EC DIF. Homogeneas

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir como una función exclusiva de y/x:

Una ecuación de la forma

Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:

Y si se verifica la condición pedida:

En particular, haciendo t = 1/x resulta:

Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner:

Que es una ecuación de variables separadas:

Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:

Haciendo el cambio v = y/x tenemos:

Y separando variables para integrar:

Donde para encontrar el valor de los coeficientes indeterminados A y B hacemos:

Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B = -1 y nos queda:

Y tomando antilogaritmos:

Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea. Sea la ecuación diferencial

Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado, n, tomando t = 1/x, resulta:

Si hacemos el cambio v = y/x tenemos:

Y sustituyendo en la expresión anterior:

Que también podemos poner:

Multiplicando ahora todos los términos por el factor:

Resulta, finalmente:

Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos.

El factor integrante se puede expresar en función de x e y; para ello hacemos:

Pero teniendo en cuenta que P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas de grado n, nos queda finalmente:

Cuando se tiene:

El primer término de la ecuación (A) se anula y esta queda en la forma:

En esta expresión, en general, se tiene que x es distinto de 0, por lo que se ha de tener:

Que es la solución general en el caso planteado.