implicazione

Consideriamo il terzo caso. Se il libro e' di matematica ma non tratta di logica allora non lo prendiamo perchè contraddice la richiesta.

Il quarto caso è banale: se il libro e' di matematica e tratta di logica verrà preso.

Le prime due righe della tabella rappresentano la condizione che se il libro non è di matematica non è significativo se tratta di logica o no: quindi tutti i libri che non sono di matematica si possono prendere.

Quindi il condizionale e' falso solo nel caso in cui l'antecedente e' vero e il conseguente e' falso. In ogni altro caso il condizionale e' vero.

ES. "Se piove vado al cinema". In quali condizioni dico la verità?

• se piove e vado al cinema ho detto la verità
• se piove e non vado al cinema ho mentito.
• se non piove potrei o non andare al cinema; in entrambi i casi non ho detto il falso. Quindi ho detto la verità e la tabella è confermata.

ASPETTO CONSEQUENZIALE

La forma “p -> q” è assunta vera o falsa: bisogna dedurne le conseguenze sulle singole proposizioni "p" e "q"

ES. "Se piove allora ci sono le nuvole"; p = "piove"; q= "presenza delle nuvole";. L'affermazione è certamente vera.

• Cosa consegue dal fatto che “p -> q” è vera?
  • se p è vera allora q è vera; infatti se è vero che piove è anche vero che ci sono le nuvole
  • se p è falsa nulla si può concludere su q; infatti se non piove potrebbero o non esserci le nuvole
  • se q è vera nulla si può concludere su p; infatti se ci sono le nuvole potrebbe o non piovere
  • se q è falsa allora p è falsa; infatti se non ci sono le nuvole sicuramente non piove
• Cosa consegue dal fatto che “p -> q” è falsa? p è vera e q è falsa.

AMBIGUITA'

Il condizionale "se p allora q" nell'uso comune coincide con l'implicazione logica descritta dalla tabella precedente?

ES. "Se ho tanti soldi sono felice". In quali condizioni dico la verità?

ES.

"Tutti quelli che hanno due figli hanno diritto ai buoni libro gratuiti".

Supponiamo che Marco abbia tre figli. Marco avrebbe diritto ad avere i buoni libro gratuiti?

Tutti diremmo di sì. Se qualcuno poi ci chiedesse perché Marco ha avuto i buoni, gli risponderemmo “Perché Marco ha due figli [infatti ne ha ben tre], e quindi gode dei benefici previsti dalla norma”. In altri termini, tutti leggiamo “avere due figli” nell ’antecedente come “avere almeno due figli” (e non come “avere esattamente due figli”). Cioè, quando diciamo che Marco ha avuto i buoni libro perché ha due figli intendiamo che ne ha almeno due.

ES. "Se Roma è una capitale allora i gatti sono mammiferi". Secondo la tavola di verità l'enunciato è vero perchè entrambi i sottoenunciati, p e q, sono veri. Ma che senso ha nell'uso comune?

ES: "Se 2 = 1 allora domani piove". Dato che l'antecedente è falso concludo che è vera

ES "Se hai fame, c’è del prosciutto in frigorifero. E’ un’implicazione? No! Tuttavia ... Se hai fame, allora guarda nel frigorifero. C’è del prosciutto

Ha poco senso perchè il condizionale usato comunemente non è vero-funzionale (contrariamente all'implicazione logica) in quanto dipende, oltre che dalla verità di p e q, dalla connessione tra p e q: il ragionamento comune segue anche regole di pragmatica oltre che di sintassi e semantica.

Più in generale esiste una differenza sostanziale tra inferenze logiche e ragionamento ordinario. Proponendo a svariati soggetti quesiti di tipo logico la percentuale delle risposte corrette è sostanzialmente indipendente da provenienza culturale, livello di scolarità, fattori sociali, ecc

Si provi a pensare che da una premessa falsa può discendere qualsiasi cosa, perché cade, appunto, la base di partenza sulla quale si fonda la deduzione. In realtà, le tavole di verità diventano facilmente inutilizzabili appena si esce dal dominio della logica proposizionale e si entra in quello della logica dei termini.

Allora perché si traduce l'implicazione logica "→" con "se ... allora ..."?

