20230130數理解題營
主題：Scratch數理解題營
時間：2023.01.30(一)~02.01(三) 13:00~17:00
地點：新上國小三樓電腦教室一
解題內容：
一、求BMI值及判斷是否過輕、正常或肥胖？
二、猜數字遊戲
三、九九乘法表
四、求水仙花數
五、求一個數N是否為質數
六、求一個數N的所有因數
七、判斷某一年是否為閏年
八、求一數值所有位數的和？
九、模擬樂透開獎
十、求兩數的最大公因數及最小公倍數？
零、認識Scratch
Scratch官網：https://scratch.mit.edu/
Scratch 是全球最大的兒童編程社群，也是一種擁有簡潔編輯環境的編程語言，你可以用它編寫故事、動畫與遊戲。Scratch 由非營利組織 Scratch 基金會 設計、開發與維護。
Scratch 促進了兒童的運算思維、解決問題能力；創意的教與學；自我表達與合作；和計算機領域的平等。
Scratch 是免費的，支持超過 70 種語言。
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一開始只是New Scratcher，無法創建【創作坊】
Scratch除了可以設計遊戲及動畫外(全國貓咪盃競賽)，還可以進行數理解題！這部份才真正使用到運算思維的技巧！
20210423全國貓咪盃競賽(花蓮) https://youtube.com/playlist?list=PLSyAyzqfKi-M5U6sWK2WCb4HmNOjE7kfJ
一、求BMI值及判斷是否過輕、正常或肥胖？
BMI值就是身體質量指數，BMI=體重(公斤)/ (身高*身高)(公尺)
認識【運算思維】（Computational Thinking）是最近很熱門的一個名詞
根據Google的定義，運算思維包含有資料蒐集、資料分析、資料表示、拆解、找相似、模擬、抽象化、自動化、平行化、演算法設計等內涵。一般常整合（簡化）成以下四項重點：
拆解 （Decomposition）：將一個任務或問題拆解成數個步驟或部分或小問題。(班上的長，都是老師拆解班級、方便管理的作法)
找出規律（Pattern Recognition）：尋找問題中的相同或相似之處。也可利用規律性來拆解問題！
歸納與抽象化 （Pattern Generalization and Abstraction）：只專注於重要的信息，忽視無關緊要的細節，找出最主要導致此模式的原則或因素。
演算法設計（Algorithm Design）：開發解決這問題的步驟、規則。
請同學想一想，這要如何解這一題目？
程序：輸入-> 黑盒子 ->輸出結果
輸入：
輸入積木
變數
輸出：
輸出積木
也有人利用變數或清單來做輸出
黑盒子：運算思維的演算法設計，也就是解題關鍵的地方！！
簡單程式如下：
計算BMI值
判斷是否過輕、正常或肥胖？
二、猜數字遊戲
跟電腦比賽猜數字遊戲，
電腦會隨機出一個1~100的數字給玩家猜
若輸入數太小，就顯示出"太小了"；反之如果輸入數太大，就顯示出"太大了"
玩家最後找出正確的數字來，並顯示一共猜了幾次
請同學想一想，這要如何解這一題目？
先建立2個變數來儲存【電腦的值】及【你猜的值】
程序：一直【輸入-> 判斷 ->輸出結果】
方法一：
同學在猜數字時，可以採用二分搜尋法來猜數字！電腦科學中，二分搜尋演算法（英語：binary search algorithm），也稱折半搜尋演算法（英語：half-interval search algorithm）[1]、對數搜尋演算法（英語：logarithmic search algorithm）[2]，是一種在有序陣列中搜尋某一特定元素的搜尋演算法。搜尋過程從陣列的中間元素開始，如果中間元素正好是要搜尋的元素，則搜尋過程結束；如果某一特定元素大於或者小於中間元素，則在陣列大於或小於中間元素的那一半中搜尋，而且跟開始一樣從中間元素開始比較。如果在某一步驟陣列為空，則代表找不到。這種搜尋演算法每一次比較都使搜尋範圍縮小一半。所以先猜1~100的一半是50，接下來75或25....
