Список вопросов
к экзамену по курсу
Теория вероятностей и математическая статистика
Прикладная, компьютерная и математическая лингвистика, филфак СПбГУ
Осень 2024 г.
Классическое правило вычисления вероятности. Примеры.
Пространство исходов и сигма-алгебра событий.
Аксиомы теории вероятностей и простейшие следствия из них.
Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса.
Независимые события. Примеры.
Последовательность независимых испытаний. Вероятность иметь k успехов
в n независимых испытаниях.
Пуассоновское приближение к биномиальному распределению.
Локальная теорема Муавра-Лапласа (б/д).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа (б/д).
Случайная величина. Функция распределения и ее свойства.
Случайные величины с дискретными и абсолютно непрерывными распределениями.
Примеры дискретных вероятностных распределений: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, дискретное равномерное.
Примеры непрерывных вероятностных распределений: непрерывное равномерное, экспоненциальное, нормальное.
Математическое ожидание и его свойства.
Подсчет математических ожиданий для дискретных и абсолютно непрерывных величин.
Дисперсия и ее свойства; моменты случайных величин.
Неравенства Маркова и Чебышева.
Случайные векторы. Совместные и маргинальные распределения.
Независимые случайные величины.
Суммирование независимых случайных величин.
Ковариация, коэффициент корреляции и их свойства.
Теорема Чебышева о законе больших чисел.
Сходимость эмпирических функций распределения к теоретическим.
Различные виды сходимости в теории вероятностей.
Соотношение между видами сходимости (б/д).
Теоремы Хинчина и Колмогорова об (усиленном) законе больших чисел (б/д).
Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных слагаемых (б/д).
Понятие цепи Маркова. Марковское свойство.
Вероятности перехода в марковской цепи за n шагов.
Классы сообщающихся состояний и их типы.
Периодичность в марковских цепях.
Сходимость к инвариантному распределению (б/д) и условия для нее.
Статистические модели, параметрические и непараметрические постановки.
Оценки параметров и их свойства. Примеры.
Методы моментов и максимального правдоподобия для построения оценок. Примеры.
Доверительные интервалы и примеры их построения.
Основные понятия, связанные с проверкой статистических гипотез.
Примерный список литературы:
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1997.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1988.
Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т.1. — М.: Изд-во МЦНМО, 2007.
В принципе, подойдет и большинство других учебников для инженерных специальностей.