El helio y los electrones

EL HELIO Y LOS ELECTRONES

En los capítulos anteriores hemos escrito mucho acerca de la obtención de bajas temperaturas y acerca de las propiedades del helio. Claro está que éste es por sí mismo un líquido interesan1isimo. Pero con esto la física de las bajas temperaturas no se agota ni mucho menos. He aquí, por ejemplo, uno de los temas: el helio y los electrones “libres”. Dicho tema surgió de la pregunta: ¿podrá el helio líquido transmitir corriente eléctrica? A primera vista esta pregunta parece absurda: el helio líquido es un dieléctrico excelente, con él se puede llenar, por ejemplo, el espacio entre las placas de un condensador, aplicarles tensión y no se revelará absolutamente corriente.

¿Y si en el helio liquido introducimos electrones libres? Uno de los primeros que planteó tal idea fue A. I. Shalnikov. El introdujo en helio líquido una fuente β radiactiva y empezó a estudiar cómo los electrones que salen de la fuente se mueven bajo la acción del campo eléctrico. Este experimento está representado esquemáticamente en la figura 9.1, en el fondo de un recipiente con helio se encuentra un “blanco de tritio” en forma de una tableta de molibdeno. En uno de sus lados ésta tiene una capa blanda de óxido de molibdeno, cuyos poros están llenos de tritio. Este último se desintegra emitiendo partículas β con una energía de varios kiloelectrónvoltios, y se convierte en 3He. Esas partículas β chocan con los átomos de helio. Como su energía supera en mucho la energía de ionización del átomo de helio, ellas, al chocar con éste, lo dividen en un electrón y un ión He+. Antes que la partícula β consuma toda su energía y se detenga, permaneciendo separada del blanco a la distancia de varias fracciones de milímetro, ella logra generar 200 pares de tales partículas. Naturalmente que los electrones e iones separados se atraen uno hacia otro y de nuevo forman átomos. Pero como las partículas β son emitidas constantemente, cerca del blanco, no obstante, existirá una nube de electrones e iones.

Instalemos sobre el electrodo-blanco una malta metálica y suministrémosle una tensión de varias decenas o centenas de voltios.

Si su potencial es positivo con respecto al blanco, hacia la malla se dirigirán los electrones, y si es negativo, los iones. Al colarse por las aberturas de la malla, los mismos pasarán adonde aún no hay campo eléctrico, y aquí se quedarán las cargas de un solo signo (electrones o iones) Ahora se puede estudiar lo que representan los electrones y los iones en el helio líquido.

Antes que nada, por supuesto, es preciso comprobar si realmente sobre la malla hay cargas libres. Para esto, introduzcamos en nuestro recipiente una malla más (2), y entre las mallas 1 y 2 apliquemos tensión. Inmediatamente veremos que con una polaridad la corriente fluye, y con otra no, según el signo de las cargas sobre la malla 1. Por lo tanto, resultó que las cargas realmente pueden ser divididas en el espacio y pueden moverse en el helio. Pero, desgraciadamente, midiendo la corriente es muy difícil sacar conclusiones cuantitativas.

Figura 9. A la izquierda: esquema de la estructura del aparato para estudiar el movimiento de las cargas eléctricas en el helio: a la derecha: diagrama de las tensiones entre las mallas 1-2 y 1-3, que ilustra el método de medición de la movilidad de los electrones según el tiempo de su recorrido.

Para entender por qué es así, recordemos qué es la corriente eléctrica. Esta, según la definición, es el número de cargas que pasan a través de la sección transversal de un conductor por segundo. Imaginémonos ahora que nuestro conductor, en este caso el helio líquido, está homogéneamente lleno de cargas de densidad N cm^-3.

Estas últimas se encuentran en movimiento térmico continuo, pero por término medio no hay ninguna corriente. Para que ésta fluya es necesario aplicar fuerza a los electrones. Tal fuerza la crea el campo eléctrico E y es igual a eE. La aceleración de cada carga de masa m es igual a eE/m, y durante el tiempo t, éstas adquieren velocidad de movimiento dirigido v =eEζ/m. ¿Qué tiempo t ha de introducirse en la fórmula? La carga transita no en el vacío, sino en un medio denso que, desde el punto de vista microscópico, es heterogéneo, pues el mismo es un líquido y no un cristal. La carga, claro está, experimentará choques con los átomos de helio. Y después de cada choque, la dirección del movimiento cambiará de modo completamente eventual. Por consiguiente, la velocidad que la carga adquirió bajo la acción del campo, después del choque puede recibir cualquier dirección en el espacio. Hay que empezar todo desde el principio, es decir, ir aumentando la velocidad desde cero a lo largo de E, y así de choque a choque.