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第1題
可以與旁邊同學相互討論
請寫出一個程式能夠印出 a 和 b 區間裡的奇數和(不包括 a 和 b )，程式執行後可以輸入兩個數: a 和 b，b>a, 且 1<a<101, 1<b<101
輸入範例一: 1 10、輸出範例一: 24
輸入範例二: 11 25、輸出範例二: 108
三、九九乘法表
九九乘法表是寫程式最常做的題目
認識【巢狀迴圈】
巢狀迴圈就是有兩個以上迴圈所組合而成，也就是迴圈內有迴圈，我們稱在外面的迴圈為「外迴圈」，被包在裡面的迴圈，稱為「內迴圈」
巢狀迴圈程式執行過程：外迴圈執行1次，內迴圈執行全部次數，所以可以把外迴圈看做是時鐘的分針，內迴圈就是秒針，當內層迴圈執行一輪之後，外層迴圈才會進到下一項。
說實在的SCRATCH的積木並不好用，如果有像下面的積木就更方便了
認識【清單】的使用
「清單(有些稱【陣列】」與「變數」的關係，清單可以說是變數的延伸，將同性質的變數可整合成一個清單，例如計算學生各科成績時，我們可以用如下兩種表示法來計算。清單的索引數字從【1】項目開始！
四、求水仙花數
「水仙花數」是指一個三位數，各位數的立方和等於它本身的值。例如：153是一個「水仙花數」，因為153=1x1x1＋5x5x5＋3x3x3
使用【暴力法】解題，也就是從100開始看符不符合？一直嘗試到999，這就是暴力法解題！
方法一：https://scratch.mit.edu/projects/792208174
設三個變數分別為百位數(i)、十位數(j)及個位數(k)，再來組出所有的三位數，並判斷是否符合水仙花數！
方法二：https://scratch.mit.edu/projects/792213390
設一個變數從100跑到999，但先算出這個數百位數、十位數及個位數，並判斷是否符合水仙花數！
先想想，如何從3位數的數值中如何求得百位數、大位數及個位數的值？例如：如何從123中計算出百位為1、十位數為2、個位數為3
123/10=12....3 (餘數)
12/10=1....2(餘數)
1/10=0....1 (餘數)
五、求一個數N是否為質數
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第3題
何為【質數】
所謂質數是正整數，即大於1的自然數，該數除1和該數自身之外不能被任何自然數整除的數，如2、3、5、7、11...等。）
解題說明：
這題解法我們也是使用【暴力法】解題，看這數能不能整除2、3、4...，如果能整除，就代表它不是質數！
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第4題
可以與旁邊同學相互討論
請寫出一個程式能夠印出 a 和 b 區間裡的質數(不包括 a 和 b )，程式執行後可以輸入兩個數: a 和 b，b>a, 且 1<a<51, 1<b<101
輸入範例一: 5 20 ；輸出範例一: 7 11 13 17 19
輸入範例二: 13 50；輸出範例二: 17 19 23 29 31 37 41 43 47
函數的使用
六、求一個數N的所有因數
何謂【因數】
整數m除以n，結果是無餘數的整數，也就是【整除】，那麼我們稱n就是m的因數。1為任何數的因數。
解題說明：
這題解法跟上面求質數相同，看這數能不能整除1、2、3、4...，如果能整除，就代表1、2、3、4這些數是這數N的因數！
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第5題
可以與旁邊同學相互討論
請寫出一個程式輸入 N，2<N<200 ，先判斷這一個數是不是合數如果是合數請算出它的質因數有哪些?
