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EL METAL BIDIMENSIONAL PIERDE RESISTENCIA
En un metal surge resistencia a consecuencia de que los propios electrones que portan la carga eléctrica, al chocar con los defectos de la red y con sus oscilaciones térmicas, modifican su estado. Pero en los superconductores, las parejas de electrones no pueden modificar su estado, y por eso, una vez que la corriente aparece, fluye eternamente. Pero la formación de parejas es dictada por las propiedades internas de la sustancia. ¿Y no se podría destruir la resistencia mediante una acción exterior, sin modificar el propio conductor? Mucho tiempo eso parecía poco real, y sólo hace poco se puso de manifiesto el hecho que tal estado del conductor, cuando por él circula corriente sin gastos de energía, puede ser creado por el campo magnético.
En el capítulo anterior ya hemos escrito que los electrones en el campo magnético se mueven de tal manera que dentro de su órbita entre un número entero de cuantos de flujo magnético, y para éstos existen valores discretos de energía
(12.1)
llamados niveles de Landau. Si en esta fórmula se sustituye B = 10 T y m= m e , veremos que la diferencia de energías entre los niveles tiene una magnitud del orden de diez grados Kelvin. ¿No significará eso que electrones en el campo magnético pierden la posibilidad de variar un poco su energía, o sea, que el metal se convierte en dieléctrico?
No, no ocurre nada de particular, y la principal causa de ello es la forma tridimensional de la sustancia: los electrones se mueven no sólo en un plano perpendicular al campo magnético, sino también a lo largo de él. Por lo tanto, la fuerza de Lorentz, cuando v || B , es igual a cero. Por eso, la expresión correcta de los niveles de Landau será no como la proporcionada por la fórmula (12.1), en ella aparecerá el sumando p z 2/2 m (hemos elegido el eje z de tal modo que sea paralelo a B ). Así pues,
(12.2)
y la libertad de movimiento a lo largo de E , transformando las trayectorias circunferenciales en espirales helicoidales, es precisamente lo que salva el metal.
Pero también existen conductores bidimensionales, y uno de los ejemplos ya lo hemos descrito: son los electrones en la superficie del helio (véase el noveno capitulo). Otro ejemplo que nos interesará ahora, es la capa de electrones en la superficie de un semiconductor. Tomemos un cristal de un semiconductor, digamos, de silicio, y apliquemos sobre su superficie una capa delgada de dieléctrico, por ejemplo, de óxido de silicio SiO 2 . Instalemos por encima de ella un electrodo de metal, que llamaremos cierre (figura 12.1).
Figura 12.1. Esquema de la estructura de un transistor a efecto de campo (a) y de la forma de conectarle los electrodos de Hall (b).
Apliquemos ahora diferencia de potencial entre el soporte semiconductor y el cierre, la corriente, por supuesto, no circulará, ya que lo impedirá la barrera dieléctrica. Pero parte de las cargas del volumen del semiconductor se acercarán a la superficie y se acumularán ahí. Su densidad, al igual que para los electrones sobre el helio, se determina por la fórmula (9.14). Pero el óxido de silicio es una sustancia resistente, no pierde su estabilidad y soporta intensidades de campo de cientos de megavoltios por metro. Precisamente por eso es posible reunir en la superficie del semiconductor muchas cargas, de hasta 10 12 a 10 13 por centímetro cuadrado.
No es difícil comprobar que tal capa conductora, conocida con el nombre de canal, surge realmente. Para esto es necesario hacer dos contactos más: uno de ellos se llama fuente, y el otro, sumidero (figura 12.1). Si entre la fuente y el sumidero ahora conectamos tensión, en este circuito circulará corriente eléctrica. Pero mientras la tensión en el cierre constituya U c = 0, en la superficie habrá pocas cargas, la resistencia será grande y la corriente pequeña. Al suministrar al cierre una tensión controlada, la corriente aumentará considerablemente, y cuanto mayor sea U c , más cargas habrá en la capa superficial y tanto mayor será la corriente. Lo que hemos obtenido se denomina transistor a efecto de campo: la corriente a través de él es controlada por la tensión en el cierre.