De dicha descripción se deduce que, por término medio, la velocidad del movimiento dirigido a lo largo del campo eléctrico es igual a

donde t es el tiempo medio de un choque a otro. El valor de E lo establece el experimentador, y las propiedades del sistema las contiene el factor

m = et/m (9.1)

conocido con el nombre de movilidad de las cargas. Y la corriente que pasa a través de un conductor con una sección transversal igual a 1 cm2, evidentemente, es igual a

I = Ne · m.E (9.2)

Esa corriente puede ser medida, pero es muy difícil encontrar N y m por separado, ya que estas dos magnitudes son incógnitas.

Sin embargo, se puede modificar un poco el experimento. Para concretizar vamos a hablar del movimiento de los electrones. Entre la malla 1 y la 2 (ánodo) introduzcamos la malla 3 que llamaremos malla de control. Le suministraremos una tensión negativa con respecto a la malla 1, la cual evita que los electrones penetren en el espacio entre la malla de control y el ánodo. Por eso en el circuito del ánodo no habrá corriente. Si durante un tiempo muy corto cambiamos el signo de la tensión en la malla de control, una pequeña porción de electrones pasará a través de ella y comenzará a moverse hacia el ánodo. Pero los alcanzarán no inmediatamente, sino sólo después de cierto tiempo t = d2-3 / v’. Precisamente después de este intervalo de tiempo, en el circuito del ánodo se registrará un impulso de corriente. Y como E2-3 = U2-3 / d2-3,se puede escribir

(9.3)Resultó que este tiempo no es tan corto, del orden de 1 ms. Tales tiempos se miden con bastante facilidad. Y conociéndolos, también es fácil calcular la movilidad. Los resultados obtenidos a diferentes temperaturas se muestran en la figura 9.2. Para los electrones a temperaturas de ~2,2 hasta 4,2 1°K, su movilidad es casi constante y aproximadamente igual a ~0,02 cm2/V·s. Para los iones, ésta es dos veces mayor, lo cual es muy extraño, ya que, de acuerdo con la fórmula (9.1), la movilidad de un ión pesado debe ser miles de veces menor que la de un electrón ligero.

Figura 9.2. Movilidad de las cargas positivas (iones) y negativos (electrones) en el helio líquido; los puntos diferentes corresponden a las mediciones efectuadas en distintos laboratorios.

¿Y no nos dirá algo la propia magnitud de la movilidad? La magnitud medida resultó pequeña, comparándola, por ejemplo, con la movilidad de los electrones en los semiconductores, igual a 104 - 105 cm2/V·s. Es cierto que esto aún no dice nada. Analicemos la expresión de la movilidadm = et/m. En esta fórmula, e y m son simplemente la carga y la masa del electrón. Sus valores son conocidos, y la única magnitud sobre cuyo valor influyen las propiedades del medio sujeto a examen, es el tiempo de recorrido libre t = l/v, donde l es la longitud del recorrido de choque a choque, y v = √3kT/m, la velocidad térmica del electrón. Ahora atención: el recorrido libre de una partícula microscópica no puede ser menor que la distancia interatómica^[1] a. Si es así, inmediatamente obtenemos que la movilidad no puede ser menor que ea/√3mkT. Sustituyamos aquí a » 4,5·10-8 cm, T » 2°K, la carga y la masa del electrón libre, y obtendremos que m ha de ser obligatoriamente mayor que ¡102 cm2/V·s!

¿Y qué nos dice el experimento? Acabamos de convencernos que una movilidad tan baja como la que hemos medido, simplemente no puede existir. Y sin embargo, eso es un hecho. ¿Qué es, pues, lo que pasa? ¿Puede ser que los electrones no quieren moverse separadamente de los átomos de helio y los “arrastran” tras de sí? Además, evidentemente, la masa del portador de corriente será mayor. En cuanto más, es fácil hallarlo si en nuestra igualdad sustituimos la movilidad medida y utilizamos esa igualdad para calcular m. Obtendremos una cantidad enorme: m » 2·107, me » 3·103 mHe. ¿Cómo puede el electrón arrastrar tras de sí tanto helio?

Para contestar a esta pregunta debemos recordar la relación de incertidumbre. Empecemos por el cálculo de la energía de las oscilaciones nulas ω, que debe tener el electrón para situarse en el espacio entre los átomos de helio (o sea, si a ese electrón se le concede un lugar de dimensiones a). Entonces p ≥ 2ph/a » 1,5·10-24 kg·m/s y, según el orden de magnitud, W » p2 / 2me » 10-18 J » 6 eV. Dicha energía, llamada energía de implantación, ha sido medida y en realidad es igual aW = 1,0 eV. En comparación con la energía de enlace de los átomos de helio entre sí, ésta es una magnitud enorme.

