Liste des exercices : (Rythme : une vidéo chaque mardi 11h, sauf imprévues, contraintes ou vacances...)
#1 : Démontrer que nous pouvons extraire une suite d'entiers successifs aussi grande que nous pouvons le vouloir telle qu'aucun de ses entiers ne soit premier
#2 : Calculer un nombre pas comme les autres...
#3 : Montrer que la suite (cos n) est divergente
#4 : Calcul pas si évidente d'une intégrale impropre
#5 : Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans les complexes est dense dans Mn(C)
#6 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
#7 : Pouvons-nous truquer deux dés tels que la somme soit une variable de loi uniforme sur {2,3,...,12} ?
#8 : Autour de la connexité par arcs de l'ensemble des matrices inversibles dans R et dans C
#9 : Une méthode de calcul de l'intégrale de Gauss
#10 : Démontrer que tout R-espace vectoriel normé est de dimension finie si, et seulement si, sa boule unité fermée centrée en 0 est compact (Théorème de Riesz)
#11 : Démontrer que tout sous-groupe de GLn(C) d'exposant fini est fini
#12 : Soit P polynôme de R[X] tel que P est positif. Montrer que P est somme de deux carrés de polynôme.
#13 : Etude de la nature de la série des (sin n)/n^a pour a réel.
#14 : Pour a,b deux entiers naturels non nuls tels que ab+1 divise a²+b², montrer que (a²+b²)/(ab+1) est un carré parfait.
#15 : Démontrer une relation de récurrence sur les nombres de Bell.
#16 : Démontrer que (p-1)! = -1 [p] si, et seulement si, p est premier (Théorème de Wilson).
#17 : Démontrer que tout produit de n matrices nilpotentes (de taille n) commutant deux à deux est nul.
#18 : Calculer la somme des 1/(3n)!.
#19 : Soit P un polynôme non constant. Montrer que toute racine de P' est dans l'enveloppe convexe des racines de P
(Théorème de Gauss-Lucas)
#20 : Montrer que toute fonction continue 1-périodique et pi-périodique est constante.
#21 : Montrer que pi est irrationnel.
#22 : Montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur Q est un sous-corps de C.
#23 : Démontrer l'identité de Vandermonde.
#24 : Montrer que la fonction exponentielle de An(R) vers SOn(R) est surjective.
#25 : Démontrer la décomposition de Dunford (+ propriétés-conséquences sur l'exponentielle matricielle)
#26 : Dénombrer les dérangements
#27 : Montrer que les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers.
#28 : Démontrer que tout (quasi-)corps fini est commutatif (Théorème de Wedderburn)
#29 : Démontrer le lemme de Borel-Cantelli et le théorème de la loi du zéro-un de Borel
#30 : Démontrer la formule de Stirling
#31 : Démontrer le théorème de Baire
#32 : Montrer que toute fonction réelle infiniment dérivable telle que tout réel est un zéro d'une de ses dérivées est polynômiale (Application du théorème de Baire)
#33 : Justifier l'existence et calculer une intégrale impropre et double de sin(t)/t [et de exp(-t)/t]
#34 : Calculer l'intégrale de Dirichlet
#35 : Démontrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers (Théorème des 4 carrés de Lagrange)
#36 : Démontrer le lemme de Liouville, puis que tout nombre de Liouville est transcendant
#37 : Calculer une intégrale utilisant une combinaison de plusieurs techniques usuelles
#38 : Etudier le processus de Galton-Watson
#39 : Montrer que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans R (Théorème spectrale)
#40 : Démontrer le théorème de réarrangement de Riemann
#41 : Démontrer la concavité logarithmique du déterminant
#42 : Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives n'admet que des valeurs propres réelles positives
#43 : Déterminer une expression explicite "simple" de la série génératrice des partitions d'entiers par la méthode symbolique
#44 : Etudier les classes de similitudes des matrices orthogonales
#45 : Démontrer que On(Q) est dense dans On(R)
#46 : Montrer que toute matrice est semblable à sa transposée dans Mn(C)
#47 : Calculer l'intégrale de Fresnel
#48 : Démontrer l'inégalité de Hölder, puis l'inégalité de Minkowski
#49 : Etudier la convergence (presque sûre) de la série aléatoire de Rademacher
#50 : Déterminer le nombre maximal de composantes connexes du complémentaire de la réunion de n hyperplans dans R^d