Radiación negra

RADIACIÓN NEGRA

¿Verdad que es una combinación extraña de palabras? "Radiación negra"...Podía pensarse que no hay nada menos natural. La radiación es luz: solar, lunar, de un foco, de una llama. Lo negro es la ausencia de luz: la noche, "que no se ve nada". Pero dejemos las emociones aparte y juzguemos sensatamente las cosas, como deben hacerlo los científicos.

¿Qué significa pintura: roja, verde, negra? Un cuadro no se ve en la oscuridad, es preciso iluminarlo. Y entonces, los lugares de éste que reflejan los rayos rojos y absorben todos los demás componentes de la luz visible, serán rojos, mientras que los azules serán azules. Pero la luz no se refleja de la pintura negra: la misma se absorbe y "se pierde". Dicha pintura suele hacerse de carbón o grafito. Por cierto, ¿no recuerda usted la historia de la creación de esa misma bombilla que tiene sobre la mesa y que alumbra las páginas del libro? Yo recuerdo una de las etapas. Edison buscó mucho tiempo el material para su espiral y descubrió que el hilo de carbón calentado alumbra bastante bien. ¿Pero deja éste de ser negro al calentarse? No y no, él continúa absorbiendo toda la radiación que incide sobre él, pero ahora emite su propia radiación, la cual precisamente se llama radiación del cuerpo negro o, a menudo, simplemente radiación negra.

Para el físico, un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiación que incide sobre él. Ahora bien, el hecho de que el cuerpo negro brille o no y cómo brilla, depende de su temperatura:

Pero recordemos que la luz no es otra cosa, sino oscilaciones electromagnéticas de longitud de onda desde ~0,4 hasta μm.

Fuera de los límites de esta "ventana" el ojo no percibe la radiación. Sin embargo, ¿qué le importa a la naturaleza nuestro ojo? El cuerpo negro irradia ondas electromagnéticas independientes de si lo observamos o no, de si vemos esa radiación o no estamos en condiciones de verla. Acerquen la mano a una plancha caliente, ésta todavía no emite luz, pero ustedes sienten claramente el flujo de calor. Es la radiación térmica, o sea, aquellas mismas ondas electromagnéticas, pero su longitud de onda es tan grande que el ojo no las puede percibir. Y, estimando que las propiedades de la naturaleza no dependen del hombre, nos vemos obligados a deducir que la radiación siempre existe y que la temperatura del cuerpo determina la composición y la intensidad de dicha radiación. Por consiguiente, la tarea de la ciencia es enlazar tales magnitudes mediante relaciones cuantitativas.

Y ahora nos dedicaremos precisamente a eso, pero empezaremos tanteando el terreno y sin ir derecho al asunto, es decir, comenzaremos por un simple péndulo: un peso suspendido de un hilo de longitud l . Si empujamos el peso, el péndulo comenzará a oscilar con frecuencia

La amplitud de oscilación puede ser diferente, todo depende de cómo ha sido el impulso inicial. Supongamos que el péndulo es ideal, sin rozamiento alguno, de tal manera que sus oscilaciones no se amortiguan. Y ahora comuniquémosle una carga eléctrica. Esta se mueve junto con el péndulo y, por consiguiente, el campo eléctrico creado por él y que depende de la distancia entre el punto de observación y el péndulo, resulta variable en función del tiempo, con la misma frecuencia ω que provoca el cambio de la posición del péndulo. El referido campo electromagnético variable engendra una onda electromagnética que se propaga en el espacio, llevándose consigo la energía de las oscilaciones del péndulo.

Por onda electromagnética se entiende el flujo de cuantos de radiación, la energía de cada uno de los cuales es igual a h ω (recuerden, por lo menos, las leyes del efecto fotoeléctrico). Por eso, es evidente que la porción mínima de energía que puede ceder el péndulo también constituye h ω . Esta no depende de la cantidad de carga eléctrica, de lo cual se puede deducir que, incluso sin carga, el péndulo puede ceder energía solamente en porciones de magnitud h ω . Compárenlo con el átomo: éste puede emitir cuantos de luz de frecuencia determinada, ya que posee niveles discretos de energía. En cuanto al péndulo, ocurre exactamente lo mismo, sólo que la fórmula de los niveles tiene un aspecto más sencillo:

(2.1)

Un poco más tarde diremos de dónde apareció esa mitad, pues para nosotros ella ahora no es importante y se ha escrito para respetar el orden.

