§7 Измерение длины и площади

Для определения протяжённости предметов используют понятие длины. Длина обозначается буквой l. Основной единицей длины в СИ является метр (м). Длина также измеряется в мм, см, дм, км.

1 м = 1 000 мм = 100 см = 10 дм = 0,001 км

В зависимости от условий задачи длину могут называть по-разному. Если мы измеряем длину тела поперёк, то называем её толщиной или шириной, вверх – высотой, внутрь – глубиной. Во всех этих случаях могут быть использованы как общее обозначение длины (буквой l), так и другие обозначения (a, b, c, h, d и др.).

Если длина предмета меньше, чем цена деления прибора, то можно воспользоваться методом рядов.

Например, нам необходимо измерить ширину макового зёрнышка. Для этого располагаем плотным рядом вдоль линейки большое количество одинаковых маковых зёрен и измеряем длину всего ряда. Полученное значение длины (l) делим на количество зёрен в ряду (14) и получаем ширину одного зёрнышка (l₁).

Если длина измеряемого тела превышает длину измерительного прибора, можно воспользоваться методом "перекладывания". Например, измеряя длину стены ученической линейкой, можно перекладывать начало линейки в место окончания предыдущего измерения, а полученные значения длины каждый раз суммировать. Такой метод имеет один серьёзный недостаток, с каждым новым "перекладыванием" растёт погрешность измерения. Это связано со сложностью точно совместить начало нового измерения с концом старого и сложностью перекладывать измерительный прибор строго вдоль одной линии.

Площадь – часть плоскости внутри замкнутой фигуры, обозначается буквой S. Основной единицей площади в СИ является метр квадратный (м²), определяемый как площадь квадрата со стороной в 1 метр.

Также для измерения площади могут применяться дольные и кратные единицы измерения:

• миллиметр квадратный - [мм²] = 10⁻⁶ м²;
• сантиметр квадратный - [см²] = 10⁻⁴ м²;
• дециметр квадратный - [дм²] = 10⁻² м²;
• километр квадратный - [км²] = 10⁶ м².

1 м² = 1 м *1 м = 100 см *100 см = 10 000 см²

1 м² = 1 000 000 мм² = 10 000 см² = 100 дм² = 0,000 001 км²

Пример. Рассчитаем площадь прямоугольника со сторонами: a = 120 см и b = 80 см.

S = a ∙ b = 120 см ∙ 80 см = 9600 см² = 9600 ∙ 10⁻⁴ м²= 0,96 м²

Площадь земельных участков неудобно измерять квадратами, с длиной стороны равной 1 м. Для измерения земельных площадей используют внесистемные единицы измерения: ары (сотки) и гектары.

Для измерения небольших земельных участков (приусадебных участков, огородов) используют сотки. Сотка – это площадь квадрата со стороной 10 метров.

1 ар (сотка) = 10 м *10 м = 100 м²

Для измерения больших площадей (сельскохозяйственных полей) пользуются единицей площади, которую называют гектаром (га).

1 гектар – это площадь квадрата со стороной 100 метров.

1 га = 100 м *100 м = 10 000 м²

Если фигура имеет форму, отличную от прямоугольной, то используют метод разбиения фигуры на равные квадраты. Зная площадь одного квадрата и подсчитав, сколько таких квадратов помещается внутри фигуры, можно приблизительно оценить площадь фигуры любой формы. Площадь нецелых квадратов, которые входят внутрь фигуры, считают равной половине площади полного квадрата.

Необходимо понимать, что такое упрощение приводит к погрешности измерения площади фигуры, так как площадь неполного квадрата может значительно отличаться от площади половины квадрата. Чем меньше площадь квадратов на которые разбивается фигура, тем точнее измерение данным методом.

Пример:

Найдём данным методом площадь фигуры неправильной формы (см. рисунок). Число полных клеток внутри фигуры - Nп = 4, число неполных клеток внутри фигуры - Nн = 14. Сначала найдём площадь одной клетки S₀:

• S₀ = 5 мм ∙ 5 мм = 25 мм²

Затем рассчитаем площадь всех полных клеток Sп:

• Sп = S₀ ∙ Nп = 25 мм² ∙ 4 = 100 мм²

Далее получим площадь всех неполных клеток Sн:

• Sн = 0,5 ∙ S₀ ∙ Nн = 0,5 ∙ 25 м² ∙ 14 = 175 мм²

Общую площадь фигуры S можно найти сложив площади всех полных Sп и неполных Sн клеток:

• S = Sп + Sн= 100 мм² + 175 мм² = 275 мм²

Приведём полученное значение к основной единице в СИ:

• S = 275 мм² = 275 ∙ 10⁻⁶ м² = 0,000275 м²

Попробуйте самостоятельно оценить площадь круга с радиусом 5 клеток данным методом. Сравните полученное значение площади круга со значением площади круга рассчитанного по формуле (S=1493 мм²).