Ley para el caos

UNA LEY PARA EL CAOS

"...Ola y roca,

Versos y prosa,

hielo y llama

No difieren tanto entre sí".

A. S. Pushkin

Estas líneas no han sido extraídas de un tratado científico, y es poco probable que sea correcta la conclusión de que el poeta adelantó a su siglo en el entendimiento de las leyes de la naturaleza. Y, sin embargo,... y, sin embargo, Pushkin tenía razón no sólo metafóricamente, sino también en el sentido directo de la palabra. Acerca de la ola y la roca hablaremos más tarde, ahora examinemos el caso de "hielo y llama". El hielo es el símbolo del reposo frío, y la llama, del movimiento enérgico. Analizando esos dos polos (del calor y del frío) en el mundo natural que nos rodea, la gente llegó a la idea del movimiento térmico a nivel de átomos y moléculas. Como medida de dicho movimiento sirve la temperatura.

Cualquiera que mire el termómetro dirá qué temperatura hay en la calle y sabrá qué ropa ponerse para salir de su casa. Y tal nivel de conocimiento es suficiente en la vida cotidiana. Pero si a usted le interesa cómo está constituida la naturaleza, entonces lo más probable es que tendrá que pensar en lo que encierran las palabras "calor" y "temperatura". Y caerá en la cuenta de que desconoce eso casi por completo, claro está, si usted no es especialista en la materia (pero entonces no vale la pena que lea este capítulo).

Naturalmente, en los manuales escolares se habla algo de la temperatura. Citemos lo siguiente: "La temperatura es la medida de la energía cinética media del movimiento caótico de las moléculas en los cuerpos macroscópicos". Eso difiere evidentemente, por ejemplo, de tal definición: "La velocidad es la distancia recorrida por un cuerpo en la unidad de tiempo". Aquí todo es comprensible y sencillo, existe una fórmula mediante la cual se pueden hacer cálculos. El hecho consiste en que no es nada fácil definir exactamente la temperatura, concepto corriente que todos conocen. Este tema merece un libro especial. (Por suerte, éste ya fue escrito, es el libro de Ya. Smorodinski "La Temperatura", editado por Mir en 1983, de la serie "Física al alcance de todos"). Pero si queremos hablar de las bajas temperaturas, tratando de entender la esencia de los fenómenos físicos, es imposible hacerlo sin conocer las leyes generales del movimiento térmico, las cuales establecen la relación cuantitativa de este último con la temperatura.

Es sabido que para los átomos de los gases, a la temperatura T , el movimiento de traslación se halla relacionado con la energía

(1.1)

(k = 1,38... x 10-23 J/K es la constante de Boltzmann). Si un gas se calienta hasta la temperatura δ T , la energía de dicho movimiento aumenta en

Pero, por otro lado, la variación de la energía de cualquier cuerpo, al calentarlo conservando constante su volumen, se describe por su capacidad calorífica C, así que

Resulta que en cuanto a los gases monoatómicos, el valor medido de la capacidad calorífica a razón de un átomo constituye: para el

o sea, equivale precisamente a 3k/2 . Por consiguiente, el experimento atestigua que en los gases monoatómicos, el movimiento térmico se reduce exclusivamente al movimiento de traslación de los átomos como un todo único.

Pero, el caso analizado no es el único tipo posible de movimiento térmico. He aquí un ejemplo evidente: en los cuerpos sólidos, sus moléculas integrantes están fijas en los vértices o nudos de la red cristalina y no pueden realizar movimiento de traslación. Sin embargo, el movimiento térmico en las mismas existe, y la demostración de ello es muy simple: su gran capacidad calorífica. Recuerden, por lo menos, cuánto tiempo conserva el calor una sartén después de apartarla del fogón.

El movimiento térmico de los átomos en los gases tiene una propiedad que salta a la vista: dicho movimiento no depende de las características de los propios átomos. El átomo de helio tiene una masa (en unidades atómicas) igual a 4, el de argón a 40, y el de xenón a 131. Pero tal diferencia de masa no se refleja en la energía del movimiento térmico.

Los átomos difieren no sólo por sus masas, sino también por el número de partículas que entran en su composición. Alrededor del núcleo de helio gira solamente un electrón, del núcleo de argón, 18, y del núcleo de xenón, ¡un total de 54!

Cada electrón es miles de veces más ligero que el núcleo, pero si la masa no influye sobre la energía del movimiento térmico, ¿por qué entonces cada electrón no agrega nada a la capacidad térmica de su átomo? ¿Será que existe alguna ley de la naturaleza que prohíbe en general el movimiento térmico de los electrones? ¡Nada de eso! Se sabe perfectamente que si un gas se calienta mucho, él empieza a irradiar luz. He aquí un ejemplo clásico: precisamente gracias a este fenómeno, el helio fue por primera vez descubierto en el Sol. La causa también es conocida y encontró su explicación en la mecánica cuántica. Los electrones en el átomo sólo pueden ocupar determinados estados cuánticos que difieren con arreglo a sus energías. Si el átomo recibe del exterior una porción suficiente de energía, éste puede excitarse, o sea, el electrón pasa de un estado estable inferior a un estado donde su energía es mayor. Pero el átomo no puede permanecer mucho tiempo en estado de excitación, y cuando regresa al estado estable emite un cuanto de luz que es precisamente el que vemos. ¿Cuál es aquí la misión de la temperatura del gas? Por lo visto, consiste en que el movimiento térmico debe ser bastante enérgico para que, por ejemplo, al chocar dos átomos, la energía total de su movimiento térmico de traslación resulte suficiente para que se excite aunque sea uno de los átomos.

