Applied Superconductivity

초전도

(기본 개요)

초전도에서의 가장 중요한 것은 양자역학! -- 양자역학을 공부해야한다는 것이 아니라, 양자역학적 현상들이 관측되는 시스템.

양자역학적 현상들, 양자화와 같은 현상들은 우리가 수식적으로 알고, 상상은 하지만, 관측되기는 어렵다. 이것은 열에너지에 기인한다.

신기하게도,

초전도는 전체 시스템 하나를 하나의 wavefucntion으로 기술할 수 있다. - 보존이기 때문.

일반 고체에서는 우리가 전자 하나하나의 상태를 밴드로 기술하는 것임.

하지만 초전도는 보존이라 하나의 에너지 상태를 가짐. - 즉 하나의 전자를 기술하는 것 처럼 wavefunction으로 기술할 수 있음!

즉 - 거시적인 양자 시스템! - 근데 처음에는 이렇게 될 줄 몰랐어. - 양자역학의 태동과 함께 시작됨!

Cooper Pair - 전자 (페르미온)을 보존화 시킴!

Fermi level 근처의 두개의 전자가 바운드 된 상태. 이 copper pair는 angular momentum을 가지지 않음. 즉 symmetric 한 s-wave. 이 때문에 두 전자는 antisymmetric 한 single. 즉 두 전자의 스핀 방향이 반대여야함.

이 Cooper pair의 크기는 10 nm - 1µm (이게 coherence length와 대응되지), 즉 엄청나게 큰 반경을 가짐.

양자역학에서의 아주 기본적인 것들을 살펴보자.

양자역학을 어떤 장 처럼 표현할 수 있어. 근데 여기서 우리는 real term만 취해야해.

Schrodinger equation을 잘 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있어.

Jρ 는 probability current - ∂ρ/∂t term 은 시간당 미소 면적을 통과하는 particle의 양을 의미. 양변을 volume으로 적분하면, Stokes Theory에 의해 Current가 되고, J_ρ는 "probability current density".

여기서 J_ρ term은

이렇게 표현이 돼. 잘 보면, 이건 속도의 개념에 해당하지. (운동량에 대한 기대값에 질량 (m)을 나눠준 거니까. )

하지만 이런 방식의 probablity current는 조금 모자라. 왜냐하면, charge를 가지고 있는 particle이 움직일때는 이녀석들이 또 다른 electromagnetic field를 만들거든. (자기장 같은거지). 이 부분에 대한걸 고려해야해.

* 기존의 wave equation (Schrodinger equation)은 일반적인 (단일) particle에 대한 운동을 기술한 식으로 이런 것을 고려할 필요가 없었다!

* 운동량 오퍼레이터, P를 어떻게 표현할지 생각해보자.

dP/dt = dF

F = q(E + vXB).

1.1.27 is still not comprehensible.

이식은 운동량을 potential로 표현한거야. 이식의 개념을 잘 살펴보면,

Potential은 에너지의 개념이지. Work 야. 우리는 간단하게 Fs 로 표현가능하지. 이걸 space 공간에서 미분하면 force에 대응이 돼.

운동량은 mv 의 차원인데, 이걸 시간으로 미분하면, ma 즉, force에 대응하지. 즉 같은 차원이야.

즉 포텐셜의 공간적인 차이가, 어떤 matter를 운동하게 만드는 힘 (force)로 작용한다고 보면 되지.

우리는 이 좌변을 알고 있어. 전자기학에서의 Lorentz force 지.

여기서 우리는 벡터 포텐셜을 활용하게 되는데, 지금은 수식을 간단하게 표현하기 위함이라고 생각하면 좋을 것 같아.

이걸 활용하면, E와 B의 관계를 좀더 쉽게 표현할 수 있거든. curl E ~ dB/dt 이니, curl을 없애고, E ~ dA/dt로 표현가능하니까.

참고: Vector Calculus Identities

복잡한 계산들을 좀 하고나면, P = mv + qA 라는 식을 얻게 된다. 그러면 앞서 적었던 식들을 다 새롭게 표현가능하지.

예를 들면,

이식은, 이제 potential term으로 전기장에 의한 효과가 들어온거고,

자기장에 의한 효과로 전하가 새로운 운동량을 얻게 되는거야. 이걸 하나로 묶어서 표현한거지.

여기 운동량 부분도 새롭게 정의되니, probabiltiy current도 바뀌는 거지.

