3.1. Définitions et propriétés élémentaires

Chapitre 3 : Anneau de polynômes sur un corps

Cours d'algèbre: Structures, polynômes et fractions rationnelles

Objectifs spécifiques de la section.

A la fin de cette section l'apprenant devrait être capable de :

Rappeler la construction de l'anneau de polynômes.
Distinguer entre fonctions polynomiales et polynômes.
Rappeler (et savoir utiliser) les propriétés du degré d'un polynôme.
Rappeler (et savoir utiliser) le théorème de la division Euclidienne des polynômes.
Savoir déterminer le reste de la division Euclidienne des polynômes dans quelques cas particulières.
Rappeler la forme des idéaux de l'anneau de polynôme à une indéterminée sur un corps.

Partie 1. Construction de l'anneau de polynômes

Présentation générale de cette partie: Nous adoptons une approche constructive pour introduire l'anneau de polynômes à coefficients dans un corps en une indéterminée. Pour une raison de simplicité, "nous avons découpé cette partie en trois sous-parties présentées dans trois vidéos.

Dans la première vidéo nous allons établir une bijection entre l'ensemble des fonctions polynomiales réelles et un ensemble S0 défini par les coefficients des fonctions polynomiales (à découvrir dans la première vidéo !).

Puis, dans la deuxième vidéo, nous verrons qu'on peut munir cet ensemble S0 d'une structure d'anneau par le principe du transfère de la structure. Ce nouveau anneau sera appelé l'anneau de polynômes.

Une extension de la construction de l'anneau de polynômes du corps des réels à n'importe quel corps sera présentée dans la troisième vidéo. Mais avant de commencer, je vous invite à voir les prérequis nécessaires à la compréhension des trois vidéos : Prérequis