7.7 Fraktali
Šta su fraktali? Fraktali se nalaze u samim temeljima prirode. Zbog svoje samosličnosti odnosno specifike ponavljanja oblika ih možemo videti svugde u prirodi. Matematička definicija glasi: Fraktal je skup tačaka čija je fraktalna dimenzija veća od topološke dimenzije. Temeljno objašnjenje fraktala je dakle samosličnost. Dimenzije fraktala kreću se od odreðenog, poznatog, konačnog ka beskonačnom, dakle jedna dimenzija je konačna odnosno poznata, druga je neograničena.
FractalArt stvara fraktalne slike, nudimo ih tržištu kao jedinstven i specifičan poklon vašim prijateljima, poslovnim partnerima, dragim osobama. Specifičnost fraktala je ta da ih u istoj rezoluciji možemo sačuvati i pri velikim dimenzijama, što znači ako imate lokal, klub, diskoteku, ili jednostavno prazan zid kojeg želite osvežiti dizajnom, onda su fraktali za vas idealno rešenje, dobićete fenomenalne grafike uz more energije. UŽIVAJTE U HAOSU GEOMETRIJE!!!
Svet oko nas i unutar nas zapravo je sastavljen od nekog vida fraktala, a moglo bi se reći i da je metodika našeg razmišljanja fraktalna.
Piše: Milica Tomić
Zašto nam oblaci izgledaju tako mekani, zašto je voda providna, trava zelena, nebo plavo, zašto je sapunica sastavljena od balončića koji su sve sitniji i sitniji i sitniji... Rasplinjuje nam se mašta, budi se intrigantnost, poterani smo na razmišljanje. No, zaboravimo sada na istraživanje, a razmislimo samo o lepoti prirode. Razgledajmo malo tu lepotu. Uzećemo list paprati. On je sastavljen iz mnoštva nekakvih rebara. Posmatrajmo jedno rebro – ono je sastavljeno, opet, od listića u vidu rebara, a oni opet od novih i sve manjih i manjih. To su fraktali.
Pogledajmo sad - brokoli. Njegovo mnoštvo zelenih cvetova sačinjeno je od mnoštva zelenih cvetova koje čini mnoštvo zelenih cvetova i još dublje. To su fraktali u tri dimenzije. Stablo drveta se grana na sve manje i manje grane i grančice. Naš sistem krvnih sudova je sličan drvetu, zatim plućni sistem, pa onda izgled DNK, sapunica, kristalisani med, listovi mnogih biljaka, slika munje, pahuljica, leopardove šare. A šta su zapravo fraktali?
FRAKTALNA DIMENZIJA
Fraktalna dimenzija opisuje izlomljenost, to jest hrapavost objekta. Ona se razlikuje od Euklidske dimenzije. Dok Euklidska dimenzija može biti samo ceo broj, fraktalna dimenzija obuhvata i racionalne brojeve, pa može biti na primer 1,26. Aluminijumska folija je ravan i ima dimenziju 2. Ali kada je zgužvamo i od nje napravimo nešto nalik na hrapavu i rupičastu kuglu, ulubljenu sa svih strana, ona nema dimenziju ni 2 ni 3 nego neki broj između.
Identična slika ove prirodne lepote ustanovljena je u matematici. Preciznu matematičku definiciju dao je matematičar Mandelbrot u sledećem obliku – Fraktali su skupovi tačaka čija je fraktalna dimenzija veća nego topološka dimenzija.
To su, zapravo, objekti koji, kada se uveličaju, sami sebe sadrže. Kada pogledaš jedan njegov deo, on izgleda slično ili potpuno isto kao početni oblik i takođe je sastavljen od istih takvih oblika sve manjih i manjih do u beskonačnost (ili bar dok priroda ne kaže stop deljenju, a za naše oči to je nekada prilično beskonačno).
Sav svet oko nas i unutar nas je zapravo sastavljen od nekog vida fraktala. Mogli bismo reći čak i da je metodika našeg razmišljanja fraktalna! Razmislite o tome.
Još je antički astronom i matematičar Apolonije uvideo da unutar jedne kružnice možemo upisati beskonačno mnogo manjih kružnica koje se dodiruju i time uveo fraktale u matematiku. Kasnije, fraktalna struktura pominje se u 17. veku u Lajbnicovim radovima.
U 19. i početkom 20. veka razni matematičari se bave crtanjem i proučavanjem fraktalnih oblika. Tada su nastale Kohova pahuljica, trougao Serspinskog i tepih Serspinskog, Hilbertova kriva. Tek razvojem kompjutera ova umetnička oblast matematike mogla je da dođe do izražaja.
