LE PETIT EXO DE KHÔLLE

Liste des exercices : (Rythme : une vidéo chaque samedi 11h, sauf imprévues, contraintes ou vacances...)

#1 : Déterminer toutes les matrices qui commutent avec les matrices de rang 1 dans Mn(C)
#2 : Montrer que Z est un fermé de R (avec la topologie usuelle)
#3 : Démontrer que tout corps fini contient p^n éléments avec p un nombre premier
#4 : Montrer une relation de cardinalité entre des sous-groupes H,K et H inter K avec l'ensemble HK dans un groupe fini G
#5 : Déterminer la nature de la série des sin(n! pi e)/n [et des sin(n! pi e)]
#6 : Démontrer que tout réel est valeur d'adhérence d'une suite particulière
#7 : Démontrer le lemme de (sommation de) Césaro
#8 : Montrer qu'une suite réelle est de Cauchy si et seulement si elle est convergente
#9 : Déterminer le nombre de n-uplets d'entiers naturels (x1, ..., xn) tels que x1 + ... + xn = k
#10 ; Démontrer le Théorème de Riemann-Lebesgue dans le cadre des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles.
#11 : Calculer la somme des coefficients binomiaux 3k parmi n
#12 : Déterminer une limite liée aux sommes de Riemann
#13 : Résoudre le problème du collectionneur
#14 : Déterminer un développement asymptotique de la série harmonique en 1/n^2
#15 : Distinguer valeurs spectrales et valeurs propres d'un endomorphisme
#16 : Démontrer que l'ensemble des maximums locaux d'une fonction de R vers R est dénombrable
#17 : Démontrer l'inégalité de Jensen
#18 : Déterminer l'infimum d'une famille d'intégrales liée à l'étude d'un espace préhilbertien
#19 : Pour f:R->R continue, montrer que f est coercive si et seulement si l'image réciproque par f de tout compact est compacte
#20 : Caractérisation des normes euclidiennes par l'identité du parallélogramme (Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan)
#21 : Déterminer les matrices à coefficients complexes dont la classe de similitude est bornée
#22 : Démontrer que la matrice de Hilbert est symétrique réelle définie positive
#23 : Prouver que tout polynôme à coefficients complexes non constant admet au moins une racine complexe
(Théorème de d'Alembert-Gauss)
#24 : Démontrer que l'ensemble des points rationnels de la sphère unité (dans R^n) est dense dans l'ensemble des points de la sphère
(Lien avec la projection stéréographique)
#25 : Démontrer la formule du produit eulérien de la fonction zêta de Riemann pour tout réel strictement plus grand que 1, via des probabilités
#26 : Déterminer l'intersection des boules unités (fermées) de Mp(C) pour les normes subordonnées à des normes de C^p.
#27 : Existe-t-il une injection continue de R^n vers R, pour n un entier plus grand que 2 ?
#28 : Résoudre l'équation X^2 + X + I = A pour A une matrice de M2(C)
#29 : Montrer une égalité impliquant les polynômes caractéristiques de AB et de BA pour A et B des matrices rectangulaires
#30 : Exemple d'une fonction infiniment dérivable sur R qui n'est pas partout développable en série entière
#31 : Résoudre une étrange équation
#32 : Calculer le cosinus et le sinus de 2*pi/5
#33 : Déterminer la nature de la série sur p premier des 1/p^a, pour a un nombre réel
#34 : Calculer le produit de toutes les différences possibles entre les racines n-ième de l'unité, pour n >= 2.
#35 : Résoudre une équation différentielle du premier ordre (à coefficients constants) avec une fonction à plusieurs variables.
#36 : Déterminer la nature de la série des a_n/n^2 où (a_n) est une suite d'entiers naturels deux à deux distincts.
#37 : Etudier la diagonalisabilité d'une matrice particulière
#38 : Démontrer une caractérisation des fonctions homogènes de R^n dans R
#39 : Etudier une même application linéaire sur des espaces vectoriels différents (ici des espaces de fonctions)
#40 : Démontrer le théorème d'Euler-Fermat
#41 : Démontrer le théorème des compacts emboîtés
#42 : Etudier le comportement d'une intégrale impropre dépendant d'une fonction périodique
#43 : Résoudre une équation fonctionnelle
#44 : Calculer une intégrale à paramètre très spéciale...
#45 : Déterminer les extremums du produit de sinus des angles dans un triangle.
#46 : Existe-t-il une suite de n^2 de réels tels que toute matrice n x n formée à partir de ces réels est inversible ? [Retour]
#47 : Exemple d'un ensemble connexe non connexe par arcs.
#48 : Exemple d'une fonction différentiable en 0 mais dont les dérivées partielles ne sont pas continues en 0.
#49 : Majorer les coefficients d'un polynôme à l'aide de ses racines.
#50 : Démontrer l'inégalité des moyennes via l'optimisation sous contrainte.

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