Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial
(1.3)
es exacta, pues
Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación /refedo2:eq1 se transforma en
(1.4)
la cual no es exacta.
Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el factor
obtenemos la ecuación diferencial 1.3, la cual es exacta. En tales circunstancias, es razonable preguntarse: ¿ hasta qué punto se puede convertir en exacta una ecuación diferencial que no lo es ?. En otras palabras, si la ecuación
no es exacta, ¿ bajo qué condiciones se puede encontrar una función
con la propiedad de que
sea exacta ?. Cualquier función que actúe de este modo se llama factor integrante. Así,
es un factor integrante de la ecuación 1.4.
Definición [Factor integrante]
Si la ecuación diferencial
(1.5)
no es exacta, pero al multiplicarla por el factor
se convierte en exacta, decimos que
es un factor integrante de la ecuación diferencial.
Ejemplo:
La expresión
es un factor integrante de la ecuación
pues al multiplicarla por
obtenemos la ecuación
La cual es exacta.
El lector puede comprobar que la solución de ésta ecuación es
.
De inmediato, la pregunta que surge es ¿ Cómo se encuentra un factor integrante ?, vamos a tratar de explorar un poco esta cuestióón. Si
es un factor integrante de la ecuacióón1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos que
Aplicando la regla del producto, esto se reduce a la ecuación
(1.6)
Pero despejar
Separando variables obtenemos
(1.7)
, entonces la ecuación 1.6 se reduce a
Separando variables obtenemos
(1.8)
Integrando a ambos lados de la expresióón 1.8 podemos calcular fácilmente el factor integrante.
Este resultado se enuncia en el siguiente teorema.
Teorema
Si
es continuo y depende solamente de , entonces
es continuo y depende solamente de
, entonces
es un factor integrante de la ecuacióón 1.5.
Observación: al multiplicar por el factor integrante
, podemos perder o ganar soluciones.
Es posible enunciar resultados similares al anterior para otros tipos de factores integrantes, el siguiente ejemplo muestra una situación de este tipo.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial
si su factor integrante es de la forma
.
Haga
y calculemos las derivadas parciales de respecto a e
Sustituyendo en la ecuación 1.6 obtenemos que
Separando variables
Como
y , resulta que
Integrando obtenemos que
. Es decir, que el factor integrante es . Al multiplicar por este factor tenemos que la ecuación original se convierte en
la cual es exacta y tiene como solución
Ejemplo:
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
Primero calculamos
Ahora intentamos hallar un factor integrante que dependa únicamente de o de , en este caso encontramos que depende de .
Con lo cual el factor integrante esta dado por
Y al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante obtenemos la ecuación
la cual es exacta y tiene como solución
Ejemplo
Halle los valores de
y de forma tal que sea un factor integrante de la ecuación diferecnial
(1.9)
Si
es un factor integrante entonces al multiplicar la ecuación diferencial (1.9)obtenemos que
es una ecuación exacta, es decir, debe cumplir que
igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
el cual es equivalente a
y tiene como solución
y , con lo cual el factor integrante es y la solución de la ecuación diferencial esta dada por