Benoa Mandelbrot, kojeg smo pomenuli, smatra se ocem fraktala. On im je osim definicije 1975. godine podario i ime – latinski fractus znači razlomljen, slomljen, polomljen. Ovaj sjajni matematičar rođen je 1924. u Varšavi. Danas živi u Americi, član je više akademija nauka i penzionisani profesor na Univerzitetu Jejl.
Koliki je njegov značaj za eru u kojoj živimo govori činjenica da je Mandelbrotov skup najpoznatija slika proizišla iz matematike našeg doba i može se apsolutno smatrati kulturnom ikonom ovog vremena. Zanimljivo je čitati intervjue koje je dao ovakav čovek, a možete ih preuzeti sa sajta http://www.math.yale.edu/mandelbrot.
Danas su fraktali našli iznenađujuće mnogo primena. U nauci nema oblasti gde se ne koriste njihove funkcije za opisivanje prirodnih fenomena. Oni tu gube svoju slikovitost i postaju puko oruđe za, na primer, objašnjavanje funkcije dobijene eksperimentom. U fizici su se tako uvukli gde god je bilo slobodnog mesta.
Koriste se u seizmologiji, biologiji, pa čak su i u medicini postali poželjna alatka. Naši mobilni telefoni imaju antenu koja je u obliku fraktala i zauzima malo mesta, ali obuhvata širok opseg frekvencija. Prisutni su i u grafičkom dizajnu, a sve ih više ima u umetnosti.
Fantastične, nestvarne slike dobijaju se uz pomoć fraktala uglavnom Mandelbrotovog tipa. U grafičkom dizajnu uz njihovu pomoć dobijaju se realistični prizori iz prirode – planine, oblaci, drveće. Ima ih u video igricama, na hipi majicama, maskirnim uniformama. Svako ko želi može da crta ove matematičke smicalice uz pomoć programa Fractal Explorer.
Jedno od ključnih pitanja moderne kosmologije je da li svemir na velikim skalama ima fraktalnu strukturu. Drugim rečima – kada bismo čitav svemir nacrtali na jednom papiru (napravimo mapu svemira), da li bi on imao oblik fraktala ili bi bio gladak – homogen i izotropan.
Naučnici se slažu da svemir ima fraktalnu strukturu na malim udaljenostima – do 5 Mpc. Pitanje je da li na većim udaljenostima on postaje gladak i ako je tako, na kojoj udaljenosti je taj prelazak. To je od velikog značaja jer ukoliko se na velikim skalama otkriju fraktalne strukture, Standardni kosmološki princip da je materija raspoređena homogeno i izotropno, na koji se oslanja većina istraživanja u kosmologiji, morao bi biti izmenjen. Istraživanja daju oprečne rezultate.
U svakodnevnom životu haos je nešto što smatramo neprijatnim. On predstavlja nepredvidivo ponašanje, potpuno otrgnuto od naše kontrole. U nauci, takođe, on se dugo izbegavao. Sistemi u kojima je učestvovalo previše nepoznatih parametara bili su sasvim nerešivi, a ponašanje čestica u njima izgledalo je nasumično, haotično.
Predviđanje vremenskih prilika dugo je bilo nemoguće. Nije bilo dovoljno ni angažovati vojsku pomagača (kompjuteri) da nam reše sisteme. Jednačine haosa su nelinearne, ekstremno osetljive na početne uslove, a uzrok i posledica im nisu samerljivi. Tek kada je u njihovo rešavanje uvedena fraktalna geometrija, na neki način smo uspeli da uđemo u trag ponašanju haotičnih sistema. Uz pomoć fraktalne geometrije haos je determinisan.
Osvrnuli smo se oko sebe, zagledali u sebe, nešto smo kreirali, a nešto je sačinilo nas ili, drugim rečima, zafraktalisali smo se i rasfraktalisali, pa primetimo - fraktali čine nas dok mi činimo njih!
Ili obrnuto.
Zapitajmo se ko je tu stariji.
Jedini zaključak koji možemo da donesemo a da ne utonemo u apatiju vrtloga, u samozadovoljstvo depresije je da ''starost'' ne postoji na relaciji fraktali-mi, već da se jedino može definisati poznajući nadskup i prizivajući ga sa zahvalnošću što učestvujemo u svoj toj lepoti.
