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Si tratta di enunciati espressi in modo in modo differente, che non aggiungono nulla di nuovo: dalla verità o falsità di uno si può dedurre la verità o falsità dell'altro. Quindi si parla di inferenze immediate. Si considerano enunciati categorici.
contraddittori
Due enunciati sono contraddittori se non possono essere entrambi veri ed entrambi falsi.
Differiscono per quantità e qualità.
ES.
p= “Tutti i gatti sono grigi”; q= “Alcuni gatti non sono grigi”
Se p è V si deduce che q è F; se p è F si deduce che q è V
Ragionando sul quadrato delle opposizioni è possibile verificare che:
• da un enunciato vero A si può inferire un enunciato falso O, come nell'es. precedente.
• da un enunciato vero I si inferisce un enunciato falso E: Se è vero che”Qualche gatto è grigio”, è falso che “Nessun gatto è grigio”.
ES.
Solo UNA delle seguenti affermazioni è VERA; chi è il campione nel suonare il sassofono?
Marco: “Giorgio suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
Giorgio: “Alessandro suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo”
Alessandro: “Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo”
Matteo: “Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono il campione del gruppo”
John Coltrane :"Io suono il sassofono meglio di tutti, io sono il campione del nostro gruppo”
SOL:
Proviamo a riscrivere le 4 “frasi” nel modo equivalente
- “Giorgio è il campione”
- “Alessandro è il campione”
- “Alessandro non è il campione”
- “Matteo non è il campione”
- "Coltrane è il campione del nostro gruppo”
Abbiamo eliminato il nome di chi pronuncia non essendo significativamente logico: sapere chi pronuncia una data affermazione non è un elemento rilevante per decidere se tale affermazione sia VERA o FALSA.
A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica degli enunciati 2 e 3: sono contraddittori.
Ora, il principio di non contraddizione dice che necessariamente uno deve essere VERO e l’altro FALSO. Poichè solo uno dei 5 enunciati è vero allora il 1°, il 4° e il 5° sono falsi.
Dalla falsità del 4° enunciato “Matteo non è il campione”, segue che Matteo è il campione.
Quindi il 3° deve essere vero e il 2° falso.
Infine il 1° e il 5° sono falsi.
subalterni
Gli enunciati subalterni differiscono per la quantità. Il rapporto tra enunciati subalterni è espresso da un principio generale, detto principio di inclusione:
CIÒ CHE È AFFERMATO DEL TUTTO È AFFERMATO ANCHE DELLA PARTE (dictum de omni, dictum de parte), ovvero:
se tutti gli uomini sono mortali, allora lo sarà anche il singolo uomo.
Il rapporto è descrivibile attraverso 4 regole.
1. Se l’enunciato universale è vero l’enunciato particolare corrispondente è vero.
2. Se l’enunciato universale è falso non è possibile concludere quanto alla falsità o verità dell’enunciato particolare corrispondente.
3. Se l’enunciato particolare è vero non è possibile concludere alla verità o falsità dell’enunciato universale corrispondente.
4. Se l’enunciato particolare è falso, l’enunciato universale corrispondente è falso.
contrari
Gli enunciati contrari sono rappresentati dalle proposizioni universali A ed E, che differiscono per la qualità. Si tratta di una relazione di incompatibilità, ovvero tale che essi NON POSSONO ESSERE ENTRAMBI VERI MA POSSONO ESSERE ENTRAMBI FALSI.
La regola generale può essere scomposta in quattro regole di dettaglio:
1. Se A è vera, allora E è falsa.
2. Se E è vera allora A è falsa.
3. Se A è falsa non c’è conclusione possibile: E può essere o vera o falsa.
4. Se E è falsa, A può essere sia vera che falsa.
ES.
Due delle seguenti affermazioni non possono essere entrambe vere, ma possono essere false. Quali sono queste due affermazioni?
I. Tutte le macchine fanno rumore
II. Alcune macchine sono rumorose
III. Nessuna macchina fa rumore
IV. Alcune macchine non sono rumorose
A) I - II
B) III - IV
C) I - III
D) II - IV
SOL.
La risposta corretta C indica i due enunciati contrari di tipo A ed E
subcontrari
Si dicono subcontrari gli enunciati particolari I e O, che differiscono solo per la qualità. Essi NON POSSONO ESSERE ENTRAMBI FALSI MA POSSONO ESSERE ENTRAMBI VERI.
Anche questa regola può essere scomposta in quattro ulteriori regole:
1. Se l’enunciato I è vero, allora O è indeterminato
2. Se I è falso allora O è vero
3. Se O è vero non c’è conclusione per I
4. Se O è falso, allora I è vero
conversioni
Si scambia il soggetto con il predicato e si ottiene dalla proposizione iniziale, detta convertenda, una nuova proposizione detta conversa simplex.