¿Puede ser que los electrones destruyen el enlace entre los átomos, los separan y se “sitúan” en un lugar libre, formando una burbuja en el helio? Si el radio r de la burbuja es mucho mayor que a, la energía cinética del electrón disminuirá considerablemente. (La burbuja, por supuesto, debe ser esférica, ya que el líquido es homogéneo.) Pero, por otro lado, surgirá una energía potencial, ya que la burbuja tiene una superficie cuya área constituye S = 4pr2, la cual divide las regiones donde hay belio y donde no lo hay. Si no fuera por el electrón, esta burbuja se verla obligada a estallar bajo la acción de las fuerzas de tensión superficial.

Figura 9.3. Esquema del dispositivo para determinar la energía superficial de un liquido

Ustedes deben saber que la tensión superficial es una fuerza igual a sl, donde s es el coeficiente de tensión superficial, y l la longitud de la frontera. Repitamos de nuevo el experimento descrito en ¡os manuales escolares: tomemos un cuadro rectangular de alambre, el cual tiene un lado AB de longitud 1, que puede desplazarse verticalmente con poca fricción (figura 9.3). Sumergiendo el cuadro en un recipiente con solución jabonosa, obtendremos una película de jabón tendida en el cuadro. Colguemos en el alambre AB una carga cuyo peso mg es un poco mayor que 2sl. Entonces el alambre empezará a moverse hacia abajo y la energía potencial de la carga se convertirá en energía cinética de la película. Si la carga desciende a la magnitud h, dicho cambio será igual a DUp = mgh = 2slh = 2sS, donde S es la modificación del área de la película, y 2S, la modificación del área de la superficie libre. Así pues, la energía superficial es simplemente sS, y acerca del coeficiente de tensión superficial se puede decir que el mismo es la energía correspondiente a una superficie de área unitaria.

Por eso, con arreglo a la energía potencial de la burbuja, podemos escribirUp = 4pr2s (para el helio s = 0,38 mJ/m2). Y la energía cinética, al igual que para el electrón en el átomo, constituye Wc = p2h2/2mr2 (véase el quinto capitulo). Falta sumar dichas energías y ver con qué radio de la burbuja la energía es mínima, lo cual corresponderá precisamente al llamado estado estable.

Por consiguiente, buscamos el mínimo de la expresión

4psr2 + p2h2/2mr2 (9.4)

Dibujemos su gráfico (figura 9.4) y veremos que el mínimo corresponde al valor de r con el que Up = W. Partiendo de esto) obtenemos

r = (ph2 / 8ms)1/4 » 1,8·10-7 cm » 4a (9.5)

Y de la burbuja de radio 4a serán desalojados 4/3p· .43 » 250 átomos de helio.

Hablando del movimiento en un campo eléctrico, se puede decir que es lo mismo si el electrón arrastra tras de sí átomos o, al contrario, un hueco en el líquido: en ambos casos se produce el traslado de masa. Sólo que en un caso eso ocurre hacia donde se mueve el electrón, y en otro caso, en dirección contraria. Por eso, para apreciar la movilidad debemos utilizar no la masa del electrón, sino la de los átomos desalojados de la burbuja, o sea, 250 mHe. Esto sigue siendo ~10 veces menor que lo necesario para la concordancia con el experimento. Pero una burbuja tan grande puede tener un “recorrido” mucho menor que la distancia interatómica.

Figura 9.4 Variación de las energías cinética (línea de puntos y trazos), potencial (línea de trazos) y total (línea continua) de una burbuja con un electrón en función del radio de la burbuja.

Realmente la burbuja ya es tan grande que, al estudiar su movimiento, pueden aplicarse las mismas leyes que para el movimiento de una bola en un líquido viscoso. Tal movimiento fue estudiado por Stokes en el siglo pasado (siglo XIX); si tomamos su fórmula para la burbuja electrónica, obtenemos un resultado muy parecido al medido (véase figura 9.2). Al mismo tiempo se comprende por qué cuando T < 2,2°K, la movilidad crece rápidamente al bajar la temperatura, es decir, se inicia la superfluidez, y la densidad del componente normal, con el que roza la burbuja, comienza a disminuir con rapidez.