KOHOVA PAHULJICA
U matematici se fraktali dobijaju ponavljanjem određene radnje nad funkcijom ili nad geometrijskim objektom. Primer koji daje najslikovitije objašnjenje je Kohova kriva. Algoritam za njeno crtanje je sledeći
nacrtati duž i podeliti je na tri jednaka dela,
srednji deo zameniti dvema dužima iste dužine kao zamenjeni deo,
nad svakim delom novog objekta, a ima četiri dela, ponoviti istu radnju.
e-škola ¤ O projektu ¤ Fraktali ¤ Kochova krivulja ¤ Mandelbrotov skup ¤ Fraktali oko nas ¤ Literatura ¤ Е-Скола ¤ ¤ О пројекту Фрактали ¤ ¤ Коцхова кривуља Манделбротов скуп ¤ Фрактали око нас ¤ ¤ Литература
SVOJSTVO SAMOSLIČNOSTI Својство САМОСЛИЧНОСТИ
Fraktali imaju svojstvo samosličnosti: Фрактали имају Својство самосличности:
Svaka sljedeća od ove tri prikazane slike nastala je povećanjem malog djelića prethodne slike. Свака од Сљедећа Ове Три приказане Слике настала је повећањем Малог Ђелића Претходне слике.
Možda ste ih već negdje vidjeli i pitali se kako nastaju. Можда сте их Већ негдје видјели И питали се како настају. Jesu li uvijek obojeni? Јесу ли Увијек Обојени? Ili ima i crno-bijelih fraktala? Или има и црно-бијелих фрактала?
ITERACIJA – postupak koji se uzastopno ponavlja ИТЕРАЦИЈА - поступак који се узастопно понавља
Fraktalne slike nastaju iteracijom – upornim uzastopnim ponavljanjem nekog računskog iligeometrijskog postupka. Фракталне Слике настају итерацијом - упорним понављањем узастопним НЕКОГ рачунског поступка или геометријског.
Fraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematičkim računom ili geometrijskom konstrukcijom. Фрактали су, дакле, Слике настале поновљеним математичким рачуном или геометријском конструкцијом.
Na slici dolje možete vidjeti kako nastaje Kochova krivulja ili krivulja snježne pahuljice. На слици Доље Можете видјети Како настаје Коцхова кривуља или кривуља сњежне пахуљице. Uzmete ravnu crtuzadane duljine. Узмете равну црту задане дужине. Podijelite dužinu na tri dijela, pa srednji dio zamijenitedvjema jednakim dužinama, koje će jedna s drugom zatvarati kut od 60 0 . Подијелите дужину на три дијела, па средњи дио замијените двјема једнаким дужинама, Које Ће једна с другом затварати кут од 60 0. Isti postupak ponovite još jednom, pa još jednom, i tako dalje, u nedogled. Исти поступак Поновите јос једном, ПА ЈОС ЈЕДНОМ, И тако даље, У недоглед.
Za razliku od poznatih geometrijskih objekata, oni nisu ni 1-dimenzionalne krivulje ni 2-dimenzionalnilikovi, već nešto između. За разлику од познатих геометријских објеката, они Нису ни 1-димензионалне кривуље од 2-димензионални ликови, Већ нешто измедју. Fraktal koji se može prikazatiu ravnini ima dimenziju između 1 i 2. Фрактал који се Приказати Може у равнини има димензију Између 1 и 2.
Kako se određuje dimenzija fraktala Како се одређује Димензија фрактала
Evo nekoliko primjera kako se računa fraktalna dimenzija: Ево Неколико примјера Како се рачуна фрактална димензија:
Pregled teme :
Reč fraktal skovao je Benoit Mandelbrot 1975.od latinskog prideva fractus, što znači razlomljen,slomljen,nepovezan. Teško je dati preciznu definiciju fraktala i fraktalne geometrije. Čak je i sam Mandelbrot (kojeg bismo mogli nazvati ocem fraktalne geometrije,iako su neki takvi objekti bili poznati i puno ranije) bio neodlučan pred tim problemom,pa je za svoju definiciju fraktala,koju je bio ponudio,rekao da izuzima neke objekte koji bi se trebalo zvati fraktali. Ta definicija glasila je: fraktal je skup za koji je Hausdorff-Besicović dimenzija veća od topološke dimenzije. Definicija koja bi bila nešto bolja i preciznija je ona da je fraktal objekt koji ima necelobrojnu fraktalnu (Hausdorff-Besicović) dimenziju. Pre svega,treba naglasiti da je dimenzija jedan od onih entiteta kojima pridajemo intuitivno značenje,kao što su vreme, prostor, masa itd.,zato da bi dali preciznu definiciju fraktalnog objekta,treba prvo precizno definisati dimenziju.
Topološka dimenzija je najbliža intuitivnom ,prirodnom shvatanju: tačka ima topološku dimenziju 0, prava 1, ravan 2, a prostor 3. Precizna definicija glasi: Skup ima topološku dimenziju 0,ako svaka tačka ima proizvoljno malu okolinu čiji rub ne seče skup.