El transistor a efecto de campo resultó un aparato muy bueno, y una de sus ventajas ante otros aparatos es que puede trabajar a bajas temperaturas. Por lo tanto, puede utilizarse en los amplificadores sometidos a enfriamiento, cuya sensibilidad aumenta gracias a la reducción del ruido térmico (este problema fue analizado en el tercer capitulo). Los científicos empezaron a estudiar con gran interés las propiedades de los transistores a efecto de campo. A ellos les llamaba la atención el hecho que la capa conductora bidimensional de electrones es un metal bidimensional, o sea, que éste conserva su conductividad eléctrica al ser enfriado.
Al igual que para un metal común, en este caso se puede hablar de la energía y el impulso de Fermi. Pero en la capa superficial, el movimiento libre sólo es posible a lo largo de la superficie. Separarse de ésta es imposible, ya que eso lo impide el campo engendrado por la tensión en el cierre. Por consiguiente, si comenzamos, al igual que para un metal, a construir diversos estados a partir de la incertidumbre de impulso, entonces, en dirección perpendicular a la superficie (supongamos que otra vez es la dirección del eje z), el valor del impulso p = hk de todos los electrones debe ser el mismo. Si es así, en las expresiones (10.1) desaparecerá el tercer renglón, y la regla para calcular el número de estados posibles será la misma que para calcular el número de oscilaciones de una membrana (fórmula (2.9)). Teniendo en cuenta el spin, obtenemos
(12.3)
donde n es el número total de electrones, dividido entre la superficie de la muestra bajo el cierre, o sea, la densidad superficial de los electrones, y Sp = π p 2 es el "área" del círculo en el plano de los impulsos p x , p y . Actuando de la misma manera que en el caso de la deducción de las fórmulas (10.3) y (10.4), hallamos
(12.4)
(12.5)
Sustituyamos aquí n e = 10 12 cm -2 y calculemos E F . Además, también debemos tener en cuenta que en los semiconductores (y también en los metales), la masa del electrón se diferencia considerablemente de la masa del electrón libre m e . Eso se explica por el hecho que el primero se mueve no en un espacio vacío, sino que se "cuela" entre los átomos de la red cristalina. Resulta que en el silicio, m » 0,2 m e . Por lo tanto, tenemos que T f = E F /k = 100 K . Así pues, a temperaturas del helio realmente se cumple la relación característica de los metales, T/T F « 1.
Ese metal bidimensional es muy sensible al campo magnético dirigido a lo largo del eje z. Su resistencia oscila, aumentando o disminuyendo, al variar la inducción (figura 12.2). Ahora estableceremos la causa de tal comportamiento.
Figura 12.2. Variación de la resistencia del canal cuando n e = 5 ·10 cm -2, en función de la intensidad del campo magnético (K. von Klitzing. 1981).
Supongamos que el transistor a efecto de campo se encuentra en un campo con una inducción B . Entonces, el movimiento de los electrones en el plano x , y se halla cuantificado, y sus energías posibles se determinan por la fórmula (12.1), ya que no puede haber movimiento a lo largo del campo. ¿Cuántos electrones pueden concentrarse en cada nivel? Mientras no había campo magnético, n e electrones llenaban todos los estados que les eran permitidos incluso hasta la energía E F . Ahora ellos se "asientan" en los niveles, y el número de éstos, cuya energía es inferior a E F , es igual, evidentemente (para simplificar, consideramos que el campo es débil, así que h W « E F ), a
(12.6)
y a cada nivel le corresponde un número de electrones n B , así que
Figura 12.3. Esquema del relleno del plano x, y con electrones del nivel de Landau de j = 0. Durante el máximo relleno, los electrones ocupan los círculos limitados por circunferencias a trozos (a). Durante el relleno parcial (b), los electrones ocupan sólo parte de esos lugares. En este caso ellos adquieren lo posibilidad de cambiar su posición pasando a los lugares libres.