¿Y qué hacer con el ión positivo? Pues también para él hay que exigir que su masa sea mucho mayor que la del helio, y las oscilaciones nulas aquí ya no ayudarán, ya que éstas no cambian cuando el átomo adquiere carga. Aquí es necesario tener en cuenta otro efecto. Alrededor del ión cargado positivamente existe un campo eléctrico cuya intensidad es igual a e/r2. Los átomos de helio vecinos se polarizan bajo su acción (véase el quinto capítulo) y, gracias a ello, son atraídos hacia el ión. La presión excesiva que surge lejos de este último a consecuencia de dicha fuerza, naturalmente que es pequeña, pero cerca de él resulta mayor que la presión a la que el helio se solidifica. Por eso, en torno al ión se forma una “bolita de hielo” cuyo radio, según muestran los cálculos, constituye ~2a, y la masa m+ » 50 mHe. Esa “bolita” es menor que la burbuja electrónica, y por eso su movilidad es mayor.

¿Pero todo eso no serán conjeturas? Pues son formaciones realmente raras: una burbuja cuyo radio constituye tan sólo ~18 Å, y una bolita de hielo aún menor. Todas nuestras suposiciones eran razonables, a excepción de una: ¿es posible aplicar los conceptos de tensión superficial y de presión de solidificación a “objetos” tan pequeños? En efecto, si se trata, por ejemplo, de dos átomos, ¿se puede, acaso, decir que los mismos forman helio líquido o sólido? ¿Y qué cantidad de ellos es preciso tener para que eso adquiera sentido? En general, para solucionar un problema confuso, la obtención de un solo resultado, la movilidad, aún es muy poco. Pero si se lograra pesar las cargas... ¡Se logró!

¿Cómo se efectuó eso? Fue necesario detener las cargas, lo cual es una tarea sencilla: basta con que en nuestro aparato hagamos descender (véase figura 9.1) el nivel del helio más abajo del segundo electrodo. Entonces, bajo la acción del campo, los electrones o iones llegarán hasta la superficie de separación y se detendrán. Para entender por qué se detuvieron, veamos qué fuerzas actúan sobre la carga cerca de la frontera entre el vacío y el dieléctrico que, en este caso, es el helio.

Ya hemos resuelto un problema semejante cuando se trataba de una película de helio y de las fuerzas de Van der Waals, sólo que ahora ese problema es más sencillo. Supongamos que el electrón no se encuentra dentro del helio, sino fuera, y que la distancia entre él y la frontera es R. El campo que actúa sobre los átomos situados en la superficie, del lado del dieléctrico, constituye E = e/R2. Este campo provoca la polarización de los átomos y, del mismo modo que hemos resuelto el problema 9, no es difícil calcular que la fuerza de atracción entre un átomo y un electrón constituye f = 2ae2/R5.

Problema 12.

Calcular la fuerza de atracción del electrón hacia el átomo, si la distancia entre ellos es mayor que el radio de este último.

Falta sumar todos los dipolos, y como la fuerza disminuye rápidamente con la distancia, tomaremos en consideración sólo los más cercanos, cuyo número, como en el caso de las fuerzas de Van der Waals, de nuevo es proporcional a R3/a3. Así pues, el electrón es atraído hacia el dieléctrico con una fuerza

(9.6)ya que la densidad de las partículas N = 1/a3.

Es un resultado excelente: hemos obtenido la misma ley de interacción que en el caso de dos cargas puntuales. Una de ellas es e, y la otra Nae. Recordemos que un dieléctrico se caracteriza por su permitividad e, equivalente a la unidad en el vacío y que es tanto mayor cuanto más alta es la polarizabilidad de las partículas dieléctricas integrantes y cuanto mayor es su número por unidad de volumen. La fórmula que enlaza e y a tiene el siguiente aspecto (por ahora e se diferencia poco de 1):

e = 1 + 4pNa (9.7)

Teniendo esto en cuenta, obtendremos

F ~ (e - 1)·e² / R² (9.8)

Esta fórmula tiene un aspecto formidable, pero seria preferible sustituir el signo de proporcionalidad por el de igualdad. Además, la misma todavía no es del todo correcta: no hemos considerado el efecto pantalla de los propios dipolos, ya que los que se encuentran más cerca de la superficie actúan con su campo sobre las capas más alejadas en dirección contraria a la del electrón exterior. Y si e es grande, esta acción resulta considerable. Cuando hablábamos de las fuerzas de Van der Waals no hemos tomado en consideración dicho efecto, ya que allí, en realidad, sólo las capas más superficiales participan en la interacción. Pero ahora, con la distancia, las fuerzas decrecen más lentamente y es necesario tener en cuenta la ¡interacción de los dipolos, así que los cálculos exactos conducen a la fórmula

(9.9)Problema 13.

Demuestren que la fórmula (9.9) proporciona un resultado correcto para la fuerza con la que la carga es atraída por un metal Indicación: el metal es un dieléctrico con e = ¥ , ya que el campo eléctrico continuo externo no penetra en él, o sea, se debilita un número infinito de veces.

