Compter, c'est tout un art (lié à mon domaine de recherche)
Résumé : La combinatoire est une branche des mathématiques dans laquelle nous pouvons nous intéresser à compter des objets (combinatoire énumérative), ou à construire des bijections qui préservent certaines structures (combinatoire algébrique).
Par exemple : "combien de mots différents (qui ont un sens ou non) pouvons-nous former avec les lettres du mot MISSISSIPPI ?", "combien y a-t-il de façon de régler un montant de 21 euros, si nous disposons de six pièces de 1 euro, cinq pièces de 2 euros et quatre billets de 5 euros ?", ou encore "combien de colliers diérents formés de huit perles d'au plus deux couleurs, rouge et bleu, pouvons-nous constituer ?"
Cet exposé a pour but d'introduire à ce domaine des mathématiques à travers des problèmes d'énumérations qui s'énoncent facilement, mais qui se trouvent généralement être dicile (compter les dérangements, objets de Catalan, énumeration de Polyà,...), et qui permettent également des preuves de certaines identités mathématiques (comme la formule du binôme de Newton).
Résumé : Avant toute chose, il faut comprendre ce qu'est la dimension d'un espace, dit vectoriel. La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs minimum nécessaires pour décrire la position d'un objet dans cet espace.
Au collège, nous apprenons à appréhender la dimension 1, puis au lycée, la dimension 2 et la dimension 3. Représenter un objet en dimension 2 sur une feuilles, c'est généralement naturel. Même si cela est plus compliqué, représenter un objet en dimesion 3, cela se fait bien. Mais comment représenter un objet en dimension 4 ? Á quoi cela ressemblet-il ?
Cet exposé aura pour but d'introduire quelques notions sur les espaces vectoriels, et d'amener à la possibilité de représenter des objets en quatre dimensions.
Résumé : Une équation polynômiale (de degré n ⩾ 1) est une équation de la forme a_n x^n + . . . + a_1 x + a_0 = 0 où a_n, . . . , a_0 ∈ C et a_n non nul, d'inconnue x ∈ C.
Il est assez simple de résoudre les équations du premier degré (ax+b =0), et cela est connue. Pour les équations du second degré (ax^2+bx+c =0), la première méthode de résolution a été décrite au VIIIème siècle, et a été améliorée pour être adaptée aux nombres complexes. Mais qu'en est-il pour les polynômes du troisième degré ? Du quatrième degré ? Du cinquième degré ou plus ? Existe-t-il toujours une méthode similaire de résolution d'une équation de cette forme ?
Cet exposé a pour but de survoler les diérentes méthodes de résolutions qui ont été présentées par Jérôme Cardan pour le troisième degré (1545), et par Joseph-Louis Lagrange pour le quatrième (1771), parler de certaines conséquences de ces résultats, et enn énoncer un grand résultat du à Évariste Galois (publiés à titre posthume en 1843) et indépendamment par Niels Henrik Abel (1824) sur les équations du cinquième degré ou plus.
Une petite introduction aux algèbres amassées (lié à mon domaine de recherche)
Résumé : Un triplet de Markov est la donnée de trois entiers naturels positifs stricts (a, b, c) tels que a2+b2+c2 = 3abc. Un résultat intriguant est que toutes les triplets de Markov peuvent s'obtenir à partir du triplet (1, 1, 1) et des relations d'échanges.
Nous pouvons formaliser ce concept. Donnons-nous un graphe orienté G à n sommets sans boucle et sans 2-cycle. Soit (x_1, . . . , x_n) un n-uplet de variables. Nous pouvons décrire une mutation en chaque sommet i du graphe, et des relations d'échanges permettant de passer simultanément d'un graphe G à un graphe G′ et d'un n-uplet (x_1, . . . , x_i, . . . , x_n) vers un (x_1, . . . , x_i', . . . , x_n). Ces choses permettent de définir ce que sont les algèbres amassées.
Cet exposé a pour but d'étudier le cas des triplets de Markov et d'introduire au formalisme des algèbres amassées, et en concluant qu'avec un choix particulier de graphe et de n-uplet, nous retrouvons les triplets de Markov. Si le temps le permet, nous pourrons discuter des quelques questions et problèmes qui se posent, encore actuellement, sur les algèbres amassées.