Modulární formy 2017/18

NMAG462, NMAG473

Letní semestr: úterý v 14:00 v seminárce KA

Zimní semestr: pondělí v 10:40 v seminárce KA

Předběžný plán na letní semestr je začít adely a harmonickou analýzu na nich. Pomocí toho potom vybudujeme obecnou teorii Dirichletových L-funkcí, což pak rozšíříme na automorfní reprezentace - významná zobecnění modulárních forem a základní kámen Langlandsova programu. Letní semestr bude převážně nezávislý na tom zimním, takže jsou všichni vítaní (i pokud nerozumíte většině tohoto odstavce)!

Anotace

Modulární formy a L-funkce jsou centrálními objekty v moderní teorii čísel, které hrály důležitou roli v důkazu velké Fermatovy věty. Jde o jisté komplexní funkce kódující zajímavé číselně-teoretické informace, např. o rozložení prvočísel, nebo počty řešení diofantických rovnic. Přednáška pokryje jejich základní vlastnosti a některé z aplikací za kombinace analytických a algebraických metod. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu posluchačů.

Přednáška je vhodná pro studenty 4. a vyšších ročníků (případně pro šikovné třeťáky).

Program léto

22.5. Dirichletova a Čebotarevova věta o hustotě, lokální porovnání L-funkcí (RV 7.7, 7.8)

15.5. Dedekindova zeta funkce, vzorec pro třídové číslo (RV 7.6)

24.4. globální funkcionální rovnice (Bump stále ještě 3.1)

17.4. lokální a globální integrály, lokální funkcionální rovnice (Bump 3.1)

10.4. Heckeho charaktery, zavedení L-funkcí, Poissonovo sčítání (Bump 3.1)

3.4. Schwartzovy prostory, Heckeho charaktery (Bump 3.1)

27.3. aditivní charaktery (viz Conrad), Fourierova transformace

14.3. idely, charaktery a Pontryaginův duál (RV sekce 3.1, Bump začátek 3.1)

6.3. Haarova míra, adely (Clark, kapitoly 2, 3). Moje poznámky (určitě s chybkami)

27.2. valuace, zúplnění, p-adická čísla (Milne, kapitola 7; Clark, kapitoly 2, 3)

Program zima (vše podle Serre, kapitola 7)

18.12. Sekce 6

11.12. 5.5, 5.6; Poissonova sumace podle Darmona

27.11. 5.3, 5.4

20.11. 5.1, 5.2

13.11. 4.4, 4.5

6.11. 4.1 - 4.3

30.10. 3.2, 3.3

23.10. 2.3 a 3.1

16.10. 2.2 a začátek 2.3

9.10. Serre, sekce 1 a 2.1 z kapitoly 7

Literatura

K. Conrad, The character group of Q (a taky Q_p, R)

D. Bump, Automorphic forms and representations

D. Ramakrishnan, R. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields

J. Milne, Algebraic Number Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

P. L. Clark, Algebraic Number Theory II

J.-P. Serre: A course in arithmetic

H. Darmon: Lecture on Fourier transforms and Poisson summation

Stongde village