Factor integrante

Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial

es exacta, pues

Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación /refedo2:eq1 se transforma en

la cual no es exacta.

Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el factor

obtenemos la ecuación diferencial 1.3, la cual es exacta. En tales circunstancias, es razonable preguntarse: ¿ hasta qué punto se puede convertir en exacta una ecuación diferencial que no lo es ?. En otras palabras, si la ecuación

no es exacta, ¿ bajo qué condiciones se puede encontrar una función

con la propiedad de que

sea exacta ?. Cualquier función que actúe de este modo se llama factor integrante. Así,

es un factor integrante de la ecuación 1.4.

Ejemplo:

La expresión

es un factor integrante de la ecuación

pues al multiplicarla por

obtenemos la ecuación

La cual es exacta.

El lector puede comprobar que la solución de ésta ecuación es

.

De inmediato, la pregunta que surge es ¿ Cómo se encuentra un factor integrante ?, vamos a tratar de explorar un poco esta cuestióón. Si

es un factor integrante de la ecuacióón1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos que

Aplicando la regla del producto, esto se reduce a la ecuación

Pero despejar

de la ecuación 1.6, es por lo general más difícil que resolver la ecuación original 1.5. Sin embargo, existen algunas excepciones importantes que podemos estudiar.

Suponga que la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de ; es decir, . En este caso la ecuación 1.6 se reduce a

Separando variables obtenemos

Integrando a ambos lados de la expresión 1.7 podemos calcular fácilmente el factor integrante.

De manera análoga, si la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de

, entonces la ecuación 1.6 se reduce a

Separando variables obtenemos

Integrando a ambos lados de la expresióón 1.8 podemos calcular fácilmente el factor integrante.

Este resultado se enuncia en el siguiente teorema.

Observación: al multiplicar por el factor integrante

, podemos perder o ganar soluciones.

Es posible enunciar resultados similares al anterior para otros tipos de factores integrantes, el siguiente ejemplo muestra una situación de este tipo.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

si su factor integrante es de la forma

y calculemos las derivadas parciales de respecto a e

Sustituyendo en la ecuación 1.6 obtenemos que

Separando variables

Como

y , resulta que

Integrando obtenemos que

. Es decir, que el factor integrante es . Al multiplicar por este factor tenemos que la ecuación original se convierte en

la cual es exacta y tiene como solución

Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación diferencial

Primero calculamos

Ahora intentamos hallar un factor integrante que dependa únicamente de o de , en este caso encontramos que depende de .

Con lo cual el factor integrante esta dado por

Y al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante obtenemos la ecuación

la cual es exacta y tiene como solución

Ejemplo

Halle los valores de

y de forma tal que sea un factor integrante de la ecuación diferecnial

Si

es un factor integrante entonces al multiplicar la ecuación diferencial (1.9)obtenemos que

es una ecuación exacta, es decir, debe cumplir que

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

el cual es equivalente a

y tiene como solución

y , con lo cual el factor integrante es y la solución de la ecuación diferencial esta dada por