se, solo se, se E solo se

CONDIZIONE SUFFICIENTE, NECESSARIA, NECESSARIA E SUFFICIENTE

Nel linguaggio comune e nel linguaggio matematico, troviamo il condizionale diretto, inverso e il bicondizionale formulati legando antecedente e conseguente tramite i connettivi, rispettivamente, SE, SOLO SE , SE E SOLO SE; si parla di condizione sufficiente, necessaria, necessaria e sufficiente.

La condizione sufficiente, condizionale diretto, SE, è stata ampiamente trattata.

CONDIZIONE NECESSARIA, CONDIZIONALE INVERSO, SOLO SE

Dato il condizionale p->q si dice condizionale inverso il condizionale:

q->p, che si ottiene scambiando l'antecedente con il conseguente.

"q->p" si può leggere: solo se p allora q. Si dice che p è condizione necessaria per q

Se il condizionale p->q e' vero, non e' detto che lo sia anche il condizionale inverso: ad es. l'affermazione: "se abito a Firenze allora abito in Toscana" e' vera, ma l'inversa :"se abito in Toscana allora abito a Firenze" e' falsa.

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE; BICONDIZIONALE: SE E SOLO SE

Esistono casi in cui il condizionale diretto ed inverso sono entrambi veri.

L'affermazione: se un numero e' pari allora e' divisibile per due" e' vera.

L'inverso: "se un numero e' divisibile per due allora e' pari" e' ancora vero.

Questi casi sono rappresentati dalla forma bicondizionale.

L'enunciato: “condizione necessaria perché A si verifichi è che B si verifichi” è come “se A si verifica allora B si verifica” cioè A “vera” implica B “vera”.

ES. "Devi pagare se vuoi entrare".

AVVERBIO SOLO

ES. "La pasta Bazilla è prodotta con farina integrale". Si vuole passare l’idea che è prodottia solo con farina integrale

ES "Da un indagine su un prodotto dimagrante, risulta che il 95% delle persone che lo ha utilizzato ha perso 5 chili in due mesi."

In quei due mesi le persone hanno usato solo il prodotto dimagrante? O hanno anche fatto una lunga passeggiata tutti i giorni?

ES "Chi è giovane veste xxx". (che in generale è falso). Di fatto si vuole trasmettere l’idea che “chi veste xxx è giovane”, cioè: Solo chi è giovane veste xxx

Data una proposizione condizionale A → B, detta proposizione diretta,

• se si scambiano tra loro antecedente e conseguente si ottiene la proposizione inversa B → A;
• se si negano antecedente e conseguente si ottiene la proposizione contraria ¬A → ¬B;
• invertendo la contraria, si ottiene la proposizione contronominale ¬B → ¬A.

Verificare che:

(a) se è vera la proposizione diretta è vera la contronominale e, viceversa, se è vera la contronominale è vera la diretta.

(b) se è vera la proposizione inversa è vera la contraria e, viceversa, se è vera la contraria è vera l’inversa.

(c) se è vera la diretta non è detto che sia vera l’inversa.

ES

Data l’implicazione : "Se 36 è un numero pari, allora 36 è divisibile per 2" determina:

la sua implicazione contraria,

la sua implicazione inversa,

la sua implicazione contronominale.

SOL

Contraria -p →-q "Se 36 non è un numero pari, allora 36 non è divisibile per 2"

Inversa q→p "Se 36 è divisibile per 2, allora 36 è un numero pari"

Contronominale -q→-p "Se 36 non è divisibile per 2, allora 36 non è un numero pari"

ES.

V, V, V

ES. "La mancia sarà pagata solo se il servizio è di qualità." (5)

Rappresentiamo:

• “la mancia sarà pagata” con q
• “il servizio è di qualità” con p.

p->q. L’affermazione si può riformulare con “condizione necessaria perchè la mancia venga pagata è che il servizio sia di qualità”. In altri termini, se viene pagata la mancia, ciò significa che il servizio è stato di qualità (altrimenti niente mancia).