Y ahora recordemos que la relación de incertidumbre prohíbe la existencia de valores exactos de las coordenadas, así que las circunferencias son difusas, y los electrones permanecen en alguna parte de las regiones sombreadas cerca de dichas circunferencias, por eso la frontera entre los estados "0" y "1" pasa aproximadamente por entre estas últimas. Por consiguiente, el electrón con j = 0 está "encerrado" en la región cuya área s » 2π h / eB (véase la fórmula (11.4)). Al lado podemos colocar más electrones si los centros de sus órbitas se hallan dispersos de tal manera que los círculos que les corresponden no se sobreponen. Por eso, en la unidad de superficie se ubicarán 1/ s » eB /2π h electrones. Pero en cada círculo pueden permanecer dos electrones con distintos spines y, teniendo eso en cuenta, llegaremos a la fórmula (12.7).
Al deducir la fórmula (12.6), escribimos una igualdad aproximada, ya que el nivel de Landau no coincide obligatoriamente con el nivel de Fermi, e incluso el propio nivel de Fermi en un campo magnético no permanece constante. Pero el campo magnético no puede hacer nada con la densidad de los electrones n e . Por eso a temperatura del cero absoluto la situación es la siguiente: los electrones llenan por completo 0, 1,..., ( j-1) niveles inferiores, pero el nivel j no se llena del todo, a fin de que se cumpla la igualdad
(12.7)
No es difícil comprender el sentido de la última fórmula si examinamos las órbitas de los electrones en el plano x, y . Para no confundir el cuadro, dibujemos las órbitas sólo para j = 0 y 1 (figura 12.3).
Figura 12.4. Variación de la resistencia del canal y de la resistencia de Hall en función de la tensión en el cierre del transistor a efecto de campo; B=18,9 T; T= 1,5°K (K, von Klitzing, 1981).
La dependencia mostrada en esta figura se obtuvo de una forma un poco diferente que la mostrada en la figura 11.2: variaba no el campo, sino la concentración de electrones n e . Eso se hace fácilmente en un transistor a efecto de campo, y todos los razonamientos permanecen invariables.
Resulta que el hecho que la resistencia disminuya millones de veces, aún no es el fenómeno más interesante revelado por el transistor a efecto de campo, situado en un campo magnético. Recordemos que sobre la corriente en dicho campo actúa cierta fuerza. Para que la corriente de la fuente llegue al sumidero, esa fuerza debe ser compensada con algo, en este caso con el campo eléctrico E H que surge en dirección perpendicular a la corriente. Este campo (llamado campo de Hall) surge a consecuencia que el campo magnético, apretando el flujo de electrones contra los bordes del canal, engendra ahí una carga excesiva, así que el campo de Hall es un campo de Coulomb de electrones excedentes.
No es difícil calcular E H . Examinemos un electrón aislado que participa en la generación de la corriente I en un canal cuyo ancho es igual a d . La fuerza de Lorentz que actúa sobre él constituye IB/dn e , ya que su velocidad v = I/dn e . Dicha fuerza debe ser igual a eE H , y de aquí obtenemos
(12.8)
En el primer miembro de esta fórmula figura una constante, y en el segundo, una magnitud que contiene el campo B que varia a voluntad del experimentador. Esto significa que tanto j y x dependen de B . Al variar el campo, j puede variar sólo a saltos en ± 1, mientras que x varia continuamente, permaneciendo dentro de los límites de 0 £ x £ 1
El caso x = 0 es especial, ya que en tales condiciones todos los estados se hallan ocupados en los niveles desde 0 hasta ( j- 1), mientras que el siguiente nivel, el j -ésimo, está completamente vacío. Todo eso se asemeja mucho a los dieléctricos, sólo que en vez de zonas energéticas divididas por una rendija, hay niveles de energías diferentes. Pero en el "dieléctrico" engendrado por el campo magnético puede circular corriente. La causa de esto es sencilla: en un dieléctrico verdadero, las zonas se forman gracias a los campos engendrados por los átomos del cristal. Por eso, con las zonas llenas, la corriente es imposible, o sea, no puede haber movimiento de electrones respecto al cristal. Pero los campos de los átomos no influyen sobre la formación de las zonas magnéticas, y por eso no importa si los círculos electrónicos se mantienen inmóviles en un lugar o se desplazan todos juntos respecto al cristal. Pero si la corriente comenzó a fluir, ya nada la detendrá, puesto que los electrones no pueden chocar con nada. Este fenómeno, extraño a primera vista, se debe a que ningún electrón puede cambiar su estado independientemente de otros, ya que eso se lo impide el principio de Pauli.
