Ehrenfest

Paul Ehrenfest (1880-1933) is een Oostenrijkse natuurkundige die later de Nederlandse nationaliteit verkreeg. Ehrenfest is vooral bekend geworden door zijn publikaties over de kinetische gastheorie. De naar Ehrenfest genoemde adiabatenhypothese is van grote betekenis geweest bij de ontwikkeling van de kwantumtheorie. Paulus Ehrenfest werd in 1880 te Wenen geboren. Aan de universiteit waar Ludwig Boltzmann toen doceerde, ging hij theoretische natuurkunde studeren. Door Boltzmann, die zich intensief bezighield met de ontwikkeling van de kinetische gastheorie, werd ook Ehrenfests aandacht sterk op deze problematiek gericht. In 1901 zette hij zijn studie voort in Göttingen. Later maakte Ehrenfest, een goede vriend van Albert Einstein, ook een reis naar Nederland, waar hij een aantal lezingen van Hendrik Lorentz wilde volgen over de elektromagnetische straling. Dit onderwerp was toen zeer actueel geworden, omdat Max Planck er enige opzienbarende artikelen over had gepubliceerd. In 1904 legde Ehrenfest examen af. In hetzelfde jaar trad hij in het huwelijk met de uit Rusland afkomstige Tatjana Afanaseva. In 1912 kreeg Ehrenfest, vrij onverwacht, een aanstelling in Leiden, waarmee hij Lorentz' opvolger werd. In deze periode ontplooide hij zich als een begaafd en stimulerend didacticus, van o.a. Jan Tinbergen. Hij organiseerde het befaamde wekelijkse colloquium, tijdens welke men vele problemen en nieuwe ontwikkelingen uit de fysica besprak. Hiernaast bleef Ehrenfest publiceren. De belangrijkste artikelen, die na 1912 verschenen zijn: de in 1916 gepubliceerde adiabatenhypothese; een onderzoek met V. Trkal over meeratomige gassen en een theorema met betrekking tot de kwantummechanica. Rond 1907 schreef Ehrenfest in samenwerking met zijn vrouw enige artikelen over de statistische mechanica waarin het H-theorema beter werd geformuleerd. De voorgeschiedenis hiervan is als volgt: Boltzmann had in de voorgaande periode gewerkt aan de ontwikkeling van de statistische mechanica, een tak van de natuurkunde waarin men tracht een gas te beschrijven door uit te gaan van de samenstellende deeltjes, de moleculen. In het bijzonder had Boltzmann getracht om gassen te beschrijven die niet in evenwicht zijn, met enerzijds als uitgangspunt de klassieke mechanica (toegepast op de moleculen) en anderzijds met behulp van enige statistische veronderstellingen. Het resultaat van zijn inspanningen staat bekend als het H-theorema, dat het volgende stelt: laat men een gas dat niet in evenwicht is aan zichzelf over, dan bereikt het na verloop van tijd de evenwichtssituatie; dit proces verloopt niet omgekeerd. De geldigheid van dit theorema werd bestreden door Loschmidt en Zermelo. Joseph Loschmidt (1821-1895) beschouwde het proces waarbij een gas zijn evenwichtstoestand nadert. Door na het bereiken van het evenwicht de snelheden van alle moleculen om te keren vindt hetzelfde proces, alleen nu in omgekeerde volgorde, plaats. Hiermee had Loschmidt een situatie geconstrueerd, die wél tot het verlaten van het evenwicht leidde, hetgeen in strijd was met het H-theorema. Een ander bezwaar kwam van Ernst Zermelo (1871-1953). Hij beweerde, met behulp van een stelling van Poincaré, dat bij een geïsoleerd gas elke toestand na voldoende lange tijd weer optreedt. Het gevolg is dat een gas de evenwichtstoestand die volgde op een niet-evenwichtstoestand A, zal verlaten om na voldoende lange tijd weer in de toestand A te komen. Ook dit wordt door het H-theorema tegengesproken. In het door het echtpaar Ehrenfest geschreven artikel: 'Über zwei bekannte Einwände gegen das boltzmannschen H-Theorem' wordt opgemerkt dat, mede op grond van de statistische uitgangspunten van de theorie, het H-theorema zelf een geschikte statistische formulering dient te krijgen. Boltzmann had dit al eerder, zij het niet overtuigend genoeg, benadrukt. In het artikel stelde Ehrenfest een eenvoudig model voor. Bij dit urnmodel kon Ehrenfest toen duidelijk aantonen dat het met een veel grotere waarschijnlijkheid naar het evenwicht toegaat dan het het evenwicht verlaat. De statistische herformulering van het H-theorema wordt hierdoor: 'Het gas gaat met een veel grotere waarschijnlijkheid naar het evenwicht toe dan ervandaan'. Deze herformulering sluit het verlaten van het evenwicht niet uit, maar kent er een minimale waarschijnlijkheid aan toe, waardoor de argumenten van Loschmidt en Zermelo niet meer als bezwarend golden. Na 1911 publiceerde Ehrenfest over de toen actuele kwantumhypothese. Daarin wordt gesteld dat de energie die wordt overgedragen bij wisselwerking tussen materie en elektromagnetische straling, geen willekeurige waarden kan aannemen, maar slechts zeer specifieke discrete waarden. Ehrenfest analyseerde de kwantumhypothese voor een meer algemene klasse van systemen, (nl. periodieke systemen). Tevens onderzocht hij welke van hun eigenschappen voor kwantisatie in aanmerking kwamen. Hij onderzocht hoe bepaalde eigenschappen van zo'n systeem wisselden onder een oneindig langzame (adiabatische) verandering van een of meer variabelen die dat systeem bepalen (zoals bijvoorbeeld het volume). Deze onderzoekingen resulteerden in de adiabatenhypothese van Ehrenfest. Dit principe leert dat dié eigenschappen gekwantiseerd kunnen worden die invariant blijven (dat wil zeggen niet veranderen) onder een adiabatische (zeer langzame) verandering van het systeem. Deze adiabatenhypothese is een fundamenteel principe geworden in de kwantumtheorie. Later werd de zg. moderne kwantummechanica geformuleerd. Hoewel deze theorie essentieel afwijkt van de klassieke mechanica, eiste men toch bepaalde overeenkomsten tussen beide theorieën. In deze zg. correspondentie (dat wil zeggen overeenstemming) heeft ook Ehrenfest zich verdiept. In het bijzonder onderzocht hij de relatie tussen bewegingswetten in de klassieke mechanica en in de kwantummechanica. In de klassieke mechanica geeft zo'n bewegingswet op alle tijdstippen bepaalde waarden voor de plaats en snelheid van bijvoorbeeld een deeltje. In de kwantummechanica zijn dergelijke waarden voor de plaats en snelheid van zo'n deeltje niet meer nauwkeurig te geven. Wel kan men in de kwantummechanica spreken van gemiddelde waarden van plaats en snelheid. Een bewegingswet in de kwantummechanica geeft dan op elk tijdstip de gemiddelde plaats en snelheid van het deeltje. Ehrenfest slaagde erin de relatie tussen de beide typen bewegingswetten aan te tonen door te bewijzen dat de bewegingswetten voor de gemiddelde plaats en snelheid in de kwantummechanica dezelfde vorm hebben als de klassieke bewegingswetten. Dit resultaat staat nu bekend als het theorema van Ehrenfest. Naast de vruchtbare zaken kende het leven van Ehrenfest veel tegenslag.