Fraktalna dimenzija je vrednost koja nam daje uvid u to u kojoj meri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi. Postoji mnogo definicija fraktalne dimenzije i ni jedna se ne može smatrati univerzalnom. Fraktalnu dimenziju je najbolje objasniti na primeru Cantor-ovog skupa.
-Cantorov skup-
Taj jednostavni fraktal izum je George Cantor-a ,nemačkog matematičara, osnivača teorije skupova,koji ga je proučavao još 1872. Kako je sa slike očigledno, nastaje primenom jednostavnog algoritma: uzmemo jediničnu pravu,zatim posmatramo skup tačaka na toj pravoj Sk=[0,1], izbacimo tačke intervala [1/3,2/3] iz skupa Sk, potom istu operaciju primenimo na preostala dva odvojena dela prave tj. izbacimo tačke intervala [1/9,2/9] i [7/9,8/9] i tako dalje. Očigledno je da svaka iteracija odreže 1/3 skupa koji je ostao od prethodne iteracije. Dužina skupa u n-toj iteraciji ja tada (2/3)n , ako je početna dužina jedinična,međutim,svejedno i kada n→∞,skup ima beskonačno mnogo elemenata.
Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije. Drugim rečima,to su objekti koji daju jednaki nivo detalja bez obzira na broj iteracija koji koristimo tj. količinu razdeljivosti. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo ,a da se pri svakom novom uvećanju vide neki detalji koji pre uvećanja nisu bili vidljivi i da količina novih detalja uvek bude otprilike jednaka. Oni su (barem približno) samoslični tj. sastoje se od umanjenih verzija samih sebe,ali i suviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom. Laički rečeno,oni su "načičkani" do u beskonačnost. Fraktalne slike nastaju iteracijom – upornim uzastopnim ponavljanjem nekog računskog ili geometrijskog postupka.
Fraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematičkim računom ili geometrijskom konstrukcijom
Osnove
Jedne od najjednostavnijih i najpoznatijih fraktalnih krivih su Kochova kriva i Kochova pahuljica,koje je predstavio švedski matematičar Niels Fabian Helge von Koch (1870.-1924.) 1904.godine.Razlika izmedju krive i pahuljice je u tome što se kod konstrukcije krive počinje sa pravom,a kod pahuljice sa jednakostraničnim trouglom. Topološka dimenzija im je 1,a fraktalna
7.7.1 Фрактали, Хаос
Заступање геометрија у СецондЛифе
Неки коментари о подобности СецондЛифе као начин представљања фракталне геометрије
Фрактал формуларима помоћу Гоогле Земље
Читаоци се охрабрују да допринесу својим налазима.
Фрактална димензија и само сличност
Посебно поље рачунајући софтверски пакет, владара или компас димензија, Лацунарити, Мултифрацтал спектра, Понављање земљишта, Самопомоћ сличност. Примери само сличност у фрактала са примерима из математике и фотографије физичког света.
Време не постоји, тако да није све дешава одједном.
По Гаила Чендлер
Природни Фрактали у Гранд Цанион Натионал Парк
Фрактала и компјутерска графика
Интерфејс часопис
Питам се да ли су фракталне слике не додирује саме структуре нашег мозга. Да ли постоји траг у бескрајно враћа карактер таквих слика које обасјава наша перцепција уметности? Може ли бити да фрактална слика је такве ванредне богатство, да ли је обавезан да резонира са нашим неуронске кола и стимулишу задовољство закључити да сви осећамо Еткинс? ПУ
Пале Блуе Дот из свемира - Земље. "То је овде. То је дом. То смо ми. На то сви волите, сви знате, сви сте икада чули, свако људско биће које је икада било, живели своје животе. Агрегат наше радости и патње, хиљаде сигурни религија, идеологија и економских доктрина, сваки ловац и трагач за храном, сваки херој и кукавица, сваки творац и уништитељ цивилизација, сваки краљ и сељак, сваки млади заљубљени пар, свака мајка и отац , наде дете, проналазач и истраживач, сваки учитељ морала, сваки корумпирани политицар, сваки суперстар, сваки врховни водја, сваки светац и грешник у историји наше врсте живео тамо - на трун прашине суспендоване у СУНБЕАМ Сегана. "Карл
Генерисање шума са различитим законима спектара снаге
Укључујући 1 / ф шум. Фрактална планета и предела: Методе за стварање фрактала планете, пејзажа, и облаци. Укључујући фреквенцију ситхесис и МИДПОИНТ дисплаимент и галерија слика креирана помоћу воксела Свет по Дмитри Лаврова.
Мекинтош основу ИФС Генератор апликација и упутство. Случајни ИФС Галерија.
Опис два фрактал објеката и Повраи рендеринг од Анђело Песце.