Pero como a nosotros nos interesa el helio líquido que tiene e = 0,057..., en vez de (9.9) utilizaremos una fórmula simple cuya exactitud es bastante alta:

(9.10)¿Y si el electrón se encuentra no en el vacío sino en un dieléctrico? Prolonguemos mentalmente el dieléctrico más allá de la frontera. Entonces, en un dieléctrico infinito no hay ninguna fuerza, ya que todo es homogéneo. Pero la parte agregada (mentalmente) crea, como ya hemos establecido, una fuerza de atracción. Por consiguiente, si rechazamos esta parte, la fuerza restante será una fuerza de repulsión y constituirá -(e-1)e2/8R2.

Y, por fin, ya hemos llegado a la respuesta: el electrón (y también el ión) no puede separarse del helio, ya que sobre él, cerca de la frontera, actúa una fuerza de repulsión. Si el campo entre los electrodos es igual a E, la burbuja electrónica (o el ión) “se detendrá” a la distancia R0 de la superficie de separación. Esto se determina por la condición

(9.11)Sustituyamos aquí E » 1 CGSE (o sea, 300 V/cm) y obtendremos R0 » 2·10-6 cm, que es una magnitud grande no sólo a escala atómica, sino también en comparación con el radio de la burbuja electrónica.

Por supuesto que se han dado cuenta que la palabra “detenerse” fue escrita, no sin razón, entre comillas: la burbuja electrónica, a consecuencia del movimiento térmico, tiene energía cinética y por eso, la misma oscilará alrededor de la posición de equilibrio. La frecuencia de tales oscilaciones puede ser determinada de la misma manera que se calcula la frecuencia de oscilaciones de cualquier péndulo, y la respuesta es la siguiente

(9.12) Problema 14.

Calcular la frecuencia de oscilaciones de una carga en el helio, cerca de la superficie del líquido.

En este caso podemos olvidarnos de las leyes cuánticas y considerar la burbuja como una partícula clásica, ya que ella es demasiado pesada y, por lo tanto, la energía de las oscilaciones nulas resulta muy pequeña. Para E = 1 CGSE y m_(+) » 10 mHe obtendremos ω = 109 s-1 o bien, para una frecuencia común, v = ω/2p = 200 MHz. Examinando la fórmula (9.12) se pone de manifiesto cómo ha de ser pesada la burbuja electrónica: es necesario aplicar a los electrodos 1 y 2, no sólo una diferencia de potenciales U1-2 que crea un campo E1-2 ,sino también un campo alterno complementario de frecuencia vext =100 MHz. Si ahora variamos lentamente el campo E1-2, con cierto valor de éste, la frecuencia de oscilaciones de la burbuja coincidirá con vext entonces (si la sensibilidad es suficiente) se manifestará una resonancia como la mostrada en la figura 9.5. Sólo queda sustituir, en la fórmula (9.12), todas las magnitudes ahora conocidas, y el asunto será resuelto. Precisamente así se logró determinar la masa de la burbuja electrónica,m- = (243 ± 5) mHe y de la “bolita de hielo” iónica m+ = (45 ± 2) mHe.

¿Y qué pasará si “invertimos” el experimento relacionado con los electrones, o sea, si acercamos el electrón al helio no por dentro, sino por fuera? Claro, si lo hacemos bruscamente, o sea, si dirigimos sobre la superficie del helio, por ejemplo, un haz de electrones de alta energía, engendrado por un cátodo común) estos últimos penetrarán en él y se dirigirán directamente al electrodo inferior. Pero si su energía es menor de 1 eV, ya hemos dicho que ésta es precisamente la energía de penetración en el helio líquido, entonces, los electrones no podrán penetrar en él. Pero tampoco podrán separarse de su superficie, ¡ya que serán atraídos por el dieléctrico! ¿Dónde ahora, pues, se encontrará el electrón?

Es fácil dar una respuesta cualitativa: otra vez hay que utilizar la relación de incertidumbres y, así cómo fue hecho para la burbuja electrónica en el helio, es necesario hallar la distancia media entre el electrón y la superficie de ese líquido. Realicen tales cálculos sencillos y verán que la referida distancia media, es decir, la incertidumbre de su coordenada, tiene una magnitud de 100 Å.

Problema 15.

Apreciar la distancia media entre un electrón situado sobre el helio líquido, y la superficie de este último.

Resulta un objeto completamente cuántico, con dimensiones ya más bien macro que microscópicas. Pero esto es sólo una dimensión, en dirección vertical. Sin embargo, en dirección horizontal, sobre el electrón no actúa en absoluto ninguna fuerza, y nada obstaculiza su movimiento en el plano de la superficie.

Figura 9.6. Aparato para observar los electrones levitantes.

