L'EXO DE KHÔLLE

Liste des exercices : (Rythme : une vidéo chaque mardi 11h, sauf imprévues, contraintes ou vacances...) 

• #51 : Démontrer qu'une suite de fractions de produits de factoriels est une suite à valeurs entières. 

• #52 : Existe-t-il une solution définie sur R à l'équation différentielle y' + cos(y) = 0 telle que y(pi) = 0 ?
  Si oui, en expliciter une !

• #53 : Démontrer l'inégalité de Hadamard

• #54 : Démontrer le lemme d'Euclide-Euler

• #55 : Etudier les sous-groupes stricts d'un groupe infini particulier

• #56 : Démontrer le théorème 5/8

• #57 : Déterminer tous les idéaux de Mn(K)

• #58 : Un exemple de fonction continue sur R dérivable nulle part

• #59 : Démontrer un cas particulier de l'inégalité de Hilbert

• #60 : Montrer que la seule partie connexe dense de R^n est R^n

• #61 : Démontrer les inégalités de Kolmogorov

• #62 : Calculer la somme des 1/n^2

• #63 : Déterminer la dimension de l'espace des n-formes linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension d

• #64 : Démontrer le théorème de Stone-Weierstrass (via de la probabilité)

• #65 : Un endomorphisme dont les espaces propres pour ses valeurs propres non nulles sont de dimension finie

• #66 : Etudier les moyennes pondérées d'ordre alpha

• #67 : Montrer que l'ensemble des entiers de Gauss est un anneau euclidien

• #68 : Caractériser la décomposition en somme de deux carrés d'un nombre premier impair

• #69 : Démontrer le théorème des deux carrés de Fermat

• #70 : Une introduction au produit semi-direct de groupes

• #71 : Montrer que e est irrationnel

• #72 : Etudier les ensembles de Julia

• #73 : Une fonction C^1 sur R^2, mais pas C^2

• #74 : Résoudre un système d'équations différentielles linéaires

• #75 : Une colle ensembliste

• #76 : La décomposition en produit d'irréductibles dans un anneau noethérien

• #77 : Montrer que l'adhérence et l'intérieur d'un ensemble convexe est convexe 

• #78 : Démontrer la formule d'inversion de Möbius

• #79 : Dénombrer les involutions

• #80 : La racine k-ième d'une matrice symétrique positive

• #81 : La décomposition polaire

• #82 : Montrer une caractérisation de l'annulation du résultant

• #83 : La fonction Gamma vue comme une limite : une variante de la formule de factorisation de Weierstrass
  (Formule de Gauss) 

• #84 : Une fonction C^2 à matrice jacobienne antisymétrique en tout point

• #85 : Déterminer une équation différentielle linéaire homogène d'ordre deux dont deux fonctions précises sont solutions

• #86 : Etablir l'existence d'une solution non bornée à une équation différentielle 

• #87 : Montrer qu'il existe un polynôme conducteur égal au polynôme minimale d'un endomorphisme 

• #88 : Résoudre P^n+Q^n+R^n=0 pour P,Q,R trois polynômes à coefficients complexes 

• #89 : Une CNS pour un polynôme d'induire une surjection de Q sur Q 

• #90 : Etudier le jeu de la ruine 

• #91 : Démontrer une identité arithmétique faisant intervenir l'énumération des facteurs premiers 

• #92 : Une famille de vecteurs assez proches d'une base orthonormale 

• #93 : Le théorème de la projection (orthogonale) sur un convexe fermé 

• #94 : Un cas particulier du théorème de séparation des convexes (En lien avec le théorème de Hahn-Banach)

• #95 : Décrire l'enveloppe convexe de On(R)

• #96 : Décrire l'enveloppe convexe des matrices de permutation (Théorème de Birkhoff - Von Neumann) 

• #97 : Solutions d'une équation différentielle développables en série entière

• #98 : Sur une caractérisation de la fonction Gamma d'Euler (Théorème de Bohr-Mollerup)

• #99 : Déterminer une expression explicite d'une intégrale à paramètre à valeurs complexes

• #100 : Une variante du théorème du point fixe de Banach