輸入範例一: 60；輸出範例一: 60 是合數， 它的質因數有: 2 3 5
輸入範例二:11 ；輸出範例二:11 不是合數
說明：
在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。而1則被認為不是質數，也不是合數。
七、判斷某一年是否為閏年
閏年的判斷？
閏年為2月有29日，整年有 366 天
西元的年數可以被4整除為閏年，但是有例外，被100整除而不能被400整除的不是閏年
如西元1600年、2000年是閏年，而西元1700年、3000年不是。
方法一：https://scratch.mit.edu/projects/792594641
若該年份可以被 4 整除，請執行步驟 2，否則請執行步驟 5(不是閏年)。
若該年份可以被 100 整除，請執行步驟 3，否則請執行步驟 4(是閏年)。
若該年份可以被 400 整除，請執行步驟 4，否則請執行步驟 5(不是閏年)。
該年份為閏年 (有 366 天)。
該年份不是閏年 (有 365 天)
方法二：https://scratch.mit.edu/projects/792735903
可以被4整除但不可以被100整除。
可以被400整除。
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第2題
可以與旁邊同學相互討論
寫一個程式輸入年月日可以計算哪一天是星期幾?
輸入範例一: 2022 12 3；輸出範例一: 星期六
輸入範例二: 2000 1 2 ；輸出範例二: 星期日
八、求一數值所有位數的和？
方法一：把數字當成【數字】看，超過17位數時，會出問題！
補充說明：以上測試發現在16位數以內的數都可以正確的求出結果來，但超過16位數以後，算出來的結果就不正確了。這是因為所有的程式語言裡，都會限制可使用的數字範圍，Scratch最大可以表示2的53 次方，就是 9,007,199,254,740,992，超過的話就會錯誤，這是電腦運算的極致，所以不算是Bug。
方法二：把數字當成【文字】看，超過17位數時，不會出問題！
九、模擬樂透開獎
模擬樂透開獎：亂數排序（從1~42中亂數出6個不同號碼並從小排到大）、使用分身的功能
排序方法一：氣泡排序(Bubble Sort)
演算法的運作如下：
比較相鄰的元素。如果第一個比第二個大，就交換它們兩個。
對每一對相鄰元素作同樣的工作，從開始第一對到結尾的最後一對。這步做完後，最後的元素會是最大的數。
針對所有的元素重複以上的步驟，除了最後一個。
持續每次對越來越少的元素重複上面的步驟，直到沒有任何一對數字需要比較。
十、求兩數的最大公因數及最小公倍數？
最大公因數(GCD)指能夠整除多個整數的最大正整數。而多個整數不能都為零。例如8和12的最大公因數為4。
同樣地，若干個整數公有的倍數中最小的正整數稱為它們的最小公倍數(LCM)。
這程式的寫法是利用求最大公因數所採用的【輾轉相除法】而來的
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第6題
計算最大公因數和最小公倍數，請寫一個程式輸入兩個數 a b, (1<a<1000, 1<b<1000) 請算出這兩個數的最大公因數(Greatest Common Divisor, GCD)和最小公倍數( Least Common Multiple, LCM)
輸入範例一: 56 24；輸出範例一: GCD=8, LCM=168
輸入範例二: 125 75；輸出範例二: GCD=25, LCM=375
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第7題
時鐘盤面上計算兩針夾角為幾度? 請寫一個程式 輸入hh:mm, (例如:11:43) 程式可以算出兩針夾角為幾度。(不需要繪出時鐘)
輸入範例一: 4:20；輸出範例一: 10
輸入範例二: 4:21；輸出範例二: 4.5
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第8題
階層 在數學中，正整數的階乘（英語：Factorial）是所有小於等於該數的正整數的積，計為n!，例如5的階乘(5!=5x 4x 3x 2x 1=120) 表示為5!，其值為120：
現在請寫一個程式，輸入 N ，2<N<51，能夠算出正整數N的階乘的數值，這一題請留意 N>20 以後的有效數值，最好不要用指數型態 e 的自然對數表示數值。
2 != 2
3 != 6
4 != 24
5 != 120
6 != 720
輸入範例一: 5；輸出範例一: 5 != 120
輸入範例二: 20；輸出範例二: 20 !=
000
輸入範例三: 21；輸出範例三: 21 != 51090942171709440000
輸入範例三: 25；輸出範例三: 25 != 15511210043330985984000000
小試身手一下
這題目是【111年高雄市貓咪杯Scratch 數理邀請賽試題】第9題
請寫出一個程式,可以繪出一個圓裡面的正N邊多邊形。半徑長度 r=120 ，請畫出外接圓和圓心連接角的半徑(如右圖)