Due considerazioni per una risposta non semplice:

• "→" è l'unico connettivo in logica formale che più si avvicina al significato di "se ... allora ...", quindi questo è il meglio che possiamo fare in un semplice sistema logico.
• La tabella di verità logica impone vincoli inderogabili:
• p→p deve essere vero in ogni caso (1° e 4° riga della tabella VV→V; FF→V)
• VF→F è dovuto
• FV→V ; in caso contrario p→q coinciderebbe con q→p

ES

"Non è il caso che se Tom è un filosofo, allora Tom è intelligente."

Esprimere l'enunciato in altri termini.

In simboli l'enunciato si rappresenta con "~ (P → Q)" in quanto "Non è il caso che" è semplicemente una negazione.

Svolgendo la tabella di verità si dimostra che coincide con P*~Q.

Quindi: "Tom è un filosofo e Tom non è intelligente"

ES. Si dispone di 4 numeri che possono essere positivi o negativi, pari o dispari. Sappiamo che:

• il primo numero è positivo
• il secondo è negativo
• il terzo è pari
• il quarto è dispari
• Vale la regola logica: "Se il numero è positivo allora è pari".

Quali numeri bisogna controllare per verificare se la regola è corretta?.

ES. TEST DI WASON

Si consideri un mazzo di carte francesi da scala quaranta, in cui ogni carta ha sul retro un valore numerico (che quindi può essere pari oppure dispari), e ha il dorso rosso oppure blu. Si afferma che: "Se il dorso è rosso allora la carta è pari":

Quali di queste quattro carte è rilevante voltare per stabilire la verità o la falsità dell'enunciato?

• Quasi tutti i soggetti rispondono (correttamente) che è rilevante voltare a): se infatti a) avesse un valore dispari sul retro, (*) risulterebbe falsa.
• Molti soggetti rispondono sbagliando che è rilevante voltare anche c). Questo è un errore perché c) non darebbe nessuna informazione sulla verità o meno di (*): qualunque fosse il colore del suo dorso, sarebbe compatibile con quanto affermato in (*).
• Pochissimi soggetti infine rispondono, come dovrebbero, che si dovrebbe voltare d). Se infatti d) avesse il dorso rosso, ciò sarebbe in contraddizione con (*).
• Ricapitolando: la risposta giusta è che si devono voltare a) e d), e nient’altro.

Quasi tutti i soggetti rispondono che è rilevante voltare a), ma pochissimi che si dovrebbe voltare anche d). Molti rispondono invece che si dovrebbe voltare c).

Di questa tipologia di quesito ci sono diverse varianti; in modo formale si tratta di:

• un enunciato condizionale "se A allora B"
• quattro casi del tipo: A, non A, B, non B
• bisogna scegliere due casi da verificare per stabilire la falsità o verità dell'enunciato.

Si verifica che la percentuale delle risposte corrette si riduce drasticamente più aumenta l'astrazione; ad es. il problema successivo è della stessa tipologia del precedente ma è più semplice da risolvere perchè è meno astratto.

Se gli esseri umani ragionassero sulla base di regole formali, le risposte dovrebbero essere uguali.

Ne segue quindi che il ragionamento ordinario è in qualche modo sensibile al contenuto.

ES.

Immaginare di essere le autorità preposte a far rispettare la norma seguente: " I minorenni non possono comprare tabacco (ossia: se una persona è minorenne, allora non può comprare tabacco". Dati i quattro casi seguenti:

a) Pietro ha 15 anni

b) Carla ha 36 anni

c) Giorgio compra liquirizia

d) Anna compra sigari

Quali persone devono essere controllate?

La risposta corretta è intuitiva, e la maggior parte dei soggetti la fornisce senza esitazioni: i casi pertinenti sono a) e d), mentre b) e c) non sono di alcuna rilevanza

Forme equivalenti del condizionale

La forma condizionale ha diverse forme equivalenti molto importanti.