Problema 2.

Calcular la amplitud de oscilación y la energía en grados Kelvin, que posee un péndulo con m = 1 g y l = 1 m en estado fundamental, o sea, cuando i = 0 (la energía en grados Kelvin es igual a T = E/k)

Si en esta fórmula sustituimos los parámetros de un péndulo común (por ejemplo, m = 1 gramo y l = 1 metro), podemos ver que ya con una amplitud despreciable de oscilación (digamos, 1 Å), el número i, es astronómicamente grande, por eso la cuantificación no se manifiesta en absoluto, aunque, en principio, existe. Señalemos, por cierto, que cualquier movimiento periódico, ya sea en el mundo normal o en el micromundo, se cuantifica obligatoriamente y siempre obedece la regla siguiente: si el movimiento ocurre con frecuencia ω, la distancia entre los niveles cu ánticos de energía es igual a h ω.

En realidad, cualquier péndulo forma parte de cierto sistema con temperatura T ≠ 0 (puede ser un péndulo más el aire que lo rodea). Y, al igual que el movimiento browniano, ha de producirse el movimiento térmico del péndulo como un todo único. Para calcular la energía de tal movimiento, supongamos que tenemos muchos ( N →∞) péndulos absolutamente idénticos y que no interaccionan entre si. En este caso, de acuerdo con la fórmula de Boltzmann (1.4),

péndulos poseerán una energía E.

Entonces, la energía total del movimiento térmico resultará, evidentemente, igual a

(2.2)

De aquí, para la energía oscilatoria media Ē de un péndulo, obtenemos

(2.3)

La suma del segundo miembro se reduce fácilmente a la forma

(2.4)

Problema 3.

Realicen estos cálculos

Esta fórmula se simplifica considerablemente cuando la frecuencia de oscilación es pequeña, o sea, cuando h ω/ kT « 1. De las matemáticas es sabido que e ^x » 1 + x , cuando x « 1. Teniendo eso en cuenta, después de realizar cálculos sencillos, obtenemos

Ē= kT (2.5)

Problema 4.

Demuestren que cuando x « 1, e ^x » 1+x

Esta es la primera etapa en el camino hacia la radiación negra. ¿No es verdad que es un buen resultado? En general, podíamos haberlo escrito incluso sin realizar cálculos, partiendo de la analogía con el gas ideal: el átomo del gas posee una energía de movimiento de traslación igual 3/2kT . Este se mueve en dirección arbitraria, así que, al movimiento por cada una de las tres direcciones ortogonales del sistema de coordenadas, que, naturalmente, son equivalentes, le corresponde kT/2 . El péndulo no tiene tres direcciones de movimiento, sino sólo una. Por lo tanto, a su energía cinética media le corresponde kT/2 .

En el proceso de oscilación, su energía cinética se transforma periódicamente en energía potencial y viceversa. Además, la energía potencial media también constituye kT/2 . En total resultará kT , como precisamente lo afirma la fórmula (2.5).

Compliquemos nuestro sistema oscilatorio, y en vez de un péndulo tomemos una cuerda. ¿En qué consiste su diferencia principal? En que la cuerda posee muchas oscilaciones diferentes; algunas de ellas se muestran en la figura 2.1. Su característica común es que los extremos fijos siempre permanecen inmóviles. Todas esas oscilaciones se denominan naturales, ya que, independientemente de cómo se tire de la cuerda, en ella sólo surgirán oscilaciones de longitud de onda

λ _i = 2l / i ( i = 1, 2,....) (2.6)

o su combinación. Si designamos por c la velocidad de propagación de la onda a lo largo de la cuerda, las frecuencias naturales de oscilación serán

ω _i = 2π c /λ _i (2.7)

Y cada una de dichas oscilaciones participa en el movimiento térmico, así que cuando h ω _i « kT , su energía media constituye simplemente kT.¿Cuántas, pues, oscilaciones de este tipo hay en el intervalo de frecuencias desde 0 hasta la frecuencia ω que corresponde a la onda de longitud λ « L ?

