Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x² + 9 = 0

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

1Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones de números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = r_α

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

z = 2_60º

z = 2_120º

z = 2_240º

z = 2_300º

z = 2

z = 2_0º

z = −2

z = 2_180º

z = 2i

z = 2_90º

z = −2i

z = 2_270º

Pasar a la forma binómica:

z = 2_120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

r_α = r (cos α + i sen α)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z =1_0º = 1

z =1_180º = −1

z =1_90º = i

z =1_270º = −i

Potencia de número complejo

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

(2_30°)⁴ = 16_120°

Fórmula de Moivre

EJERCICIOS DE NUMEROS COMPLEJOS