이 모든 식에서 중요한 것은,

charge를 띄고 있는 전자들을 시스템화해서 기술할때, 우리는 전기장, 자기장에 의한 효과를 고려해야한다는거. 전자 한개의 운동을 기술할때는 그럴 필요가 없었지.

초전도는 전체 시스템을 기술하는 식이기 때문에, 이런 것들을 고려하게 되는거야.

초전도 파동함수

초전도의 파동함수를 쓸때, 기존의 파동함수에서 표현하던 (위치, 시간)에 대한 것을 theta로 묶어서 표현을해.

기존의 전자를 기술할때의 파동함수는, Fermi-Dirac 통계를 따르고, 전자들의 에너지가 모두 다른 상태에 있지. (페르미온이니까!), 그래서 시간에 따른 입자의 phase는 전부 다르다고 볼 수 있어. 즉, 어떤 macroscopic한 값들은 이것들의 sum을 해야 가능한 것이지.

하지만 Cooper Pair는 조금 달라. 이건 spin이 0 이기 때문에 Bose-Einstein 통계를 따르게 되지. 모든 입자들이 ground state에 있어. 즉 모든 녀석들의 phase 미분은 같다는거야. 하나의 에너지만 가진다는거.

그리고 Cooper pair의 사이즈가 워낙 크기 때문에, 얘네들은 서로 모두 overlapped, correlated 되어있어. 따라서 하나의 system, 하나의 파동함수로 기술 가능하다는 것을 의미해.

아주 좋은 표현이 있어 가지고 왔다!

우리가 이해할려고 하는 것은 macroscopic model로 부터 다양한 현상을 설명하려는 것.

* 어떻게 electron 간에 attractive interaction이 생기고 Cooper pair가 만들어 지는지 하는 등의 microscopic view는

초전도체에 따라서 너무 다르기 때문에.

이 macroscopic model은 superfluid 모델과 유사한 점이 많다. 이 Superfluid 모델은 Vitaly L. Ginzburg, Alexei A. Abrikosov and Anthony J. Leggett 에 의해서 정립이 되었고, 이 사람들은 2003년에 노벨상을 받았어.

결국 다시 말해, 우리가 알고 있는 wave function은 하나의 입자를 기술하는 것이었지만, 우리는 이 하나의 wave function을 이용해서 하나의 시스템을 설명하는 거야. 그래서 초전도 wave function의 제곱은 특정 위치와 시간에서 초전도 입자가 존재할 확률이 아니라, 초전도 입자의 갯수에 대응이 돼.

또한 앞서 보였던 probability current (continuity equation)

에 이 wave function을 대응 시키면, 이제는 정말 super current density에 대응이 되지.

초전도 wave function 을 활용해서 위 식을 정리하면 다음과 같은 식을 얻게 돼. (1.1.50).

여기서 q, ns, 항을 제외하면 속도 항이 되지.

* Gauge invariance

Gauge invariance의 의미를 먼저 생각해보자.

우리는 B (magnetic flux)를 vector potential A로 표현할 수 있다.

이때 우리는, 이 관계를 이용해서, general 하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

이제 우리는 앞서 보였던 supercurrent 식에 A+del χ 를 넣어서 식을 다시 쓸 수 있다.

여기서 중요한 것은 이 supercurrent 식은 A와 theta 항에 의존한다는 것인데, 이것은 측정 불가능한 값이다.

여기서 gauge invariance를 만족하기 위해서는 theta' 항이 다음과 같은 관계를 가져야 한다.

따라서 wave equation은 다음과 같이 수정된다.

여기서 중요한 것은 새로운 gauge를 도입하면, phase와 vector potential 모두에 영향을 주고, 이것이 gauge invariance에 만족하는 결과로 나타난다.

London Equation

앞서 보인 supercurrent 식을, gauge invariant phase gradient로 정리해서 표현하면,

아주 간단하게 supercurrent 항을 표현할 수 있다.

여기서 Lambda 는,

(London coefficient).

여기서 Maxwell equation의 curl curl B = µJs의 관계를 이용해서 계산하면,

아주 아주 중요한 식이다. 이 식에서 우리는 B가 공간적으로 exponentially 감소한다는 것을 알 수 있다.

(아주 중요한 그림)

**Field를 가하면, 내부 magnetic field를 상쇄하는 방향으로 supercurrent가 흐르는데.. 그럼 외부에 더 생기는 field는 상관 없는건가?

상상이 잘 안되네..

그리고 supercurrent의 시간 미분항은 energy로 표현되는데, 여기서 시간에 따른 변화가 없기 때문에 - energy = 0. (초전도 상태가 계속해서 유지됨)