¿Cómo estudiar experimentalmente tales electrones, que llamaremos electrones “levitantes”? Por ejemplo, con ayuda del aparato, cuyo esquema se muestra en la figura 9.6. Aquí de nuevo vemos dos electrodos: el inferior, cargado positivamente, y el superior, cargado negativamente. ¿Para qué son necesarios en general dichos electrodos? Pues por el momento no hemos hablado de ningún campo externo. Es cierto, pero también es necesario decir que sólo hemos hablado de un electrón. Y un solo electrón no es perceptible, necesitamos que haya muchos. Si ellos son muchos, entonces, los mismos se repelen a consecuencia de las fuerzas de Coulomb. Por eso, para retenerlos dentro de los límites del aparato, es imprescindible tener un campo electrostático exterior que los absorba a la holgura del condensador. Ese campo es engendrado precisamente por los electrodos.

Figura 9.7. a, esquema del aparato, y b .fotografía de la superficie de helio “pandeada” por las fuerzas que actúan sobre los electrones. El campo eléctrico que actúa sobre los electrones constituye 103 V/cm (R. S. Craudal y R. Williams, 1972).

Conectemos, para un instante, una fuente de electrones, ésta puede ser, por ejemplo, un alambre delgado de tungsteno, calentado por un impulso de corriente, y veremos que el nivel del helio en el espacio entre los electrodos ¡bajó! (figura 9.7). Es comprensible por qué ocurre esto: cada electrón presiona sobre el líquido, con una fuerza eE (aquí E es la intensidad del campo externo), y si a cada centímetro cuadrado le corresponden n electrones, allí donde éstos están presentes, o sea, en el espacio entre los electrodos, surgirá una presión complementaria P = neEsobre el líquido. Esa presión puede ser compensada por las fuerzas hidrostáticas gracias al surgimiento de cierta diferencia de niveles del helio dentro y fuera del condensador, así que

neE = rgh (9.13)

No es difícil calcular n y E si tenemos en cuenta que antes de conectar la fuente de electrones, entre los electrodos inferior y superior actuaba un campo eléctrico igual a Ein = U/d (para simplificar, ahora despreciamos la pequeña diferencia entre e del helio y la unidad). Después hemos conectado el cátodo, y los electrones emitidos por éste, bajo la acción de dicho campo, se dirigieron hacia abajo y comenzaron a acumularse en la superficie del líquido, creando un campo que actúa sobre el helio al encuentro de Ein. Cuando tales campos se igualan con arreglo a su valor absoluto, no quedan fuerzas capaces de atraer nuevas porciones de electrones hacia el líquido, ya que el campo sobre éste se vuelve simplemente nulo. Eso significa que el potencial en la superficie se iguala con el potencial del electrodo superior y que podemos eliminarlo mentalmente, considerando que la diferencia de potencial U está aplicada entre el electrodo inferior y el “electrodo” separado del primero a la distancia d’ y formado sólo por electrones situados exactamente en la superficie del helio.

Nos queda hacer unos cálculos sencillos y obtendremos

(9.14)Sustituyamos estas magnitudes en (9.13) y determinemos la diferencia de niveles

(9.15) Si, por ejemplo, U = 1 CGSE, d = 0,1 cm, entonces E = 5 CGSE y h = 0,25 mm. Eso mismo se obtiene en el experimento.

Problema 16.

Determinar la concentración de electrones en la superficie del helio, si entre los electrodos del condensador (véase figura 9.7) se aplica una diferencia de potencial U, y calcular la intensidad del campo que actúa sobre ellos.

¿Y si tomáramos U = 10 CGSE? Podría pensarse que en este caso el cambio de nivel se vería mucho mejor, ya que h aumentarla 100 veces. Pero el asunto es que hay un valor máximo de E, más arriba del cual el sistema de electrones en la superficie se vuelve inestable.

Imagínense el siguiente cuadro: supongamos que tenemos un condensador de extensión infinita, dentro del cual hay helio con una carga superficial. Mientras los electrones permanecen distribuidos de modo estrictamente uniforme, sobre el líquido actúa una presión P = neE. Pero si por alguna razón, por ejemplo, a consecuencia de una sacudida casual, en la superficie del líquido se forma una concavidad, entonces, la densidad de electrones en este lugar aumentará instantáneamente, ya que allí la distancia hasta el electrodo inferior resultará menor, y a los electrones les conviene pasar a ese lugar. El aumento de la densidad conduce al incremento de la presión de los electrones sobre el helio, o sea, los mismos actuarán de tal manera que elevarán aún más la perturbación inicial. También hay fuerzas que tratan de devolver al líquido su superficie plana, tales son la tensión superficial y la fuerza de la gravedad. Es decir, son las mismas fuerzas que ponen plana la superficie del líquido cuando no hay electrones. Pero a medida que aumentan n y E, crecen las fuerzas que contribuyen a la formación de concavidades. Si nllega a ser mayor de ~2·109 electrones/cm2 (a este valor de n, según la fórmula (9.14), le corresponde E » 2 kV/cm), la tensión superficial y la gravitación ya no podrán devolver al líquido la superficie plana, y la perturbación inicial crecerá rápidamente.