De la fórmula (2.6) es fácil deducir que el número de tales oscilaciones constituye

n ₁ = l ω/π c (2.8)

Figura 2.1. Posibles oscilaciones propias de una cuerda con los extremos fijos.

Cualesquiera oscilaciones tienen mucho de común. Si en lugar de una cuerda comenzamos a estudiar, por ejemplo, la luz que transita entre dos espejos paralelos, surgirán oscilaciones electromagnéticas naturales, es decir, ondas estacionarias cuya amplitud de campo eléctrico debe ser igual a cero en los límites de los espejos. Y su dependencia respecto a la coordenada será exactamente igual a la de la amplitud de desplazamiento de la cuerda. El número total de oscilaciones en el intervalo de frecuencias de 0 a ω se expresará por la fórmula (2.8).

Al describir la propagación de ondas se introduce una magnitud muy útil, el llamado vector de onda k . Es un vector cuya dirección coincide con la de propagación de onda, y su longitud constituye 2π/λo, de otra forma, ω/c. En el caso de una cuerda, ese vector se halla dirigido a lo largo de ésta, pues otra dirección simplemente no existe. Y para las oscilaciones naturales, k adquiere los valores π/ l , 2π/ l ... n π/ l

Si tomamos una membrana cuadrada, es necesario introducir las coordenadas k _x y k _y . Y cada una de ellas puede adquirir esos mismos valores naturales.

Tracémoslos en el plano k _x , k _y (figura 2.2). Obtendremos una red y la superficie de cada una de las celdas en ella es igual a

s _k = ( π/l) ²

Si establecemos cualquier valor k ≥ π /l , todas las oscilaciones naturales, cuyas frecuencias son menores que ω , caerán en el sector sombreado que tiene una superficie igual a

y en dicho sector habrá

celdas. Pero hemos obtenido precisamente el número total de oscilaciones naturales de la membrana, cuya frecuencia es menor o igual a ω

Figura 2.2 Para el cálculo del número de oscilaciones propias de una membrana (están indicadas con puntos).

Efectúen mentalmente esa misma construcción para el caso tridimensional, o sea, para un cubo, y obtendrán, sin mucho esfuerzo,

(2.10)

donde V = l ³ es simplemente el volumen del cuerpo. Tal escritura es cómoda, ya que n ₃ no depende de la forma del cuerpo. Pueden comprobarlo, por ejemplo, con arreglo a un paralelepípedo rectangular de lados de longitud diferente.

Ahora, ya tenemos todo preparado para estudiar la radiación negra. Solamente falta construir un cuerpo absolutamente negro y comenzar los cálculos. Uno de los modelos probables de un cuerpo negro se muestra en la figura 2.3. Es un orificio pequeño, tras el cual se halla una cavidad cerrada, cuyas paredes reflejan los rayos igual que un espejo.

El rayo que cae en esa cavidad comienza a "peregrinar" dentro de ella, perdiendo poco a poco su energía después de cada reflexión, hasta consumirse totalmente sin salir al exterior. Y esto es precisamente lo que necesitamos, ya que tal hecho significa que la radiación ha sido absorbida por completo.

Ahora recordemos que en el movimiento térmico participa todo lo que puede moverse. Los cuantos de radiación electromagnética, es decir, los fotones, no son una excepción en este sentido. Y así como se excita térmicamente el movimiento de traslación de los átomos de un gas, igualmente deben excitarse las oscilaciones electromagnéticas térmicas. Si su frecuencia es ω, entonces, cuando h ω « kT , la amplitud de oscilación en cada frecuencia natural será tal que su energía media constituya kT. Las ondas electromagnéticas no interaccionan entre si. Por eso, los fotones forman un gas ideal que difiere del ordinario por el hecho de que su número depende de la temperatura.