Otra cosa es si x ¹ 0. Entonces, en el nivel j parcialmente lleno, hay lugares vacíos, lo cual significa, si observamos la figura 12.3, que esos lugares vacíos se encuentran en el plano del conductor bidimensional. Y los electrones, al chocar con las heterogeneidades en la muestra, pueden saltar y caer en esos lugares vacíos. Pero tales saltos, cuando su dirección es contraria a la corriente, conducen a la reducción de la velocidad media de los electrones o, mejor dicho, a la disminución de la corriente. Por eso, si x ¹ 0, surge resistencia, y para mantener la corriente en el canal del transistor a efecto de campo, es necesario aplicar tensión entre la fuente y el sumidero. Si x se diferencia poco de 0 ó 1, hay pocas posibilidades de que se produzcan saltos de electrones, y la resistencia es pequeña. Esta es máxima cuando x » 1/2. x se reduce a cero muchas veces, y al variar el campo, la resistencia a menudo se vuelve pequeña (véase la figura 12.2), pero no se reduce a cero por la simple razón de que si la temperatura no es igual a cero, en el nivel ( j —1) aparecen lugares vacíos, y parte de los electrones van a parar al nivel j . Esa parte de electrones se determina por la fórmula de Boltzmann, por eso, las oscilaciones de la resistencia aumentan cuando h W / kT » 1. Así, en el campo de 15 T , la resistencia disminuía ~ 10 7 veces (figura 12.4).
(12.9)
Y ahora sustituyamos aquí n e de la fórmula (12.8) para el caso x = 0, y obtendremos un resultado excelente:
12.5 Esquema de variación de la energía del electrón en dirección transversal al canal, a consecuencia de la imperfección del transistor a efecto de campo: a, niveles de Landau; b a d, relieve de distribución de la densidad de carga en el canal para distintos grados de relleno del nivel. Están sombreadas las partes del canal donde la densidad de los electrones corresponde a la máxima densidad de carga. Toda la corriente circula dentro de los límites de dichas regiones.
La causa de aparición de escalones es que en el mundo no hay nada ideal. En nuestro caso hay muchos motivos para la falta de idealidad, por ejemplo, la superficie del silicio a escalas atómicas no es plana, y el espesor del dieléctrico no es constante. Pero el campo que determina la concentración y la energía de enlace de los electrones en la capa bidimensional es tanto mayor cuanto menor es la distancia desde el cierre hasta el soporte. Por eso, en distintas partes del canal, la energía de enlace es un poco diferente, y la energía total del electrón, igual a E en1 + (j+1/2)h W , en diversos niveles de Landau tiene aproximadamente el aspecto mostrado en la figura 12.5, a. Ahora imaginémonos que el nivel j-1 está completamente lleno. Al incorporarse más electrones, éstos tratarán de situarse en el nivel j , antes que nada allí donde su energía sea mínima. Eso no significa que ellos se acumularán sólo en determinadas partes de la muestra, pues tal proceso será obstaculizado por las fuerzas de Coulomb de repulsión de cargas de un mismo signo, que obligarán a los electrones a propagarse por todo el canal. Pero a pesar de todo, allí donde la distancia entre el cierre y el soporte sea menor, se acumularán más electrones, y en ese lugar será antes alcanzada la densidad máxima (12.7). Si dibujamos la distribución de la densidad así como se traza el relieve en los mapas geográficos, en este momento el dibujo adquirirá el aspecto mostrado en la figura 12.5, b.