Se logró fotografiar ese cuadro con una cámara cinematográfica rápida, y varias imágenes que muestran el desarrollo de la inestabilidad, se ofrecen en la figura 9.8. La primera imagen es una superficie en calma, cargada y abollada hacia abajo, o sea, hacia dentro del condensador. La segunda imagen fue obtenida después que, a consecuencia de un pequeño aumento de la diferencia de potencial U, se produjo la transición al estado inestable. En la fotografía apareció una franja oscura, ya que ahora la luz se dispersa intensamente, reflejándose muchas veces de las ondas que surgen en la superficie. Si miramos no de un lado, sino bajo un pequeño ángulo respecto a la superficie, aproximadamente de la misma manera que el hombre contempla el mar admirando las olas, también en el helio se ven olas semejantes. Las mismas se “balancean” tan intensamente que se forman profundas hondonadas en las que se concentran muchos electrones. Y de esas hondonadas se separan burbujas llenas de electrones, y se hunden en el líquido (imágenes 3 y 4). Y como resultado, todos los electrones abandonan la superficie, y la carga desaparece.

Se puede hablar de la estabilidad no sólo de los electrones sobre el helio, sino también de los electrones (o iones positivos) bajo la superficie del helio.

Figura 9.8. Imágenes cinematográficas que ilustran el desarrollo de la inestabilidad y el engendramiento de burbujas cargadas que se hunden en el helio líquido. El tiempo de una imagen a otra es de ~0.1 ms (A. P. Volodin, M. S. Jaikin y B. C. Edelman, 1977).

La causa de la inestabilidad aquí es la misma, solamente que ahora las fuerzas electrostáticas actúan de abajo arriba y arrancan del líquido chorros, a lo largo de cuya superficie interna la carga se derrama en el electrodo superior (figura 9.9).

Figura 9.9. Chorro de helio arrancado por el campo que actúa sobre la superficie cargada por dentro. El electrodo superior tiene forma de esfera para que la perforación se produzca en un mismo lugar: esto facilita la observación del cuadro. (A. P. Volodin y M. S. Jaikin. 1971).

Volvamos, no obstante, a los electrodos sobre el helio. Resulta que el cuadro de la pérdida de estabilidad puede ser distinto. Si el experimento se realiza no a temperaturas de 1°K, cuando en el helio prácticamente no hay fricción, sino a temperaturas más altas, digamos, a 4,2°K, entonces, gracias a la fricción, las ondas que surgen al perderse la estabilidad, se amortiguan antes que se pierda toda la carga. Pero el estado de equilibrio ya no será una superficie plana: toda la carga se distribuirá por hoyuelos dispuestos en forma de una red hexagonal perfecta (figura 9.10). Se forma un “cristal” bidimensional en cuyos vértices se concentran muchos electrones.

Figura 9.10. Fotografía de un “cristal” bidimensional de hoyuelos de electrones múltiples (sectores claros) en la superficie de helio, tomada bajo un ángulo pequeño respecto a esa superficie (P. Leiderer y M. Wanner, 1975).

Tal “cristal” no se parece a todos los cristales conocidos, ya que entre los “átomos” vecinos, en él actúan fuerzas de repulsión y no de atracción. Resulta que también en este caso, energéticamente es conveniente no una disposición casual de los elementos, sino una disposición ordenada. Que esto debe ser así lo demostró teóricamente Wigner aún en 1934, por lo cual dichos cristales recibieron el nombre de “cristales wignerianos”. Es cierto que antes era imposible crearlos; se ha demostrado estrictamente que en el caso tridimensional, en cualquier volumen cerrado no se pueden reunir partículas de un solo signo de carga, ya que las mismas están obligadas a separarse debido a la repulsión mutua. Y gracias al helio líquido, todas ellas pueden ser reunidas en la superficie, donde se forma una capa bidimensional constituida solamente por electrones. Y se pueden crear condiciones cuando se forma una estructura ordenada, perceptible a simple vista.