¿Qué energía térmica posee este gas? Con arreglo a los fotones para los cuales h ω « kT , la misma será simplemente igual a kT multiplicado por su número total, obtenido mediante la fórmula (2.10). Es cierto que para respetar el orden debemos multiplicar n ₃ por dos, ya que la luz tiene dos polarizaciones.

Figura 2.3. Esquema de la estructura de un cuerpo absolutamente negro y recorrido de un rayo en él.

Al deducir la fórmula (2.10) no hemos tomado en consideración dicha circunstancia. Así, obtenemos

(2.11)

Con relación a las magnitudes que es necesario medir, lo más a menudo se utilizan receptores sensibles a las oscilaciones con frecuencias en un intervalo estrecho d ω, cerca de la frecuencia ω dada. Por ejemplo, así están estructurados los radiorreceptores comunes, los televisores y los radiolocalizadores.

Hay que saber cuánta energía dE (ω) de radiación térmica puede captar un receptor de este tipo, o sea, en realidad es necesario hallar la derivada de la expresión (2.11) con respecto a la frecuencia. Por consiguiente, la fórmula requerida adquiere el aspecto siguiente:

(2.12)

Naturalmente que esta fórmula deja de ser válida cuando h ω» kT . En este caso, la energía del movimiento térmico en cada oscilación, según Boltzmann, debe ser igual no a kT sino a

así que

(2.13)

En el año 1900, M. Planck dedujo una fórmula única, válida para cualesquiera energías, y el éxito de la misma, que coincidió magníficamente con el experimento, estimuló el desarrollo impetuoso de la mecánica cuántica. He aquí esa famosa fórmula:

(2.14)

Los aficionados a las matemáticas pueden comprobar que esta fórmula, en condiciones correspondientes, se convierte en las fórmulas (2.12) y (2.13).

Pero la radiación que existe dentro de una cavidad cerrada, es una cosa por sí misma. Por eso, para saber qué es lo que ocurre dentro de esa cavidad, en la pared de nuestro modelo (véase figura 2.3) se ha practicado un orificio pequeño, a través del cual la radiación natural sale al exterior. Si la superficie del orificio es S , entonces, del referido volumen sale, por unidad de tiempo y en dirección normal a la superficie, una radiación igual a Sc (esto es evidente si las dimensiones de la cavidad son infinitas). Por lo tanto, la intensidad de radiación del cuerpo negro constituye

(2.15)

Escribamos esta fórmula de manera algo diferente, adoptando, en calidad de argumento, no ω, sino la magnitud adimensional x = h ω/ kT . Para esto es necesario sustituir, en (2.15), ω por x · kT/h y, claro está, d ωpordx · kT/h . Entonces obtendremos

(2.16)

donde

Así pues, la intensidad de radiación dividida por ( kT ) ⁴ , independientemente de la temperatura, se describe por una misma función de h ω/ kT cuyo aspecto se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4 Variación de la densidad espectral de intensidad de radiación de un cuerpo absolutamente negro, en función de hω/kT dada por la fórmula de M. Planck.

La importancia de la fórmula (2.16) es enorme, ya que ésta constituye la base para medir las altas temperaturas en el plasma y al estudiar las estrellas y el Sol. A base de la radiación negra se mide la temperatura al realizar muchos procesos tecnológicos: fundición de metales, cocción de cerámica, etc.

Con arreglo a la radiación térmica natural se efectuaron mediciones de la temperatura de los planetas y la Luna. ¡Y ésta coincidió perfectamente con las mediciones realizadas directamente por el hombre o mediante estaciones automáticas! Y hace relativamente poco tiempo fuimos testigos de cómo, a base de la radiación negra del espacio cósmico, fue determinada la temperatura de sectores sumamente alejados del Universo, a donde no anhelan penetrar los narradores de fantasías más audaces.