La formula q→p rappresenta l’enunciato “se la mancia sarà pagata allora il servizio è di qualità”, o, in altri termini “condizione sufficiente perchè la mancia venga pagata è che il servizio sia di qualità”. Cioè l’implicazione è nel senso inverso rispetto a quello iniziale: affermando che la mancia sarà pagata solo se il servizio è di qualità non si afferma che il servizio di qualità garantisce il pagamento della mancia.

ES. "condizione necessaria per vivere (q) e' respirare (p)". Con ciò si intende affermare che:

• "e' necessario respirare (p) per vivere (q)" : q->p
• "se viviamo (q) allora respiriamo (p)"
• "se non respiriamo allora non possiamo vivere" (q->p = -p->-q )

ES. "condizione necessaria e sufficiente perche' un triangolo sia isoscele e' che abbia due angoli uguali."

Un triangolo:

• p= " è isoscele"
• q= "ha due angoli uguali"
• "condizione necessaria perche' un triangolo sia isoscele e' che abbia due angoli uguali": p->q
• Solo se un triangolo ha due angoli uguali e' isoscele ( avere due angoli uguali è condizione necessaria);
• "condizione sufficiente perche' un triangolo sia isoscele e' che abbia due angoli uguali" : q->p
• se un triangolo e' isoscele ha due angoli uguali (avere due angoli uguali è condizione sufficiente).

Scopriamo cosi' che tale modo di esprimersi equivale ad all'affermazione: un triangolo e' isoscele se e solo se ha due angoli uguali e quindi ci esprimiamo mediante una forma bicondizionale.

ES.

"Solo se fai ginnastica sei atletico" e "Fare ginnastica è condizione sufficiente per essere atletico".

Date per vere le due precedenti affermazioni, quale delle seguenti è falsa?

a)Fare ginnastica è condizione necessaria per essere atletico.

b)Fare ginnastica è condizione sufficiente per essere atletico.

c) Se non sei atletico, significa che non fai ginnastica.

d)Se sei atletico significa che fai ginnastica.

e)Fare ginnastica è condizione necessaria ma non sufficiente per essere atletico.

Si assume:"fare ginnastica"=p; "essere atletico"=q.

L'enunciato si traduce in:"solo se p allora q" e "p->q". Quindi p è CNS per q. Quindi e) falsa

ES 1. Invalsi 15-D3

Indica se i seguenti enunciati sono veri o falsi

a. Condizione necessaria affinché un quadrilatero abbia le diagonali uguali è che sia un rettangolo

b. Condizione sufficiente affinché un quadrilatero abbia le diagonali uguali è che sia un rettangolo

c. Condizione necessaria e sufficiente affinché un rombo sia un quadrato è che abbia le diagonali uguali

• Un uomo veniva processato per furto. Il pubblico ministero e l’avvocato difensore fecero le seguenti affermazioni. Pubblico Ministero: Se l’imputato è colpevole, allora ebbe un complice. Avvocato difensore: Non è vero! Perchè questa fu la cosa peggiore che l’avvocato difensore potesse dire?

ES. Determinare se i seguenti ragionamenti sono corretti.