Pero queda la pregunta: ¿y es posible la formación de un cristal wigneriano en el que en cada vértice de la red haya tan sólo un electrón? Las estimaciones simples muestran que eso se puede lograr. Recordemos que, generalmente, para la cristalización es necesario que la energía de enlace Uen sea comparable con kT. Si se trata sólo de electrones, entonces Uen debe ser proporcional a la energía de interacción de Coulomb de los electrones vecinos e2/r » e2√n, constituyendo cierta fracción de ésta. Por consiguiente, para la formación de un cristal es necesario que

(9.16)donde el factor G es precisamente la magnitud que caracteriza tal fracción. Aún debemos estimar que e2√n £ 100°K (hemos tomado el valor máximo de n, con el que el sistema aún permanece estable). Parece que hay la esperanza de detectar la cristalización a temperaturas del helio, únicamente si G no es muy grande. ¿Pero cómo hacerlo? Eso se ha logrado estudiando la interacción de los electrones con un campo eléctrico alterno.

Figura 9.11. Variante del aparato de la figura 9.6, en el que se puede estudiar el movimiento de los electrones levitantes a lo largo de la superficie de helio.

El electrodo superior fue cortado por la mitad (figura 9.11). Esto no ha cambiado nada en el cuadro estático, ya que sobre la capa de electrones el campo electrostático es igual a cero. Por lo tanto, al electrodo superior se le puede conferir cualquier forma. Pero ahora podemos obligar a los electrones a que se muevan a lo largo de la superficie del líquido, si al electrodo cortado le aplicamos una tensión alterna. Un poco antes hemos dicho que nada limita el movimiento de los electrones levitantes a lo largo de la superficie. Eso no es del todo cierto. Pues debemos tener en cuenta que si la temperatura no es igual a cero, la superficie no puede ser absolutamente plana. En ella han de excitarse oscilaciones térmicas. Precisamente con éstas “rozarán” los electrones, transmitiéndoles la energía adquirida del campo variable. El experimento puede convencernos que todo lo expuesto más arriba ocurre precisamente así. Para eso es necesario medir la potencia de la señal variable, absorbida por el electrodo cortado. La absorción de dicha señal sucede, naturalmente, siempre. Pero resulta que cuando aparecen electrones levitantes, esa absorción crece.

Bajo la acción del campo variable, el electrón se mueve hacia atrás y hacia adelante con una frecuencia angular ω. Como él “roza” con el helio, excitará, indispensablemente en su superficie, oscilaciones de esa misma frecuencia; tales oscilaciones son conocidas con el nombre de ondas capilares. Según su naturaleza, las mismas son análogas a las cabrillas en el agua, solamente que, claro está, aquí se trata de dimensiones mucho menores, que constituyen no centímetros, sino ~10-4 cm. De cada electrón correrá por la superficie una onda cuya longitud l se determina por la frecuencia ω.

Figura 9.12. Amplificación de una onda superficial sometida a oscilación de resonancia por electrones dispuestos periódicamente: 1 a 4, ondas generadas por los electrones 1 a 4. Abajo se muestra la onda total.

Si los electrones están situados regularmente (figura 9.12), se puede elegir una frecuencia tal, que l sea igual a la distancia entre los electrones o que constituya un número entero de veces menor. Entonces, todas las ondas se sumarán, y su amplitud durante tal “tempestad” aumentará bruscamente. El incremento de la amplitud significa que también crece la energía que los electrones transmiten a la onda. Pero dicha energía es suministrada por un generador, por lo tanto, durante la resonancia, las pérdidas eléctricas crecen, que es lo que precisamente registra el aparato (figura 9.13).

Naturalmente que no habrá ninguna resonancia si no existe un estado ordenado, o sea, si las distancias entre los electrones son diferentes. Por eso, la desaparición de la resonancia al aumentar la temperatura significa que el cristal se ha fundido. Es interesante que en tal cristal sintético se pueda variar fácilmente la temperatura de fusión, para lo cual basta con modificar la concentración de electrones. Pero la relación

en este caso permanece invariable.

Figura 9.13. Registro del experimento que ilustra el surgimiento de resonancias de absorción de la onda electromagnética al formarse un cristal en el que los electrones están dispuestos de tal manera que forman una red triangular (C. C. Grimes y G. Adams, 1979).

Se puede preguntar, ¿y para qué se necesitan tales experimentos exóticos? Pues por lo menos para entender en general el proceso de fusión de los cuerpos sólidos. Sin duda que es mucho más sencillo estudiar su fusión experimentalmente, pero, en cambio, los modelos teóricos se vuelven mucho más complicados. Sin embargo, la cristalización de los electrones levitantes, por ejemplo, puede ser imitada en las calculadoras electrónicas. Y si el resultado coincide con lo observado, eso significa que hemos tomado un camino justo, lo cual ayuda a elegir un modelo correcto también para los cristales corrientes.

Notas:

^[1] Esta afirmación es llamada regla de Ioffe-Regel.