결정의 결합은 화학적인 관점에서 접근하는 것이 도움이 됩니다.
우리가 화학에서 배운 결합은,
이온결합 (ionic bonding)
공유결합 (covelent bonding)
금속결합 (metallic bonding)
리간드결합 (ligand bonding)
반데르발스 결합 (Van der Walls bonding)
등이 있습니다.
실제로 제가 보는 관점에서는 이 모든 결합이 크게 차이가 없습니다.
결국에는 전자가 어떠한 형태로 분포되어있고, 이는 전자들과 원자들의 핵 사이의 인력의 차이로 인해 결정됩니다.
쉽게 말하면,
A와 B라는 원자가 있을때, A가 전자를 끌어당기는 힘이 B에 비해 아주 크다고 하면,
전자를 공유하였을때 전자가 A쪽으로 많이 치우쳐져 있는 형태가 될 것 입니다. A는 전기적으로 음성 (negative), B는 전기적으로 양성 (positive)를 띄게 되겠지요.
이 경우에는 이온결합이 됩니다.
하지만 두 원자가 끌어당기는 힘이 비슷하다고 하면, 전자를 똑같은 양으로 가지고 있는 형태가 되겠지요. 이 경우는 공유결합입니다.
금속의 가장 중요한 특징은 자유 전자 입니다. 즉 금속의 결합은 자유 전자에 의해 형성되는 것으로,
리간드 결합은 "리간드: 전자를 일방적으로 제공하는 원자" 에 의해서 생기는 결합으로, 이온/공유 결합의 범주 내에 속해있다고 볼 수 있습니다.
반데르발스 결합은, 제가 고등학교때 화학 II를 배울 당시의 선생님의 표현을 인용하자면,
전자가 오비탈 내에서 자기 마음대로 움직이다가, 운 좋게 + - charge가 한쪽으로 치우쳐서 발생하는 경우 (dipole moment) 이 녀석들이 옆에 있는 다른 녀석들에도 dipole을 형성하게 되면서 전체적으로 정렬된 형태를 만들어 낸다는 것입니다.
이 챕터에서 가장 중요한 것은 "마델룽 상수 (Madelung constant)" 개념인데요,
위에서 말한 결합들이 단순 A, B 원자 사이의 결합만을 고려했다면, 마델룽 상수는 고체 전체에 걸친 이온 결합을 기술하기 위해서 도입된 개념이라고 보시면 됩니다.
이온 결정의 에너지를 기술한다고 하면,
에너지 = Sum [반발력 + 전기적 쿨롱 에너지]
*여기서 Sum은 특정 이온 i 을 중심으로 다른 이온 j 들에 대한 summation 입니다.
여기서 반발력이라 하는 것은 각 이온들이 바로 옆에 있는 이온들과 전기적으로 overlap 하지 않으려고 하는 특성에서 비롯한 것입니다.
이미 자신들에 전자가 방에 꽉 차있는데, 다른 전자를 들이고 싶지 않겠지요? 이는 파울리 베타 원리 (Pauli exclusion principle)과 같은 맥락입니다.
하지만, 이 에너지는 바로 옆에 있는 원자들 (nearlest neighbor) 끼리만 나타나고 그 다음 원자들과는 쿨롱 전기적 에너지만 강하게 나타나지요.
이 쿨롱 에너지의 summation 을 통해서 나타는 계수가 마델룽 상수 입니다. 즉 마델룽 상수는, 3D인 고체 시스템에서의 전기적 포텐션을 기술하는 것입니다. 우리가 알고 있는 쿨롱 에너지 (q^2/R)에 계수로 나타납니다.
1D에서 이 계수가 어떻게 나타나는지는 이 링크를 참고하세요. 수식 참고 (http://molecule.tistory.com/17)
결정 결합을 기술하는 에너지식에서, R로 미분을 하면 이 dU/dR =0 즉, U 값이 최소가 되는 지점에서 R이 결정됩니다.
Ionic bonding / covalent bonding /
Free electron (자유 금속 결합)
수소 결합
Ar 고체? 어떻게 결합하지? 반데르발스 결합? (Induced dipole moment)
Induced Dipole moment에 의한 결합의 해석!
양자역학 헤밀토니안 두개! 각각 풀어서 eigenfunction은 곱하고, eigenvalue는 더하면 된다.
각각의 오메가를 계산해서 (하모닉 오실레이터 이니까) 그걸 더해서 에너지를 계산할 수 있다.
Vibration에 의해 가속되면, 전자기파가 계속 나오고 안정화 되면서 운동이 멈춰야하나?
아니. 전자기파를 다시 받아들인다. Stationary state.
Repulsive force 1/R^12
이온 결합:
마델룽 상수: 기존에 격자 에너지(ΔU)를 구할 때는 이온결합의 대상이 되는 두 원자 간 상호작용만 고려 했고 두 원자의 전하, 핵 간 거리 등을 통해 격자에너지를 구했다. 하지만 이온결합의 대상이 되는 원자 외에도 이온 격자 구조에서 주위 이온들이 영향을 끼치므로 보다 정확한 격자에너지를 구하기 위해 위의 마델룽 상수를 도입하게 되었다.
금속 결합 (불확정성 원리)
전자가 localized 되어있을려면 파형이 섞인 상태 . 운동량을 모른다.
그게 아니라면, wave function이 완전 퍼져있는 상태. 공간을 모른다. 그럼 운동량은 하나.