1. Se i controllori di volo scioperano, allora prenderò il treno. O scioperano i controllori, oppure scioperano i piloti. Quindi prenderò il treno.
2. Se i controllori di volo scioperano, allora prenderò il treno. Se i piloti scioperano, allora prenderò il treno. O scioperano i controllori, oppure scioperano i piloti. Quindi prenderò il treno.
3. Se ABC è un triangolo equilatero, allora è un poligono regolare. Se ABC è un triangolo isoscele, allora è un poligono regolare. ABC è un triangolo equilatero oppure isoscele. Quindi ABC è un poligono regolare.
4. Se piove Antonio non va a scuola. Se Antonio non va a scuola, la mamma e la maestra si inquietano. Quindi, se piove la maestra si inquieta.
5. Se piove, o prendo l’ombrello o resto a casa. Se resto a casa non mi bagno. Quindi non mi bagno.
6. Se piove, o prendo l’ombrello o resto a casa. Se resto a casa, sono al coperto. Se prendo l’ombrello, sono al coperto. Non mi bagno solo se sono al coperto. Quindi non mi bagno.
7. Se piove, l’erba è bagnata. Non piove. Quindi l’erba è asciutta.
8. Se piove, l’erba è bagnata. L’erba è bagnata. Quindi piove.
9. Se Napoleone fosse tedesco, sarebbe asiatico. Napoleone non è asiatico. Quindi non è tedesco.
10. Se l’investimento di capitali rimane costante, allora cresceranno le spese del governo oppure ci sarà disoccupazione. Se non aumenteranno le spese del governo, allora potranno essere ridotte le tasse. Se le tasse potranno essere ridotte e l’investimento di capitali rimane costante, allora non si avranno fenomeni di disoccupazione. Quindi aumenteranno le spese del governo [3].
11. Se Bianchi non ha incontrato Rossi la notte scorsa, allora o Rossi era l’assassino, oppure Bianchi mente. Se Rossi non era l’assassino, allora Bianchi non ha incontrato Rossi la notte scorsa e il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte. Se il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte, allora o Rossi era l’assassino o Bianchi mente. Quindi Rossi era l’assassino [3].
12. Aggiungere alle ipotesi di (11): Se Bianchi mente, allora Bianchi ha incontrato Rossi la notte scorsa
13. Aggiungere alle ipotesi di (11): Bianchi non mente

ES ?

• "Solo l'olio di pesce contiene Omega 3".
• "Solo gli alimenti che contengono Omega 3 aiutano lo sviluppo del cervello."

Quale conclusione può essere dedotta dalla verità di queste due affermazioni?

1. Tutti gli oli di pesce aiutano lo sviluppo del cervello.
2. Solo ciò che contiene Omega 3 è olio di pesce.
3. Tutto ciò che aiuta lo sviluppo del cervello è olio di pesce.
4. Ci sono oli di pesce che aiutano lo sviluppo del cervello.

Soluzione. Si tratta di due CN ("solo") che riscrivo in termini di proposizioni:

• "l'olio di pesce" (p) è CN per "contenere Omega3" (q): q->p
• "contenere Omega3" (q) è CN per "aiutare il cervello" (s): s->q

1. errata: p->s
2. errata. Il termine solo all'inizio della frase indica una condizione necessaria. Si afferma che q è CN per p.
3. corretta: s->q, q->p e quindi s->p
4. errata: p->s

L'opzione 3 è la risposta corretta. Dalla prima dichiarazione, possiamo concludere: l'olio di pesce => contiene Omega 3. La seconda affermazione ci dice: quello che contiene Omega 3 => aiuta con lo sviluppo del cervello. Se combiniamo le due affermazioni in senso inverso, possiamo vedere: aiuta con lo sviluppo del cervello => contiene Omega 3 => olio di pesce. Così, aiuta con lo sviluppo del cervello => olio di pesce.

ES.

• Antonio è colpevole? E' stato compiuto un furto. Si sa che: `
  • 1. sono implicati tre uomini: Antonio, Biagio, Carlo;
  • 2. i ladri sono fuggiti con un furgone;
  • 3. Carlo non lavora mai senza la complicità di Antonio;
  • 4. Biagio non sa guidare.

SOL

Ragioniamo per ipotesi. A="Antonio è colpevole"; B....

1) A+B+C=1;

3) C -> A

2+4) B -> (A+C) cioè se Biagio è colpevole, dato che non sa guidare, almeno un altro è colpevole.

Quindi se B è colpevole lo è anche A o C; se C è colpevole lo è anche A. Quindi in ogni caso A è colpevole.

ES.

"Solo se sono in motorino indosso il casco".

