Úvod do algebraické teorie čísel 2017/18

NMMB360

Letní semestr 2017/18, čtvrtek 10:40 v K5

Cílem předmětu je probrat klíčové vlastnosti číselných těles. Budeme předpokládat některé základní pojmy z přednášky Komutativní okruhy, ale téměř nic z teorie čísel.

Základy (zejména jednoznačnou faktorizaci na součin prvoideálů) budou podle kapitoly 12 z [IR], a potom se pustíme do [Mi]: popis prvoideálů (konec kapitoly 3), konečnost třídové grupy (kapitola 4) a struktura grupy jednotek (kapitola 5). Získané výsledky ilustrujeme na příkladech kvadratických a cyklotomických těles a aplikujeme na řešení diofantických rovnic. Pokud nám zbude čas, tak se pustíme ještě do lokálních těles a Galoisových grup ([Mi], kapitoly 7, 8).

Zkouška bude ústní s cca. 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.

Konzultace

Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.

Průběh přednášky

17. 5. S-jednotky (Mi 89), cyklotomická tělesa bez důkazů (Mi 94-100), první případ VFV pro regulární prvočísla (Mi 101-103)

10. 5. Důkaz Dirichletovy věty o jednotkách, regulátor (Mi 86-88, 93)

3. 5. Úvod k Dirichletově větě o jednotkách, Pellova rovnice (Mi 84-86, 90)

26. 4. dokončení důkazu Minkowského meze (Mi 76-80)

19. 4. aplikace Minkowského meze, mříže (Mi 71-75)

12. 4. norma ideálů, Minkowského mez (Mi strany 67-70)

5. 4. větvení prvočísel (Mi věta 3.35; nedokazovali jsme klíčové technické lemma 3.38)

29. 3. rozklady prvočísel (IR 12.3) a jejich hledání (Mi věta 3.41)

22. 3. jednoznačné rozklady, úvod k větě efg (IR, 12.2 a začátek 12.3)

8. 3. Dedekindovskost, krácení ideálů (IR, pokračování 12.2)

1. 3. Diskriminant (Drápal II.5), existence celistvé báze (IR, začátek 12.2)

22. 2. Úvod, norma a stopa (Drápal II.5)

Literatura

[IR] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 84 (Second Edition)

[Mi] J. Milne, Algebraic Number Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

Poznámky Andrewa Kozlika (pokrývající trochu jiná témata, než co budeme probírat letos)

Skripta z Komutativních okruhů Aleše Drápala

Diplomka Maroše Hrnčiara o řešení diofantických rovnic (a hledání třídových grup)

in Nubra valley