Đại số Boolean

Định nghĩa

Đại số Boolean là một cấu trúc đại số liên quan đến việc thao tác với các biến luận lý nhị phân. Một biến luận lý nhị phân có thể mang 2 giá trị: 0 và 1, cao và thấp, đúng và sai, … Trong môn học này chúng ta sẽ sử dụng cặp giá trị 0 và 1 để tìm hiểu về đại số Boolean.

Đại số Boolean thao tác với các biến luận lý thông qua các thao tác luận lý. Các thao tác luận lý cơ bản là AND, OR, NOT. Trong môn học này, phép toán AND được quy ước là dấu ∙, phép toán OR được quy ước và dấu + và phép toán NOT được quy ước là dấu '.

Đại số Boolean được định nghĩa như sau: Một tập B khác rỗng cùng với các thao tác (phép toán) AND (∙), OR (+) và NOT (') được gọi là một đại số Boolean nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn với mọi x, y, z  B.

1. Tiên đề 1: Cấu trúc đóng với các phép toán ∙ và +. Nếu x, y  B thì:

a) (x + y) ∈ B

b) x ∙ y ∈ B

2. Tiên đề 2: Tồn tại phần tử trung hòa. Tồn tại 2 phần tử trung hòa khác nhau thuộc B, ký hiệu là 0 và 1 sao cho:

a) x ∙ 1 = 1 ∙ x = x

b) x + 0 = 0 + x = x

3. Tiên đề 3: Tính giao hoán

a) x ∙ y = y ∙ x

b) x + y = y + x

4. Tiên đề 4: Tính phân phối

a) x ∙ (y + z) = x ∙ y + x ∙ z

b) x + y ∙ z = (x + y)(x + z)

5. Tiên đề 5: Tồn tại phần tử bù. Với mọi x  B, tồn tại duy nhất  B sao cho:

a) x ∙ x'  = x'  ∙ x = 0

b) x + x' = x' + x = 1

với x' được gọi là phần tử bù của x.

6. Tiên đề 6: Tồn tại ít nhất 2 phần tử x, y ∈ B sao cho x ≠ y.

Định lý

Từ các tiên đề vừa đề cập ở trên, chúng ta cũng có thể suy ra một số định lý để thuận tiện cho việc sử dụng sau này:

  Định lý 1: Tính lũy đẳng

a)     x + x = x

b)     x ∙ x = x

  Định lý 2: Tính nuốt

a)     x + 1 = 1

b)     x ∙ 0 = 0

  Định lý 3: Tính hấp thụ

a)      x + x ∙ y = x

b)     x(x + y) = x

  Định lý 4: Tính phủ định của phủ định: (x')' = x

  Định lý 5: Tính kết hợp

a)      x + (y + z) = (x + y) + z

b)     x(y ∙ z) = (x ∙ y)z

  Định lý 6: Định lý De-Morgan

a)     (x + y)' = x' ∙ y'

b)     (xy)' = x' + y'

Xem bài giảng chi tiết về Đại số Boolean tại video: https://youtu.be/CmCv6_OZbkk