Kvadratické formy 2015/16

V zimním semestru 2015/16 jsem učil přednášku o kvadratických formách, v SISu je uvedená jako NMAG499.

In Winter 2015/16 I taught a course on Quadratic forms.

Anotace

Kvadratické formy s celočíselnými koeficienty tvoří centrální část teorie čísel - například studium toho, která prvočísla jdou vyjádřit ve tvaru x^2+ny^2, vedlo postupně k rozvoji řady klíčových nástrojů algebraické teorie čísel. Cílem přednášky je vyložit základy aritmetické teorie kvadratických forem, zejména s ohledem na otázky týkající se reprezentace celých čísel.

Přednáška je vhodná pro studenty 3. a vyšších ročníků.

Cvičné příklady

Zadání

Program

13. 1. Izomorfismus grupy tříd forem a ideálů (podle §7B z Coxe)

6. 1. Hilbertovo třídové těleso a p=x^2+ny^2 (dokončení §5D z Coxe)

16. 12. Artinovo zobrazení, štěpení prvočísel v HTT (§5C a začátek 5D z Coxe)

9. 12. Kvadratická tělesa, místa, Hilbertovo třídové těleso (§5B a začátek 5C z Coxe)

2. 12. Přehled algebraické teorie čísel (§5A z Coxe)

25. 11. Počet rodů a aplikace (3.15 a 3.22 z Coxe), důkaz věty o 4 čtvercích pomocí kvaternionů pdf

18. 11. Grupa tříd forem a struktura rodů (§3A a začátek 3B z Coxe)

11. 11. Rody forem a skládání (§2C a začátek 3A z Coxe)

4. 11. Binární formy, redukce, třídy (§2A a 2B z Coxe)

21. 10. Ternární klasické formy determinantu 1, 2, 3, věty o třech a čtyřech čtvercích, čísla tvaru x^2+y^2+2z^2, univerzální diagonální formy

14. 10. Determinant, ternární kladné formy, mříž přiřazená kvadratické formě, redukce binárních a ternárních forem

7. 10. Úvod, základní definice, matice přiřazená kvadratické formě, ekvivalence forem, charakterizace prvočísel tvaru x^2+2y^2 počítáním v Z[sqrt -2]

Literatura

• 1. Leonard Eugene Dickson, Modern Elementary Theory of Numbers, Chicago, 1939.

  2. David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989.

  3. Manjul Bhargava, On the Conway–Schneeberger fifteen theorem, Contemp. Math. 272, 27 – 37.

Mangyu La