Osservando la tabella, che si può ricavare con le regole dell'algebra di Boole, si deduce che:

• p->q = -p+q
• -(p->q) = p(-q)
• p->q = (-q)->-p contronominale ottenuto invertendo il verso dell'implicazione e negando le proposizioni p e q

Quindi:

• "se corro allora sudo" = "non corro oppure sudo"
• "se mangio allora mi sazio " = "non mangio oppure mi sazio"
• non è vero che "se corro allora sudo" = " corro e non sudo"
• non è vero che "se mangio allora mi sazio " = "mangio e non mi sazio"
• "Se abito in Sicilia allora abito in Italia" = "Se non abito in Italia allora non abito in Sicilia"

Quanto appena visto rappresenta un ottimo esempio di come il linguaggio formale (matematico) consente di passare da una espressione ad un'altra molto più semplicemente del linguaggio comune, perchè la sintassi è univocamente definita, semplice e leggera, essendo libera dal "peso" del significato dei simboli.

ES.

Se io ho ragione, tu hai torto; se tu hai ragione io ho torto. Quindi uno di noi ha ragione. Corretto o no? Perchè?

Es. Se è vero che «chi disprezza compra; chi loda vuol lasciare» sarà necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

A. chi disprezza, non vuol lasciare

B. chi vuol comprare, loda

C. chi vuol lasciare, disprezza

D. chi non vuol comprare, disprezza

E. chi disprezza, vuol lasciare

Posto: p=disprezzare, q=comprare; lodare=-p; lasciare=-q

L'enunciato si traduce nella congiunzione tra due condizionali: (p->q)( -p->-q). Dato che -p->-q = q->p si deduce che

(p->q)( -p->-q) = (p->q) (q->p): si tratta di una condizione necessaria e sufficiente.

A. p->q vera

B. q-> -p ?

C. -q->p ?

D. q-> p ?

ES. Carlo, Sergio e Mario gareggiano su una distanza di 100 metri. Si suppongano vere le seguenti affermazioni: “Se Carlo ha vinto la gara allora (Mario è arrivato secondo o Sergio è arrivato terzo)”. “Sergio non è arrivato terzo”. “Se Mario non è arrivato secondo, allora Sergio non ha vinto la gara”. Quali dei seguenti ordini di arrivo (dal primo al terzo) sono compatibili con le precedenti affermazioni?

1. Carlo, Sergio, Mario
2. Mario, Carlo, Sergio
3. Carlo, Mario, Sergio
4. Sergio, Carlo, Mario
5. Mario, Sergio, Carlo

SOL

5

2. Supponiamo di disporre di un file fornitori. I campi di ogni record siano: nome, città, volume di vendite, eta'. Vogliamo selezionare i fornitori tali che: Il fornitore abita a Firenze oppure se ha un volume superiore a 2000 unita' allora ha 30 anni.

Indichiamo con:

p=il fornitore abita a firenze;

q=il fornitore ha un volume di vendite superiore a 2000 unita';

r=il fornitore ha 30 anni.

Possiamo scrivere la richiesta nella forma seguente: p+(q->r)=p+(-q+r). che tradotta in linguaggio informatico diventa:

p or (not q or r)

E' necessario quindi che lo studente prenda dimestichezza con le proprietà delle operazioni logiche e con le forme equivalenti.

ES.

Ipotesi:

• Mario è architetto oppure è geometra.

• Se Mario fosse architetto, allora Mario sarebbe laureato.

• Mario non è laureato.

Tesi: Mario è geometra.

ES.

L’affermazione “quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco” implica che:

A) se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo

B) non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo

C) a volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo

D) se mi si gonfia lo stomaco vuol dire che ho bevuto troppo

E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco

ES.

Da “Chi dorme non piglia pesci” segue logicamente:

A) chi piglia pesci non dorme

B) chi non piglia pesci non dorme

C) chi non piglia pesci dorme

D) chi piglia pesci dorme

E) Nessuna delle altre alternative proposte

Es.

Nel diario del giovane Telesforo è scritto: “Nonno Ubaldo dice che quando era giovane ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto e che riusciva a battere in velocità le balene. Secondo me questa è una bugia.”

Si dica cosa si può correttamente dedurre dalla convinzione di Telesforo.

A) Se Nonno Ubaldo riusciva a battere in velocità le balene allora non ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto

B) A Nonno Ubaldo non piacciono le balene

C) Nonno Ubaldo ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto ma non riusciva a battere in velocità le balene

D) Nonno Ubaldo non ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto ma riusciva comunque a battere in velocità le balene

E) Nonno Ubaldo non ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto e non riusciva a battere in velocità le balene

SOL

"ha traversato l’oceano Atlantico a nuoto"=q

"riusciva a battere in velocità le balene"=p

Telesforo ritiene vero -(p*q)

A) p->-q = -p + -q = -(p*q)

ES ??

