Quesiti stimolo
L'obiettivo della prima parte dell'attività è quello di introdurre i temi principali del progetto attraverso l'intervento diretto degli studenti. A tale fine vengono proposti due questionari.
Sondaggio rapido
Un cellulare e la sua cover costano assieme 110 euro. Il telefono costa 100 euro più della cover. Quanto costa la cover?
Stiamo lanciando una moneta equa, ovvero ha la stessa probabilità che esca testa o croce. Abbiamo fatto cinque lanci e non è mai uscito come risultato testa. Al sesto lancio scommetteresti sull'uscita di testa o croce?
Vai a giocare al Lotto. Scommetteresti sull'uscita del numero 24 sulla ruota di Firenze, che non esce da 115 estrazioni o sull'uscita del numero 4 sulla ruota di Palermo, uscito all'ultima estrazione?
Questo sondaggio è una provocazione iniziale: le domande sono intenzionalmente semplici, lo scopo è infatti quello di avviare una riflessione sull'intervento del pensiero intuitivo nella vita quotidiana. Il commento a tali quesiti non sarà quindi dedicato alla risoluzione degli stessi, bensì alla riflessione in merito all'effetto che tali domande hanno avuto, a primo impatto, sugli studenti chiamati a rispondere e poi su come possono essere percepite se poste ad un grande pubblico.
Questionario
Il questionario è costituito da domande riprese da alcune indagini svolte su medici, avvocati e giudici, in cui è stato richiesto a questi esperti di fare alcune valutazioni, in relazione al loro ambito, le quali prevedono l'uso della probabilità ed in particolare del Teorema di Bayes.
Gli obiettivi di questo questionario e della conseguente discussione di gruppo sono i seguenti:
far lavorare i ragazzi a coppie o piccoli gruppi per sviluppare un primo momento di confronto e risoluzione
far interfacciare gli studenti con problemi legati alla vita quotidiana in cui è richiesto l'uso della matematica
stimolare la discussione su problemi di probabilità che necessitano di un'interpretazione e di un dibattito al fine di elaborare una soluzione
far emergere delle strategie e delle tecniche che possano favorire e aiutare la comunicazione di temi matematici anche per un pubblico che non ha familiarità con le nozioni e i concetti di probabilità
QUESITO 1 (Da C. Guthrie, J. J. Rachlinski e A. J. Wistrich, Inside the Judicial Mind, 2001)
Sei il giudice che deve sentenziare in merito al seguente caso. Filippo sta passeggiando nei pressi di un magazzino di proprietà di Giorgio, e viene colpito da un barile, riportando delle ferite. Il barile era stato sollevato dal suolo e stava per essere riposto nel magazzino dai dipendenti di Giorgio. Gli operai non si spiegano come sia potuto accadere che il barile sia caduto. I casi sono due. Il barile era stato fissato male (negligenza di un operaio) oppure la corda era difettosa e si è spezzata.
Sai che
se un barile viene fissato male nel 90% dei casi cade
se il barile viene fissato bene si stacca solamente nell'1% dei casi
i lavoratori sono negligenti 1 volta su 1000
Quale sarebbe la tua sentenza?
Gli operai hanno fissato male il barile e dunque Giorgio deve essere giudicato colpevole.
La corda era difettosa e si è spezzata, quindi non si può ritenere Giorgio colpevole del fatto.
Non so.
Motiva la risposta.
QUESITO 2 (Da Cevolani, G. e Crupi, V., Come ragionano i giudici: razionalità, euristiche e illusioni cognitive, 2017)
Sei il giudice che deve sentenziare su un caso tra un'impiegata pubblica, Dina El Saba, e l'agenzia per cui lavorava. Dina era la segretaria di un manager di nome Peter. Dato che le sue valutazioni interne all’agenzia erano tutte fra “media” e “sopra la media”, Dina sostiene che il suo licenziamento sia un caso di discriminazione illecita. Peter ammette che le valutazioni del rendimento di Dina siano quelle citate, ma sostiene che l’agenzia l’abbia licenziata per ripetute violazioni dei regolamenti e delle norme sul posto di lavoro. Fra le altre cose, Dina faceva troppe pause durante l’orario di lavoro e prendeva giorni di ferie inaspettati. Secondo Peter, inoltre, Dina si vestiva in un modo che metteva a disagio sia i colleghi sia i visitatori, coprendosi quasi interamente di nero. Infine, Peter lamentava che Dina si comportasse in modo “strano” e “scostante”, rifiutandosi di pranzare mentre colleghi maschi erano presenti nella sala mensa. Basandosi solo su questi fatti, ordina le seguenti affermazioni dalla più probabile alla meno probabile.
