Komutativní okruhy 2017/18

NMAG301

Zimní semestr 2017/18 (pondělí 14 v K7, čtvrtek 14 v K9)

Cvičení se budou konat zhruba jednou za dva týdny na 90 minut.

Podmínkou získání zápočtu je úspěšné vyřešení tří sad domácích úkolů, na jejichž vypracování budou vždy 2 týdny. Po dohodě je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu. Zisk zápočtu není třeba pro konání zkoušky. Zkouška bude ústní s cca. 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.

K přednášce také Pavel Růžička učí Proseminář z komutativních okruhů, kde se budou probírat různá rozšiřující témata.

Pokud během semestru potřebujete vyzkoušet, napište mi s předstihem email a domluvíme se. Půjde to pak taky během letního zkouškového.

Konzultace

Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.

Domácí úlohy

3. sada (do 21.12.)

2. sada (do 30.11.)

1. sada (do 2.11.)

Na zápočet je potřeba získat 50 bodů z domácích úkolů (ze 75 možných). Po dohodě je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu (ozvěte se mi případně emailem).

Průběh přednášky

11. 1. popis prvoideálů kvadratických číselných těles (Conrad sekce 8, 9)

8. 1. jednoznačný rozklad na prvoideály (Conrad sekce 7)

4. 1. dělitelnost ideálů, norma ideálu (víceméně Conrad, sekce 4, 5, 6 a začátek 7)

21.12. 7. cvičení

18.12. norma a stopa, generátory ideálů (víceméně Conrad vše po větu 4.14; na přednášce to bylo pro obecná číselná tělesa, ke zkoušce ale stačí pro kvadratická)

14.12. řešení x^2+5=y^3, motivace třídové grupy, celistvé prvky v číselných tělesech (víceméně Conrad, sekce 3)

11.12. Abelova-Ruffiniho věta (Stanovský, dokončení sekce 2), 4. řešení diofantických rovnic pomocí Z[i]: x^2+1=y^3

7.12. 6. cvičení, 3. domácí úloha

4.12. Řešitelnost grup a polynomů (Stanovský, sekce 2 do půlky strany 12)

30.11. Galoisova korespondence (Drápal, dokončení II.3, II.4)

27.11. jednoduchá a normální rozšíření (Drápal II.3.1 - II.3.5)

23.11. 5. cvičení

20.11. separabilní rozšíření (Drápal II.2), Galoisova grupa (Stanovský, začátek sekce 2)

16.11. 4. cvičení

13.11. algebraický uzávěr (Stanovský, sekce 1), stupeň separability (Drápal, začátek sekce II.2)

9.11. 3. kořenová a rozkladová nadtělesa (Stanovský, sekce 1), 2. domácí úloha

6.11. Hilbertova věta o nulách, ireducibilní algebraické množiny (Fulton 1.7 a 1.5)

2.11. 3. cvičení

30.10. rozšíření konečně generovaná jako okruh a jako modul (Fulton 1.8 - 1.10)

26.10. algebraické množiny a ideály, celistvé prvky (Fulton, 1.3 a 1.9)

23.10. radikály (dokončení I.3 v Drápalovi), algebraické množiny (Fulton, část 1.2 a 1.4)

19.10. 1. domácí úloha a 2. cvičení

16.10. čínská zbytková věta (Drápal do I.3.4), 2. Zornovo lemma

12.10. p-valuace a p-obsah polynomu nad gaussovským oborem R, ireducibilní prvky a gaussovskost R[x] (Drápal I.2)

9.10. opakování gaussovských oborů, moduly, noetherovské, konečně generované, Hilbertova věta o bázi (Drápal I.1 a I.2.1)

5.10. chvíle přednášky (prvoideály), potom 1. cvičení

2.10. 1. úvod, faktorokruhy, věty o izomorfismu

Seznam zkouškových otázek

Věty o izomorfismu a čínská zbytková věta

Noetherovskost, hlavní a konečně generované ideály

Gaussovskost, obsah polynomu

Zornovo lemma a radikály

Algebraické množiny a ideály

Celistvé prvky a konečně generovaná rozšíření těles

Hilbertova věta o nulách

Ireducibilní algebraické množiny

Kořenová a rozkladová nadtělesa, algebraický uzávěr

Separabilní rozšíření

Jednoduchá a normální rozšíření

Galoisova korespondence

Řešitelnost polynomů v radikálech

Algebraická teorie čísel podle tohoto textu (vše stačí znát jen pro případ kvadratických číselných těles)

Diofantické rovnice (na přednášce 11./14.12.) a základy kvadratických číselných těles

Celistvé prvky, norma, stopa, norma ideálu

Jednoznačná faktorizace a popis prvoideálů

Literatura

Skripta Aleše Drápala

Knížka William Fulton: Algebraic curves

Text Davida Stanovského o Galoisově teorii

Text Keitha Conrada o algebraické teorii čísel

Diplomka Maroše Hrnčiara o řešení diofantických rovnic (včetně úvodu do potřebné algebraické teorie čísel; značně nad rámec přednášky)

Loňský web Jana Žemličky, kde jsou např. odkazy na další materiály. Starší web Davida Stanovského. Letošní přednáška se ale bude od těch dřívějších v lecčems lišit.

view from Yogma La (4700 m.)