• Les exposés (30min chacun + 10min de questions) :
  
  

  • • Louis-Félix Berthiaume : Dénombrer les algèbres (localement) aimables.

Résumé :  Les algèbres (localement) aimables ont été introduites par Skowronski et Assem dans les années 80. Leur présentation en termes de carquois à relations prodigue une description combinatoire de leur catégorie de modules, via des marches particulières dans le carquois appelées cordes et bandes (ButlerRingel). De plus, plusieurs modèles géométriques (on peut citer par exemple les travaux de Palu-Pilaud-Plamondon, ou encore Opper-Plamondon-Schroll) ont été développés récemment afin de comprendre davantage leur structure.

Par contre, dans le cas général, la question de leur dénombrement reste sans réponse. Après avoir redonné les définitions importantes, cet exposé a pour but d’y apporter une réponse partielle via une approche algorithmique permettant de dénombrer toutes les algèbres (localement) aimables, à isomorphisme près, données par un carquois avec un nombre de sommets fixés. On soulèvera, si le temps le permet, les difficultés fondamentales du problème.

Ce sont des travaux effectués tout au long d’un programme de lectures dirigées, encadrées par Benjamin Dequêne.

• • • Alex-Antoine Caron : Le formalisme des complexes de chaînes en Algèbre Homologique et Théorie des
      Catégories n'est pas qu'un « abstract non sense » : Le Théorème de De Rham. 

Résumé : Objet de l’Algèbre Homologique, un complexe de chaines est une famille d'objets d'une catégorie, indexée en degré par les entiers relatifs, accompagnée en chaque degré d'un morphisme de la catégorie, appelé la "différentielle" en référence à son origine en topologique algébrique et différentielle. Lorsque les objets sont pris dans une catégorie, par exemple, abélienne, nous pouvons alors construire de nouveaux complexes, dits d' "homologie" et de "cohomologie", par quotient en chaque degré de certains noyaux et images du complexe initial.

La (co)homologie singulière fût historiquement l'un des premiers puissants invariants (non complet) associé à un espace topologique. Un deuxième invariant (non complet également) nous vient de la géométrie différentielle par la cohomologie de De Rham, en lien avec l'étude des formes différentielles sur une variété lisse. L'Algèbre Homologique a alors pour mérite de fournir le bon formalisme, un language, et les outils pertinents, permettant non seulement de formuler, mais aussi d’identifier ces deux différentes théories (co)homologiques, qu’a priori rien ne fait dialoguer entre la structure strictement topologique d’une variété lisse, et ses structures différentielles, possiblement multiples pour une même topologie.

Le but de cet exposé sera ainsi de brièvement poser les bases d'une réconciliation entre ces deux invariants, en amenant à l'énoncé du Théorème de De Rham. Nous tenterons alors de justifier, par cet énoncé et ce qu'il révèle, l'introduction des complexes de chaines, qui formeront à leur tour une catégorie. Nous illustrerons en quoi les propriétés intrinsèques de cette catégorie de complexes en cohomologie, encodent le lien entre topologie et structures différentielles des variétés lisses, dans le langage unificateur de l'algèbre homologique et catégorique.

Ce sont des travaux effectués tout au long d’un programme de lectures dirigées, encadrées par Julien Dalpayrat-Glutron.

• • • Félix Larose-Gervais : Introduction au cryptosystème RSA [Diaporama]

Résumé : La cryptologie est la science du secret; elle repose sur la recherche de méthodes de plus en plus résistantes afin de protéger, par exemple, des informations personelles. Une des méthodes de protection de données les plus connues est le cryptosystème RSA (pour Rivest-Shamir-Adleman). Créé dans les années 70s, le RSA reste un des plus populaires cryptosystèmes, et est encore grandement utilisé de nos jours. Sa sécurité est basée sur la difficulté de factoriser les très grands nombres entiers, même à l'ordinateur.

Toutefois, comme tout crytosystème, le RSA a des failles. Il devient alors important de ne pas le mettre en place n'importe comment. Cet exposé aura pour but d'abord d'introduire au fonctionnement de RSA, puis d'éclairer ces failles, en étudiant comment certains cas limites peuvent compromettre la sécurité du système.

Ce sont des travaux effectués tout au long d’un programme de lectures dirigées, encadrées par Benjamin Dequêne et Adrien Segovia.

Pour plus d'informations : Benjamin Dequêne : dequene.benjamin@courrier.uqam.ca