analítica del producto escalar.
Ahora vamos a ver otra expresión para calcular el producto escalar de dos vectores, sin necesidad de conocer el ángulo que forman entre ellos.
Si tenemos dos vectores, de los cuales conocemos sus componentes:
El producto escalar sería igual a la suma de la multiplicación de sus componentes x más la suma de sus componentes “y”:
A esta expresión se le conoce como expresión analítica del producto escalar.
Cómo calcular el ángulo de dos vectores
Cómo calcular el ángulo de dos vectores
Combinando esta expresión con la fórmula del producto escalar por definición, se puede obtener el ángulo que forman dos vectores. Podemos despejar el coseno del ángulo, al conocer todo lo demás, ya que con la expresión analítica obtenemos el valor del producto escalar:
y resolviendo después el arco coseno del valor del coseno del ángulo que nos quede.
ejemplo de cómo calcular el producto escalar de estos dos vectores y el ángulo que forman entre ellos:
ejemplo de cómo calcular el producto escalar de estos dos vectores y el ángulo que forman entre ellos:
Como no tenemos datos del ángulo que forman estos dos vectores entre ellos, utilizamos la expresión analítica para calcular el producto escalar:
Seguimos calculando el módulo de cada vector.
El módulo del vector u es:
El módulo del vector v es:
Ya tenemos los valores del producto escalar y de los dos módulos, que los sustituimos en la fórmula de definición del producto escalar:
Ahora despejamos el coseno del ángulo:
Y por último hacemos la inversa del coseno para obtener el valor del ángulo que forman los dos vectores:
Por tanto, los vectores forman un ángulo α entre ellos es:
Propiedades principales del producto escalar
Propiedades principales del producto escalar
Propiedad conmutativa
Propiedad conmutativa
Si variamos el orden del producto, el resultado del producto escalar sigue siendo el mismo
Propiedad distributiva
Propiedad distributiva
El producto de un vector por la suma de dos vectores es igual a la multiplicación del vector que está fuera del paréntesis por el primer vector de la suma más el vector de fuera por el segundo vector de la suma
Vectores perpendiculares u ortogonales
Vectores perpendiculares u ortogonales
Dos vectores son ortogonales cuando son perpendiculares entre ellos, es decir, forman un ángulo de 90º.
A un vector perpendicular a otro también se le llama vector normal.
El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero:
ya que si calculamos el producto escalar aplicando la fórmula, tenemos que el coseno de 90º es igual a cero, por lo que anula el resultado del producto escalar:
Por otro lado, si los vectores, además de ser perpendiculares entre sí, su módulo es igual a 1, se dice que son vectores ortonormales:
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