Kvadratické formy 2018/19

NMAG455, NMAG456

V roce 2018-19 učím přednášky Kvadratické formy a třídová tělesa I, II (ZS a LS, povinně volitelné pro Mgr. struktur).

Zkouška bude ústní s cca. 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.

Zkouškové termíny jsou vypsané v SISu; pokud vám vůbec nevyhovují, ozvěte se a zkusíme se domluvit. V druhé půlce záři ještě nejspíš vypíšu jeden termín.

Letní semestr

Dokončili jsme část o Hilbertově třídovém tělese a jeho využití pro studium prvočísel tvaru x^2+ny^2 podle kapitoly 5 z Coxe, a potom jsme se věnovali souvislostem kvadratických forem nad tělesem p-adických čísel Q_p a nad racionálními čísly podle Serreho A course in arithmetic, kapitoly 2 - 5.

Konzultace

Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.

Průběh přednášky v zimě

18. 12. Izomorfismus grupy tříd forem a ideálů (podle §7B z Coxe)

11. 12. Přehled algebraické teorie čísel (část §5A z Coxe)

4. 12. struktura rodů (§3B z Coxe), počet rodů a aplikace (3.15 a 3.22 z Coxe)

27. 11. skládání a grupa tříd forem (§3A z Coxe)

20. 11. Rody forem a skládání (§2C a začátek 3A z Coxe)

13. 11. 3. Binární formy, redukce, třídy (§2A a 2B z Coxe)

30. 10. kvaterniony a věta o 4 čtvercích pdf

23. 10. čísla tvaru x^2+y^2+2z^2, univerzální diagonální formy a věta 15

16. 10. redukce binárních a ternárních forem, součet 3 čtverců

9. 10. Dokončení p=x^2+2y^2. 2. Determinant, ternární kladné formy, mříž přiřazená kvadratické formě

2. 10. 1. úvod, základní definice, matice přiřazená kvadratické formě, ekvivalence forem, charakterizace prvočísel tvaru x^2+2y^2 počítáním v Z[sqrt -2]

Cvičné příklady

Anotace

Zima: Kvadratické formy s celočíselnými koeficienty tvoří centrální část teorie čísel - například studium toho, která prvočísla jdou vyjádřit ve tvaru x^2+ny^2, vedlo postupně k rozvoji řady klíčových nástrojů algebraické teorie čísel, od studia číselných těles až po teorii třídových těles a modulárních forem. Cílem přednášky je vyložit základy aritmetické teorie kvadratických forem, zejména s ohledem na otázky týkající se reprezentace celých čísel včetně využití teorie třídových těles.

Léto: Teorie třídových těles, která výrazným způsobem zobecňuje zákon kvadratické reciprocity, tvoří základ pro řadu pokročilejších oblastí teorie čísel včetně Langlandsova programu. V zásadě v ní jde o popis abelovských rozšíření číselných těles a p-adických čísel. Během přednášky vyložíme hlavní tvrzení této teorie pro globální nebo lokální tělesa včetně hlavních nástrojů pro jejich důkazy a různých aplikací, zejména na strukturu číselných těles a kvadratických forem. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu posluchačů.

Literatura

Leonard Eugene Dickson, Modern Elementary Theory of Numbers, Chicago, 1939.

David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989. djvu

Manjul Bhargava, On the Conway-Schneeberger fifteen theorem, Contemp. Math. 272, 27 - 37.

James A. Milne, Class Field Theory, online.

Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.

J.-P. Serre, A course in arithmetic

W. K. Chan, Arithmetic of quadratic forms

Má přednáška z roku 2015 na podobné téma.

Osorno volcano, Chile