La conversione è perfettamente valida nel caso delle proposizioni I ed E:
- E: “Nessun uomo è un angelo” equivale a E: “Nessun angelo è un uomo”,
- I: “Alcuni giudici sono donne” equivale a I: ”Alcune donne sono giudici”,
- E: “Nessun realista è un poeta” equivale a E: “Nessun poeta è un realista”
La conversa di E è una proposizione E, e la conversa di I è una proposizione I. In questi due casi convertenda e conversa hanno la stessa quantità e sono quindi logicamente equivalenti.
La conversa simplex di una proposizione A in generale non segue validamente da quella proposizione.
Se “Tutti i gatti sono animali” la conversa “Tutti gli animali sono gatti” non segue dalla proposizione originaria (la convertenda è vera, mentre la conversa è falsa).
D’altro lato, però, qualcosa di simile alla conversione è valido anche per le proposizioni di tipo A. Infatti data A (Tutti gli S sono P), si può inferire Alcuni P sono S.
Per esempio. Se da “Tutti gatti sono animali” si inferisce che “Alcuni gatti sono animali”, allora è possibile convertire quest’ultima in “Alcuni animali sono gatti”.
Il che significa che da “Tutti gli S sono P” si può validamente inferire “Alcuni P sono S”. Questo modello di inferenza, chiamato conversione per accidens (per limitazione) procede interscambiando il termine soggetto e il termine predicato e cambiando la quantità della proposizione da universale a particolare.
La conversa (per limitazione) di A non è dunque A ma I, che non può avere lo stesso significato della sua convertenda, e quindi non è logicamente equivalente ad essa.
La conversione di O non è mai valida. Se “Alcuni animali non sono gatti“ è chiaramente vera, la sua conversa “Alcuni gatti non sono animali” è evidentemente falsa.
TAVOLA DELLE CONVERSIONI
obversione
obversione
A: Tutti gli S sono P E: Nessun S è non-P
E: Nessun S è un P A: Tutti gli S sono non-P
I: Alcuni S sono P O: Alcuni S non sono non-P
O: Alcuni S non sono P O: Alcuni S sono non-P
La proposizione A: “Tutti i lavoratori sono comunisti” ha come sua obversa la proposizione E: “Nessun lavoratore è un non-comunista”. Le due proposizioni sono logicamente equivalenti, perciò ognuna delle due può essere validamente inferita dall’altra.
L’obversione è immediatamente valida quando viene applicata a qualunque proposizione categorica in forma normale.
L’obvertenda E “Nessun politico è sincero” ha come obversa la proposizione A “Tutti i politici sono non-sinceri”.
L’obvertenda I “Alcuni metalli sono conduttori” è una proposizione O “Alcuni metalli non sono non-conduttori”.
L’obvertenda O “Alcune nazioni non sono belligeranti” si obverte in I “Alcune nazioni sono non-belligeranti”.
"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. ????????
contrapposizione
contrapposizione
TAVOLA DELLE CONTRAPPOSIZIONI
A: Tutti gli S sono P: Tutti i non-P sono non-S (conversio simplex)
E: Nessun S è un P O: Alcuni non-P non sono non-S (conversio per accidens)
I: Alcuni S sono P (Contrapposizione non valida)
O: Alcuni S non sono P: Alcuni non-P non sono non-S (conversio simplex)
Per formare la contrapposta si scambiano soggetto e predicato complementandoli.
La contrapposta di A “Tutti i membri del PCI sono votanti” è la proposizione A “Tutti i non-votanti sono non-membri del PCI”. Queste due proposizioni sono logicamente equivalenti. Per questo la contrapposizione è una forma valida di inferenza immediata.
Regola della contrapposizione è:
1. obvertere l’enunciato primitivo; convertirlo; obverterlo di nuovo;
oppure:
2. mutare il soggetto con il predicato negato e il predicato con il soggetto negato, ad eccezione dei casi in cui l’enunciato di partenza sia di tipo E o di tipo I: nel primo caso bisogna cambiare anche la quantità, nel secondo non c’è contrapposta.
La contrapposizione può essere utile quando si lavora con le proposizioni A ed O.
La contrapposta della proposizione O “Alcuni studenti non sono maggiorenni” è la proposizione O “Alcuni non-maggiorenni non sono non-studenti” (le due sono equivalenti, infatti se applichiamo l’obversione a Alcuni S non sono P otteniamo Alcuni S sono non-P, che si converte in Alcuni non-P sono S, la quale si obverte in Alcuni non-P non sono non-S, che è la contrapposta).
Per le proposizioni di tipo I non c’è contrapposta, infatti un proposizione di tipo I (vera): “Alcuni cittadini sono non-sindaci”, ha come sua contrapposta “Alcuni sindaci sono non-cittadini” (che è falsa).
La contrapposta della proposizione E “Nessun S è P” è “Nessun non-P è non-S”, che in generale non segue validamente dall’originale, se infatti E “Nessun lottatore è gracile” è vera, la sua contrapposta “Nessun non-gracile” è un non-lottatore è falsa.
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