Así pues, la irradiación de luz por un gas caliente es una manifestación del movimiento térmico de los electrones. Pero para que eso comience se necesita una temperatura alta, y ello está relacionado con la naturaleza discreta del movimiento de los electrones en el átomo. Sin embargo, el movimiento de traslación de los átomos puede ocurrir con cualquier velocidad y, por consiguiente, con cualquier energía. Eso no se cuantifica y tiene, según se dice, un espectro continuo. Precisamente en esto, desde el punto de vista del movimiento térmico, el átomo se diferencia radicalmente (le los electrones que entran en su composición.

Resulta que en uno y otro caso el movimiento térmico puede ser descrito por una misma ley, descubierta por Ludwig Boltzmann más de cien años atrás. El conocimiento de cómo varía la presión atmosférica en función de la altura sobre el nivel del mar, ayuda, por extraño que sea, a deducir esa ley.

La atmósfera de la Tierra es una formación muy compleja, su composición, temperatura y presión dependen de la altura h , las horas del día y las estaciones del año, así como del lugar en la Tierra, cambiando caóticamente casi de modo impronosticable. Pero si prescindimos de las oscilaciones climatológicas y geográficas, que relativamente no son tan grandes, entonces solamente queda un factor: la altura. La causa de la disminución de la presión con la altura es evidente: cuanto mayor sea la altura, tanto menor será la masa de la columna restante de aire que crea la presión gracias a la fuerza de la gravedad. Y no es tan difícil averiguar cómo debe variar la presión de un gas ideal (el aire a la temperatura T » 300 °K es ideal), si su temperatura es constante.

Problema 1.

Obtener la fórmula (1.2) a partir de la ecuación de estado de un gas ideal.

Figura 1.1. Variación de la presión atmosférica en función de la altura. La recta corresponde a la fórmula (1.2).

Los cálculos muestran que

(1.2)

donde e = 2,718... es la base de los logaritmos naturales, y m , la masa de la molécula de gas (para el aire, ésta constituye 29 uma por término medio).

La fórmula (1.2), llamada barométrica, describe bastante bien la variación real de la presión. Pero es necesario tener en cuenta que la temperatura de la atmósfera no es constante. Al principio la misma disminuye con la altura, cuya confirmación evidente de ello son los glaciares y la nieve en las montañas. A la altura de 10 a 20 km, donde vuelan los aviones modernos, T » 220 °K. Al seguir aumentando la altura, la temperatura crece de nuevo, regresando a T » 300 °K a la altura de 100 km.

Si en (1.2), en calidad de temperatura se introduce el valor medio de ésta según la altura, es decir, T = 250 °K, entonces se puede esperar que la diferencia entre la dependencia teórica y la real no sea muy grande. Y, como atestigua la figura 1.1, eso es precisamente así.

La fórmula barométrica es el resultado de la solución de un problema particular. Pero su sentido es mucho más profundo. A fin de demostrarlo, hagamos ciertos cambios en ella. Para un gas ideal,

P = NkT

(N es el número de partículas en la unidad de volumen), por eso P(h)/P(0) puede sustituirse por N(h)/N (0). En vez de mgh escribamos la energía E y al mismo tiempo sustituyamos el argumento de h por E , ya que entre N y E hay una correspondencia biunívoca. Entonces obtendremos

(1.3)

Ahora la fórmula (1.2) adquirió una forma más general. Si recordamos que el movimiento térmico es extraordinariamente "indiferente" (todo lo que puede moverse se mueve siempre que haya suficiente energía), se puede suponer que la fórmula (1.3) es universal, o sea, aplicable a cualquier tipo de partículas, incluidas las que tienen espectro discreto. Así es en realidad: la cantidad de partículas en un sistema, cuya energía es igual a E _i en un estado dado, se determina únicamente por la relación E _i/kT . Como no siempre se puede atribuir E = 0 al estado básico, o sea, al estado que posee energía mínima, es conveniente escribir la fórmula (1.3) de la forma siguiente:

(1.4)

donde N es el número total de partículas en el sistema; el coeficiente a se elige de tal manera que la suma de todas las N sea igual a N .

La fórmula (1.4), que describe el movimiento térmico, fue obtenida por primera vez por Boltzmann más de cien años atrás y lleva su nombre.

¡Y ahora veamos qué ha resultado! Al hablar del movimiento térmico, nos hemos acostumbrado al epíteto "caótico". Es cierto que ya el hecho de que exista una energía media del movimiento, obliga a sospechar que no hay un caos total.

Y ahora podemos deducir que en el movimiento térmico se observa cierto orden. Claro, si examinamos el comportamiento de una molécula aislada, veremos cambios continuos de su dirección, velocidad y estado interior, y cada cambio inmediato en el "camino de su vida" será casual e impronosticable. Pero si calculamos cuánto tiempo ella logra permanecer en cada uno de sus posibles estados de energía E , resultará que, si hemos observado bastante tiempo la molécula, dicha permanencia es proporcional a

De otra manera no puede ser; eso concuerda con el hecho de que en una fotografía momentánea podemos obtener, en cada estado, cierta porción del total de partículas, determinada por la ley de Boltzmann (1.4).

Antes de pasar a un nuevo tema es necesario contestar a una pregunta más: ¿hasta qué punto es universal la fórmula de Boltzmann?, ¿siempre es aplicable? No, sólo en los casos cuando entre las partículas no existe interacción.