L'agenzia ha illecitamente discriminato Dina sulla base delle sue credenze religiose islamiche.
L'agenzia voleva diversificare la propria forza lavoro ma ha anche illecitamente discriminato Dina sulla base delle sue credenze religiose islamiche.
L'agenzia ha seguito i propri regolamenti d'impiego interni.
L'agenzia voleva diversificare la propria forza lavoro.
QUESITO 3 (S. Lindsey, R. Hertwig e G. Gigerenzer, Communicating statistical DNA evidence, 2003)
In un caso di omicidio, sulla scena del crimine è stata ritrovata una traccia di DNA. Il perito, nell'aula di tribunale, testimonia che quel particolare profilo di DNA si presenta con una probabilità dello 0,0001%. Se è presente tale profilo, l'analisi del DNA lo identifica con certezza. I falsi positivi accadono con probabilità 0,3%. L'analisi svolta sulla traccia ha rivelato una corrispondenza con il DNA dell'imputato.
Il 54,5% degli studenti di legge interrogati in merito a questo caso hanno giudicato l'imputato colpevole.
Hai a disposizione 100 euro. Quanti ne scommetteresti su "L'imputato è colpevole"?
Motiva la risposta.
I due seguenti quesiti sono analoghi ma le informazioni e i dati vengono proposti attraverso due formati diversi: con le percentuali e con le frequenze naturali. In questo modo, anche con il commento in relazione alle risposte date dai medici al quesito, proposto nella presentazione che si trova al termine di questa pagina, si avvia la riflessione sulla modalità con cui i dati e le informazioni probabilistiche e statistiche dovrebbero essere comunicati per essere compresi da un pubblico non esperto.
(Rivisitazione dei quesiti da U. Hoffrage, S. Lindsey, R. Hertwig e G. Gigerenzer, Communicating Statistical Information, 2000)
QUESITO 4: Sei un medico che ha in cura un paziente.
La probabilità di avere la malattia xy è dello 0,3%. Se una persona ha tale malattia, la probabilità che il test sia positivo è del 50%. La probabilità che il test sia positivo nonostante la persona non abbia la malattia xy è del 3%.
Il tuo paziente risulta positivo al test. Qual è la probabilità che il tuo paziente abbia effettivamente tale malattia?
QUESITO 5: Sei un medico e hai un cura un paziente che si sottopone al test per la malattia xy.
Ogni 10 000 persone, 30 hanno tale malattia. Di queste, 15 avranno test positivo. Delle rimanenti 9 970 persone che non hanno la malattia xy, 300 risulteranno positive al test. Il tuo paziente ha esito positivo.
Qual è la probabilità che egli sia effettivamente malato?
Un possibile commento ai quesiti può essere proposto attraverso la presentazione che segue (Supporto per la discussione). Sono stati riportati i testi dei quesiti, una proposta di risoluzione attraverso l'uso di diagrammi ad albero o tabelle e i risultati delle indagini svolte su alcuni esperti, ai quali sono stati proposti analoghi quesiti.
La proposta è quella di stimolare il confronto tra i ragazzi in modo che emergano le diverse percezioni e risoluzioni. Probabilmente, se gli studenti conoscono il teorema di Bayes, proporranno una soluzione "standard" tramite l'utilizzo della regola. In questo caso si dovrebbe far leva sulla possibilità di far comprendere il procedimento risolutivo anche a chi non ha a disposizione tali conoscenze e stimolare dunque risoluzioni alternative, anche utilizzando la rappresentazione grafica.
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