Reciprocal lattice

저는 솔직히 학부때 고체 물리를 배울땐 이 역격자 (reciprocal lattice)에 대해 정확히 이해하지 못했었습니다.

뭐, 공부를 제대로 안한 탓도 있겠지만, 이 역격자라는 공간이 도무지 머리속에서 그려지지 않았기 때문입니다.

이 역격자라는 공간은, 우리가 고체를 바라보는 실격자 공간을 간단하게 표현하는 방법이라고 볼 수 있습니다.

결국 여기에는 푸리에 변환 (Fourier Transform)의 수학적 툴이 들어갑니다.

푸리에 변환을 쉽게 이해하기 위해서 한가지 예를 들겠습니다.

다양한 주파수를 가지는 wave가 섞여 있다고 생각해봅시다. 음악으로 굳이 표현하자면 도+미+솔+시 라는 CMaj7 코드를 생각해봅시다.

우리가 화음이라고 하는 것 처럼, 소리를 들으면 이 소리가 섞여있습니다.

하지만 이 음을 푸리에 변환을 거치면,

소리가 아닌 피아노의 건반 공간에서 표현되는 겁니다. 즉, 도, 미, 솔, 시 라는 음을 눌렀다 로 표현되는 것이지요.

이를 고체물리에 적용해봅시다.

고체는 무한개의 원자들이 배열되어있다고 볼 수 있습니다.

이를 다 표현할 수가 없지요. 우리는 이를 '주기성' 으로 표현하는 것입니다.

다시 말하면, 수 없이 많은 원자들을 하나의 점으로 표현하고자 하는 것입니다.

자, 그럼 본격적으로 이 역격자라는 놈에 대해서 살펴보겠습니다. (가능한한 최대한 수식은 빼고 설명하겠습니다.)

n(r+T) = n(r)

여기서 r 은 벡터로 표현되는 특정한 위치를 말합니다. n(r)은 그 위치에 존재하는 원자 (전자)들을 말합니다.

여기서 T는 translation vector로 이 만큼 가면 n(r) 즉 자기 자신이 나온다는 의미 입니다. 즉 주기성을 가장 간단하게 표현해주는 함수라고 볼 수 있습니다.

쉽게 1차원에서 보면, r = x, T를 a 라고 가정하겠습니다. 즉 a 만큼 가면, 계속되서 반복되는 구조 입니다.

n(x+a) = n(x)

이제 n(x)를 계속해서 반복되는 주기 함수로 표현해보겠습니다. 여기서 중요한 것은 x 대신 a를 넣으면 n(x)와 동일한 꼴로 나와야 합니다.

가장 좋은 것이 cos, sin 함수 이지요.

이제 여기서 우리는 reciprocal lattice point를 정의합니다.

2pip/a

이것은 주기 함수를 나타내주는 하나의 parameter 이지요. 파동을 기술하는 방정식에서의 k 즉, 파장과 동일한 차원입니다.

결국 First Brillouin Zone이 나타내는 것은 가장 큰 주기성을 가지는 공간을 표현한겁니다.

Primitive cell (Wigner-Seit Cell)- Brillouin Zone에 대응된다.

Primitive cell - unit cell - basis 정의 참고.

http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=ocairy&logNo=220915507737&parentCategoryNo=&categoryNo=14&viewDate=&isShowPopularPosts=true&from=search

출처: https://twitter.com/cmphysics_bot/status/704176830756950016

이게 맞을까? : https://www.physicsforums.com/threads/difference-between-primitive-cell-unit-cell-and-a-wigner-seitz-cell.520843/

Primitive cell: smallest possible unit cell.

Wigner-Seitz cell: smallest possible primitive cell, which consist of one lattice point and all the sorrounding space closer to it than to any other point. The construction of the W-S cell in the reciprocal lattice delivers the first Brillouin zone (important for diffraction??).

These concepts (or rather the way I put them) may help you to understand when you already have an idea about them, like you seem to do.

Reference https://www.physicsforums.com/threads/difference-between-primitive-cell-unit-cell-and-a-wigner-seitz-cell.520843/

Unit cell (출처: http://www.ece.utah.edu/~angelar/FinalReportExample.pdf)

The crystal structure of a material is often discussed in terms of its unit cell. The unit cell is a spatial arrangement of atoms which is tiled in three-dimensional space to describe the crystal. The unit cell is given by its lattice parameters, the length of the cell edges and the angles between them, while the positions of the atoms inside the unit cell are described by the set of atomic positions (xi,yi,zi) measured from a lattice point. For each crystal structure there is a conventional unit cell, which is the smallest unit that has the full symmetry of the crystal (see below). However, the conventional unit cell is not always the smallest possible choice. A primitive unit cell of a particular crystal structure is the smallest possible unit cell one can construct such that, when tiled, it completely fills space. This primitive unit cell does not, however, display all the symmetries inherent in the crystal. A Wigner-Seitz cell is a particular kind of primitive cell which has the same symmetry as the lattice.

고체물리 Kittel Solution: http://jiaxun.bol.ucla.edu/texts/solidstatephysics/HW2.pdf

Chap. 2. Reciprocal Lattice

2dsinθ = nλ (단순 보강 간섭 조건)

양자 / 파동 역학을 끄집어 와보자.

자연을 기술하는 방법. Lattice / Reciprocal lattice

x(t) or p(t) – 두가지 coordinate로 기술할 수 있다.

양자역학 i

T = u1a1 + u2a2 + u3a3 (translation vector)

n(r+T) = n(r)

n(x)를 주기함수로 표현할 수 있다. (cos, sin 함수로)

2pi/a – Reciprocal vector

파동. K 공간으로 표현됨.

Scattering amplitude – 들어오는 wave vector (k) 나가는 wave vector (k’) <Born approximation>

Potential 대신 n(r) 을 넣음.