In base alla precedente affermazione, quale delle seguenti non è necessariamente vera?

a) Se non sono in motorino, non indosso il casco.

b) Se indosso il casco, allora sono in motorino.

c) Condizione necessaria perché io indossi il casco è che io sia in motorino.

d) Solo se indosso il casco, allora sono in motorino.

e) Se qualcuno mi incontra con indosso il casco, allora sono in motorino.

Assumo: "sono in motorino"= p; "indosso il casco"=q; L'enunciato diventa: "Solo se p allora q" che si può esprimere con q->p.

a) -p->-q (7) vera

b) q->p (6) vera

c) CN per q è p (3) vera

d) Solo se q allora p ? risposta corretta

e) q->p (6) vera

ES

Andrea deve scegliere uno dei tanti modi in cui impiegare il giorno seguente. Tra le altre cose pensa:

“se domani mi sveglio col raffreddore vado al cinema" e "solo se piove vado in palestra”.

Il giorno dopo piove ma Andrea non va in palestra. Questa conclusione è:

A impossibile, perché se piove lui deve andare in palestra

B possibile, ma solo se Andrea è raffreddato

C possibile perché la pioggia è una condizione necessaria ma non sufficiente per spingerlo ad andare in palestra

D impossibile perché la pioggia è condizione sufficiente per spingerlo ad andare in palestra

E possibile perché la pioggia è una condizione sufficiente ma non necessaria per spingerlo ad andare in palestra

SOL

L’espressione “solo se” introduce una condizione necessaria: è necessario che piova affinché Andrea vada in palestra. La pioggia è quindi per Andrea una condizione necessaria, ma non sufficiente per spingerlo ad andare in palestra. Sicuramente se non piove lui non va e se è andato è perché piove, ma Andrea può decidere anche di non andare benché piova. La soluzione al quesito è quella proposta, quindi, dall’alternativa C

Si presti attenzione all’alternativa B, il fatto che lui sia raffreddato (condizione sufficiente a spingerlo ad andare al cinema), è solo una delle possibili cause che gli fanno scegliere di non andare in palestra benché piova, ma non l’unica.

ES.

«Se piove e nevica allora si scivola, ma solo se nevica allora si pattina». Se la precedente affermazione è vera, allora è certamente falso che:

1. se non si scivola non è detto che non si pattini
2. se si pattina allora certamente si scivola
3. se non si scivola allora non è detto che non piova
4. se si pattina e piove allora si scivola

È, invece, falsa la 2 (soluzione del quesito): se si pattina sicuramente nevica, ma non essendo certi che contemporaneamente piova, non è detto che certamente si scivoli.

ES

Valutare la verità dei seguenti enunciati in base alla relativa immagine:

SOL

• V, V, V, V, V

ES “Solo se innaffiate ogni giorno, le piante tropicali non muoiono”. In base alla precedente affermazione, quale delle seguenti non è necessariamente vera?

A) Le piante tropicali che non muoiono sono state innaffiate ogni giorno

B) Le piante tropicali che muoiono non sono state innaffiate ogni giorno

C) Se non vengono innaffiate ogni giorno, le piante tropicali muoiono

D) Condizione necessaria perché le piante tropicali non muoiano è che vengano innaffiate ogni giorno

E) Le piante tropicali muoiono oppure sono innaffiate ogni giorno

" innaffiate ogni giorno"=p; "le piante tropicali non muoiono"=q;

a) q->p V

b) -q->-p ?

c)-p->-q V

d)CN per q è p (3) V

e) -q + p = q->p V

Quindi la risposta è b)

ES.

"Per ogni domanda c'è una risposta".

Se questa affermazione è vera, quale tra le successive è sicuramente falsa?

1. C'è una risposta che non è valida per qualsiasi domanda.
2. Se c'è una domanda, allora c'è una risposta.
3. Sam mi ha risposto, anche se non gli ho posto una domanda.
4. Il professore di filosofia ha discusso domande che non hanno risposte
5. Non c'è una domanda oppure c'è una risposta

Soluzione:

L'affermazione iniziale è una implicazione: "se c'è una domanda allora c'è una risposta".

L'opzione 4 è certamente falsa.