ทำไมต้องใช้ n-1

สาเหตุการใช้ n-1 เป็นตัวหารของการหาค่าความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (Heiman, 2000: อ้างอิงจาก อนุวัติ คูณแก้ว, 2562 : 132-133)

การประมาณค่าความแปรปรวน จะประมาณค่าจากกลุ่มตัวอย่าง เพื่ออ้างอิงไปยังประชากร ในทำนองเดียวกัน เราใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง เพื่อประมาณค่าความเบี่ยงเบนของประชากร ถ้าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง เท่ากับ 5 พอจะคาดคะเนได้ว่า ความแปรปรวนของประชากรก็ควรจะเท่ากับ 5 เช่นกัน ดังนั้น ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง จะใช้อธิบายความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

เนื่องจากการใช้ข้อมูลของประชากรทั้งหมด นำมาคำนวณหาความแปรปรวน จะได้ค่าความแปรปรวนที่แท้จริง (True variance) และเมื่อเราสุ่มข้อมูลจากประชากร แล้วนำมาคำนวณ ค่าที่ได้ก็คือ ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง (Sample variance) บางครั้งความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง อาจจะเท่ากับความแปรปรวนของประชากรก็ได้

แต่บางครั้งเมื่อมีการสุ่มกลุ่มตัวอย่าง ที่ไม่ได้เป็นตัวแทนที่ดีของประชากร (No perfectly representative of the population) ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างอาจจะน้อยกว่า (Underestimate) หรือสูงกว่า (Overestimate) ความแปรปรวนที่แท้จริง เมื่อมีการสุ่มกลุ่มตัวอย่างหลายครั้ง การประมาณค่าความแปรปรวนประชากรจะต่ำกว่าความเป็นจริง ไม่บ่อยครั้งนักที่จะมีค่ามากกว่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ในทำนองเดียวกัน การประมาณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ก็เกิดขึ้นเช่นเดียวกัน

ในทางสถิติสูตรความแปรปรวน (variance) และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (standard deviation) เป็นการประมาณค่าที่มีความเอนเอียง (Biased estimators) เพราะค่าที่ได้อาจจะสูงกว่า หรือ ต่ำกว่าค่าพารามิเตอร์ของประชากร ทำไมการประมาณค่าและ จึงไม่ได้ค่าตรงกับความแปรปรวนของประชากร เพราะสูตรทั้งสองเป็นการอธิบายความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ไม่ได้เป็นการประมาณค่าจากประชากร เนื่องจากการประมาณค่า และ เราใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง เพื่อจะดูว่าข้อมูลที่สุ่มมานั้นเบี่ยงเบนจากประชากรหรือไม่ นอกจากนี้ การคำนวณความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง เราหาค่า ผลรวมของความแตกต่างระหว่างคะแนนทุกค่า กับค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง จะต้องเท่ากับ 0 (ศูนย์)

สมมติว่า ค่าเฉลี่ยของคะแนนชุดหนึ่งที่มี 5 จำนวน เท่ากับ 7 คะแนนทั้งสี่ตัวคือ 2, 4, 9 และ 12 ผลต่างของคะแนนกับค่าเฉลี่ย เท่ากับ -5, -3, +2 และ +5 ซึ่งนำผลต่างของคะแนนกับค่าเฉลี่ยมารวมกัน จะเท่ากับ -1 ดังนั้นคะแนนตัวที่เหลือ อีกหนึ่งตัว เมื่อลบด้วยค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ +1 ดังนั้น คะแนนตัวที่เหลือ คือ 8 ซึ่งจะทำให้ผลรวมของความแตกต่าง ระหว่างคะแนนทุกค่ากับค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 (ศูนย์) ซึ่งคะแนน 8 นี้ เราไม่สามารถที่จะสุ่มได้ เพราะมีคะแนนนี้คะแนนเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไข ดังกล่าว ดังนั้น เมื่อ คือ 5 จำนวน มีคะแนนเพียง 4 ตัว ที่สะท้อน (Reflect) ให้เห็นถึงความแปรปรวนอย่างแท้จริงของประชากร จาก จำนวนในกลุ่มตัวอย่าง จึงมีเพียง ของคะแนนทั้งหมด ที่สะท้อนให้เห็นถึงความแปรปรวนอย่างแท้จริงของประชากร

จากที่กล่าวมาแล้วสรุปได้ว่า (หรือที่เรียกว่า Degree of freedom) เป็นค่าที่ใช้เพื่อชดเชยความผิดพลาดของกลุ่มตัวอย่าง (Sample) เนื่องจากโดยส่วนมากแล้ว เราไม่สามารถหากลุ่มตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากรได้ตรง 100% เมื่อนำมาคำนวณหาค่าความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ( หรือ ) ก็จะได้ค่าที่น้อยกว่าค่าของประชากรเสมอ เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดดังกล่าว เราจึงลดตัวหารลงหนึ่งตัว เพื่อชดเชยปรากฏการณ์ดังกล่าว ดังนั้นสูตรการหาค่า หรือ ตัวหารจึงเท่ากับ จำนวนหรือขนาดของกลุ่มตัวอย่างลบด้วย 1 เสมอ แต่ถ้าหากว่าเรามิได้มีจุดประสงค์ จะนำค่า หรือ ไปประมาณค่า และ เพื่ออ้างอิงไปยังประชากร คือ เราเพียงต้องการอธิบายข้อมูลของกลุ่มตัวอย่าง ที่เก็บมาเท่านั้น เราก็ไม่จำเป็น ต้องลดตัวหารลงแต่อย่างใด