La negazione logica corrisponde in insiemistica alla complementazione: se un elemento appartiene all'insieme A non appartiene all'insieme complementare di A e viceversa.
ES. Non è vero che qualsiasi nuvola è bianca = esiste almeno una nuvola che non è bianca
Per negare si possono utilizzare proficuamente le leggi di De Morgan
Tavola della negazione logica:
p
0
1
-p
1
0
In logica formale si scrive:
1) -(-p)=p
2) -(p+q) = (-p)(-q) cioè la negazione di p oppure q equivale alla congiunzione delle negazioni;
3) -(pq) = (-p)+(-q) cioè la negazione della congiunzione è l'alternativa tra le negazioni.
4) -p+(p)=1 cioe' una tautologia (cioè sempre vera); "Non sei bella oppure sei bella": enunciato vero!
5) -p(p)=0 cioe' una contraddizione (cioè sempre falsa). "Non sei bella e sei bella": enunciato falso!
I seguenti es. si possono "visualizzare" bene con l'insiemistica. Affermare che "tutti i gatti sono mammiferi", equivale ad affermare che "non vi e' alcun gatto che non lo sia". L'insieme dei gatti è all'interno dell'insieme dei mammiferi. Immaginiamo un gatto all'esterno dell'insieme dei mammiferi cioè "che non lo sia": impossibile, "non vi è"!
Se nella casa citata dall'esercizio ci sono «almeno due porte», vuol dire che le porte sono come minimo due, ma non è possibile sapere se ve ne siano invece tre o più di tre. Poiché il quesito chiede quale alternativa rappresenta la negazione dell'affermazione «esiste una chiave che apre tutte le porte di casa, ma non la porta della cantina», dobbiamo ragionare sulle due porte la cui esistenza è certa. Dunque, la chiave citata non apre la porta della cantina, ma apre certamente l'altra. Per negare questa affermazione, basta negare indifferentemente una delle due parti di cui è composta, come fa correttamente l'alternativa A, e non solamente una di esse, come invece accade nella B. La C, la D e la E confermano (al posto di negare) che la chiave che apre la cantina non apre anche l'altra porta.
ES
Mario afferma: "Ogni volta che sono uscito con l'ombrello non è piovuto". Sappiamo che Mario ha esagerato nel fare questa affermazione e che quindi ha detto una cosa falsa. La negazione è quindi vera. Quale delle seguenti frasi è la negazione della frase detta da Mario?
A) "Ogni volta che sono uscito con l'ombrello è piovuto"
B) "Nessuna volta in cui sono uscito con l'ombrello è piovuto"
C) "Ogni volta che sono uscito con l'ombrello c'era il sole"
D) "Almeno una volta sono uscito con l'ombrello ed è piovuto"
E) "Quando non piove esco con l'ombrello"
"Ieri non ho fatto colazione e sono andato a scuola, mentre l'altro ieri ho fatto colazione e sono andato a scuola".
Quali delle seguenti frasi posso pronunciare senza essere bugiardo?
A. Quando faccio colazione non vado mai a scuola
B. Tutte le volte che vado a scuola non faccio colazione
C. Ogni volta che vado a scuola faccio colazione
D. Talvolta vado a scuola senza fare colazione
E. Quando non faccio colazione non vado mai a scuola.
Soluzione: Talvolta vado a scuola senza fare colazione
ES.
la negazione di “ Antonio è alto “ non è “ Antonio è basso “ma“ Antonio non è alto “
la negazione di “ Nego l’impossibilità di andare su Giove “ è “ su Giove non si può andare “
la negazione di “ non esco mai “ non è “ esco sempre “ ma “ A volte esco
ES
La seguente proposizione “ in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti promossi “ diventa falsa quando:
A) in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti bocciati
B) in ogni scuola c’è almeno un bocciato in tutte le classi
C) c’è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in ogni classe
D) c’è almeno una scuola che ha dei promossi in ogni classe
E) c’è almeno una scuola in cui c’è una classe che ha almeno un bocciato
Risolviamo per passaggi successivi:
Non ( in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti promossi) =
c’è almeno una scuola in cui non (c’è almeno una classe in cui sono tutti promossi )=
c’è almeno una scuola in cui ogni classe non ( sono tutti promossi ) =
c’è almeno una scuola in cui in ogni classe c’è almeno un bocciato (C)
L’affermazione:
Non c’è grattacielo senza ascensore
significa
A. nessun grattacielo ha due ascensori
B. ogni grattacielo ha almeno un ascensore
C. ogni grattacielo ha due ascensori
D. qualche grattacielo non ha ascensore
E. qualche grattacielo ha almeno un ascensore
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ES. 1
“Non è indimostrabile che non bere birra può far bene alla vista”.
La precedente affermazione equivale a:
ES. 2
L’affermazione: “A nessuno studente sono antipatici tutti i professori” equivale a dire che:
A. Scelto un qualsiasi studente, c’è almeno un professore che gli è simpatico
B. Tutti i professori sono simpatici agli studenti
C. Esiste uno studente a cui sono antipatici tutti i professori
D. C’è un professore che è simpatico a tutti gli studenti
E. A qualche studente sono simpatici tutti i professori
ES. 3
C’è una casa con almeno due porte; si consideri l’affermazione:
Esiste una chiave che apre tutte le porte di casa, ma non la porta della cantina.
Indicare quale tra le seguenti frasi costituisce la negazione dell’affermazione riportata sopra.
A) Per ogni chiave, o esiste una porta che non è quella della cantina che non viene aperta da quella chiave, oppure quella chiave apre la porta della cantina
B) Esiste una chiave che apre tutte le porte di casa, compresa quella della cantina
C) Esiste una chiave che non apre nessuna porta, se non quella della cantina
D) Nessuna chiave apre tutte le porte
E) Per ogni chiave, esiste una porta che non è quella della cantina che viene aperta da quella chiave
ES. 4
Non è impossibile che non esista una persona che non abbia negato di aver trovato il segreto per ottenere la vita eterna.
Basandosi sulla precedente affermazione, individuare quale delle seguenti alternative è esatta:
ES. 5
Premettendo che:
Nego di negare la mia contrarietà alla colpevolezza di quell'uomo.
Nello stesso tempo, nego il mio disaccordo con coloro che negano un errore nella sentenza di colpevolezza.
Dunque:
a. Credo nella colpevolezza di quell'uomo
b. Credo nell'innocenza di quell'uomo
c. Le due affermazioni sono contraddittorie
d. L'uomo è colpevole ma la sentenza è ingiusta
d. l'uomo è innocente e la sentenza è giusta
ES. 6
Negare che "ogni uomo ha un nemico" equivale a dire che:
A) tutti sono nemici di ogni uomo
B) esistono uomini senza nemici
C) ogni uomo non ha un nemico
D) nessun uomo ha un nemico
E) tutti gli uomini non hanno nemici