ES

1.“Se non avessi avuto talento, non saresti diventato artista. Ma sei diventato artista, quindi……”.....“hai talento”.

2. Se non avessi avuto talento saresti diventato artista. Non sei un artista, quindi hai talento.

3. Se avessi avuto talento non saresti diventato artista. Sei un artista, quindi non hai talento.

4. Se avessi avuto talento saresti diventato artista. Non sei un artista, quindi non hai talento.

5.“Se non avessi avuto talento, non saresti diventato artista. Ma hai talento, quindi……” ... “nulla si può concludere” e non “sei diventato artista” come sembra lecito.

Formalizza in un linguaggio enunciativo.

Poni gli enunciati atomici fra parentesi;

1. Paghero’ il conto se ottengo un prestito; (ottengo un prestito) → (pago il conto)
2. Se `e domenica, i negozi sono chiusi;(‘ `e domenica) → ( i negozi sono chiusi)
3. Verrò alla festa solo se qualcuno mi accompagna;(Verrò alla festa) → (qualcuno mi accompagna)
4. Verrò alla festa purchè non faccia troppo freddo;(verrò alla festa) → ¬ (fa troppo freddo )
5. Tanto gli Italiani quanto gli Spagnoli non sono Slavi;¬(gli Italiani sono Slavi) ∧¬ (gli Spagnoli sono Slavi)
6. Voterò a favore anche se non sono pienamente d’accordo;(Voterò a favore) ∧¬ (sono pienamente d’accordo)
7. Se l’enunciato A segue dalla propria negazione, allora `e vero;(¬A → A) → A
8. Il vincitore `e uno tra Alberto, Bruno e Carlo;(Alberto `e vincitore ) ∨ (Bruno `e vincitore ) ∨ (Carlo `e vincitore )
9. Si accettano pagamenti in contanti o con carta di credito; (si accettano pagamenti in contanti ) ∨ (si accettano pagamenti con carta di credito)

3. L'affermazione "se uso troppo lo smartphone mi viene l'emicrania" implica che:

A) se non mi viene l'emicrania allora non ho usato troppo lo smartphone

B) se ho l'emicrania vuol dire che ho usato troppo lo smartphone

C) a volte capita che non abbia l'emicrania pur avendo usato troppo lo smartphone

D) o uso troppo lo smartphone o mi viene l'emicrania

E) non ho l'emicrania pur avendo usato troppo lo smartphone

ES Indicare il ragionamento logicamente corretto:

1. Socrate dice: “Se io sono colpevole, allora devo essere punito; ma io non sono colpevole, dunque non devo essere punito”.
2. “Se una figura è un quadrato, allora ha quattro lati; ma non è un quadrato, quindi non ha quattro lati”
3. Socrate dice: “Se io sono colpevole, allora devo essere punito; io sono colpevole. Quindi devo essere punito”.
4. “Se Carlo e Piero sono fratelli, allora sono parenti; ma Carlo e Piero non sono fratelli, quindi non sono parenti”
5. Socrate dice: “Se io sono colpevole, allora devo essere punito; devo essere punito. Quindi sono colpevole”

SOL 3.

5) Socrate dice: “Se io sono colpevole, allora devo essere punito; ma io non devo essere punito, dunque non sono colpevole”.

Il ragionamento di Socrate è logicamente corretto.

4) Socrate dice: “Se io sono colpevole, allora devo essere punito; devo essere punito. Quindi sono colpevole”.

Il ragionamento di Socrate non è corretto. Infatti, da “Se Carlo è genovese, allora Carlo è ligure” e “Carlo è ligure” non segue “Carlo è genovese”:

Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che

almeno uno di essi è laureato

se Aldo è laureato, anche Bruno lo è

se Carlo è laureato, anche Aldo lo è

solo uno tra Bruno e Carlo è laureato

Allora si deduce che

A. Aldo e Bruno sono laureati

B. Bruno è laureato

C. Aldo è laureato e Bruno non lo è

D. Carlo è laureato

E. i laureati sono due