Вопросы к зачету/экзамену по спецкурсу
Вероятность на комбинаторных объектах
1. Разбиения и композиции чисел и множеств; различные упорядочивания конечных разбиений
2. Гиббсовские меры на разбиениях множеств: определение и общие свойства
3. Примеры гиббсовских мер на разбиениях множеств
4. Многочлены Белла, формула Фаа ди Бруно
5. Кумулянты и моменты случайных величин и связь между ними; примеры
6. Случайные суммы и представление Колчина гиббсовских мер
7. Перестановочные разбиения конечных множеств; перестановочная функция вероятности
8. Общее представление перестановочных разбиений конечных множеств
9. Перестановочные разбиения натурального ряда; свойство согласования
10. Перестановочные распределения последовательностей случайных величин; способ построения случайных величин со случайным распределением
11. Теорема де Финетти (формулировка в общем случае, доказательство для бернуллиевских случайных величин)
12. Примеры перестановочных случайных величин
13. Соответствие Кингмана
14. Палитра Кингмана; частоты
15. Последовательное построение перестановок и следствия из этой конструкции
16. Модель "китайского ресторана" для произвольных перестановочных разбиений натурального ряда
17. Двухпараметрическое семейство Ювенса-Питмана и его перестановочная функция вероятности
18. Две леммы к теореме Керова
19. Теорема Керова
20. Теорема о частотах для двухпараметрического семейства Ювенса-Питмана
21. GEM-распределение и распределение Пуассона-Дирихле
22. Субординаторы и экспонента Лапласа
23. Теорема Леви-Хинчина для субординаторов
24. Примеры субординаторов
25. Свойства устойчивых субординаторов и их непрерывных обращений
26. Функция восстановления и ее связь с экспонентой Лапласа
27. Мера Лебега образа субординатора
28. Совместное распределение перескока через экспоненциальный уровень и левого предела в момент перескока
29. Количество блоков в двухпараметрическом семействе Ювенса-Питмана: случай неположительного первого параметра
30. Количество блоков в двухпараметрическом семействе Ювенса-Питмана: случай положительного первого параметра
31. Регенеративные случайные композиции: основные определения и представление в виде марковской цепи
32. Согласованные семейства регенеративных композиций, примеры
33. Представление согласованных семейств регенеративных композиций через экспоненциальную выборку и субординатор
34. Параметризации согласованных семейств регенеративных композиций
Литература:
J. Pitman. Combinatorial Stochastic Processes. Ecole d’Eté de Probabilités de Saint-Flour XXXII – 2002.
J. Bertoin. Subordinators: Examples and Applications. LNM, vol 1717. Springer, Berlin, Heidelberg, 1999.
A. Gnedin, J. Pitman. Regenerative composition structures. Ann. Probab. 33(2): 445-479 (March 2005).