Aumentemos la tensión en el cierre. Entonces, allí donde ya fue alcanzada la densidad máxima, ésta ya no crece más, ya que la energía se halla muy lejos del siguiente nivel de Landau. Por eso el dibujo adquiere el aspecto mostrado en la figura 12.5, c; aparecen bandas continuas en las que n e = (j+1)eB /π h . E inmediatamente toda la corriente que circula por el canal se dirige a esas bandas. La causa es evidente: estas últimas se vuelven como superconductoras, por ellas la corriente fluye sin resistencia, y las mismas derivan la resistencia de toda la muestra. La resistencia de Hall adquiere inmediatamente el valor de π h / e 2 (j + 1) , ya que la tensión de Hall se "acumulará" sólo donde circula corriente, o sea, donde n e se expresa a través de las constantes universales. Y tal situación ahora se mantendrá hasta que el nivel j se llene por completo en el área de todo el canal. Esta es la causa de la aparición de escalones en la dependencia R H (U c ) .
Los físicos siempre sienten gran interés por los fenómenos que sólo se caracterizan por las constantes universales. Eso da la posibilidad de comprobar muy exactamente las teorías existentes, estableciendo, con una precisión cada vez mayor, las propias constantes, que constituyen un gran interés para todos los que se dedican a las ciencias exactas. Por eso, cuando fue aclarada la naturaleza de los escalones en el efecto Hall, von Klitzing, Dorda y Pepper, descubridores de dichos escalones, en 1980, tras medir la resistencia de Hall, propusieron precisar el valor de la constante adimensional, llamada constante de estructura fina a , la cual desempeña un papel muy importante en la electrodinámica cuántica. Esta magnitud adquiere el aspecto más sencillo al ser escrita en el sistema de unidades CGSE:
a = e 2 /ch . (12.11)
Como se deduce de esta expresión, a contiene la misma combinación de constantes que la resistencia de Hall medida en el experimento; sólo que en el denominador ha sido agregada la velocidad de la luz c. Pero esta última es conocida con mejor exactitud que a.
No pasaron muchos años y se llevó a cabo un experimento en el que realmente se logró medir, según la relación entre la tensión en el escalón y la corriente en el conductor bidimensional, el valor de a con una exactitud más alta que nunca antes. Para tener una idea de qué magnitudes se trata, escribamos aquí ese número o, mejor dicho, la magnitud inversa a él, a -1
a -1 1 = 137,035965±0,000012.
La medición de la constante de estructura fina no es el único ejemplo que las temperaturas bajas permitieron precisar las constantes universales. Aún antes apareció el valor más exacto del cuanto del flujo magnético,h/2e . Por consiguiente, ahora también podremos precisar el valor de la carga del electrón. Hace poco fue obtenido el valor más exacto del momento magnético del electrón, al realizar mediciones que exigieron el enfriamiento del aparato hasta la temperatura del helio liquido. Estos ejemplos datan de los últimos diez años, por eso podemos considerar que la penetración de las bajas temperaturas en el campo de la metrología de precisión, comienza tan sólo ahora, y contamos con nuevos éxitos en este campo.
(12.10)
En el primer miembro apareció una diferencia de potenciales por ambos lados del canal, ya que ésta es, evidentemente, E H . La relación R H = UH /I se llama resistencia de Hall. En el segundo miembro figura el conjunto de constantes universales conocido ya por nosotros del décimo capítulo. La fórmula (12.10) significa: en el momento cuando en el campo magnético, la resistencia del canal se reduce a cero, la resistencia de Hall del transistor a efecto de campo sólo se determina por los valores de las constantes h y e y no depende en absoluto de las propiedades de la sustancia.
Para medir R H , a nuestro aparato es necesario agregarle un par de contactos más, llamados contactos de Hall, situados por ambos lados del canal (figura 12.1). Lo medido en el experimento, se muestra en la figura 12.4. Y he aquí una circunstancia excepcional: la resistencia de Hall no obedece la fórmula (12.9) según la cual aquélla debe ser inversamente proporcional a n e y también a la tensión en el cierre. La diferencia consiste en que aparecen sectores en los que R H es constante con alta exactitud y se determina por la expresión (12.10).
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